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8． (搬中)已知雙曲線的離心率e=, 過點A()和B(a,0)的直線與原點的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。

　　 錯解　 由已知，有

　　 解之得：

　　 所以雙曲線方程為

　　 把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：

　　 所以(1)

　　 設CD中點為，

　　 則APCD，且易知：

　　 所以

　　 　(2)

　　 將(2)式代入(1)式得

　　 解得m>4或

　　 故所求m的范圍是

　　 剖析　 上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關系，將代入(1) 式時，m受k的制約。

　　 因為

　　 所以

　　 故所求m的范圍應為

　　 m>4或

7．(搬中)點P與定點F(2，0)的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點P與定點距離的最值。

　　 錯解：設動點P(x,y)到直線x=8的距離為d，則

　　 即

　　 兩邊平方、整理得

　　 =1　　 (1)

　　 由此式可得：

　　 因為

　　 所以

　　 剖析　 由上述解題過程知,動點P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，上述錯解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過程知，的最值可由二次函數在區間上的單調性給予解決

　　 即：當時，

6．(搬中) 已知圓，圓都內切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。

　　 錯解：圓O₂：

　　 即為

　　 所以圓O₂的圓心為,半徑,

　　 而圓的圓心為,半徑,

　　 設所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r

　　 則且

　　 所以

　　 即

　　 化簡得

　　 即為所求動圓圓心的軌跡方程。

　　 剖析：上述解法將=3看成,誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。

　　 事實上，|表示動點M到定點及的距離差為一常數3。

　　 且,點M的軌跡為雙曲線右支，方程為

5. (石莊中學)在函數的圖象上有A、B兩動點，滿足AB∥x軸，點M(1,m)(m為常數，m>3)是三角形ABC的邊BC的中點，設A點橫坐標t，△ABC的面積為f (t).

　　　 (1) 求f (t)的解析表達式；

　　　 (2) 若f (t)在定義域內為增函數，試求m的取值范圍；

　 　(3) 是否存在m使函數f (t)的最大值18？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由。

　　　 解：(1) f (t) = 2t (m-3t²)　　

　　　　　　　 　 (2) 　　 　∵上是增函數.

　　　　　　　 　　 ∴　 　　即上恒成立.

　　　　　　　　　　 　　　 即m的取值范圍

　　　　　　　 　 (3) 令f’(t)=0，得(其中舍去)

　　　　　　　　　　 　即時，在處　 =12，

此時m的值不存在.

令　　 ，即m>9由(2)知f (t)在 為增函數，

，由2(m-3)=18得m=12

綜上只存在m=12適合題意。

4．(石莊中學)設有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發，B向北直行，A先向東直行，出村后不久，改變前進方向，沿著與村落周界相切的直線前進，后來恰與B相遇，設A、B兩人速度一定，其速度比為3：1，問兩人在何處相遇？

解：設直線CD的方程為

∵圓心O到直線CD的距離3

∴　　　　 　　　　　　　 ①

∵V_A：V_B=3：1

在相同時間內有

S_A：S_B=3：1

∴3b=a+b+　　　　　　　　　 ②

由①②解得

a=5

b=

∴CD直線方程為

∴A與B在距村心北方km處相遇

3. (石莊中學) 如圖，A村在B地正北cm處，C村在B地正東4km處，已知弧形公路PQ上任一點到B，C距離之和為8km，現要在公路旁建造一個交電房M分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠用電需用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位，并求出M到A村的距離.

解：，∴M在以B，C為焦點，長軸長為8的橢圓上，建立如圖所示的坐標系，則B(-2，0)，C(2，0)， ，

　　 求得橢圓方程為，其離心率，右準線為.

　　 作MN⊥l于N，則，由平面幾何知識知，當直線MN通過A時，，此時M的縱坐標為,

　　 ∴M的橫坐標為.

　　 故得M在A正東且距A為()km處.

2. (如中)已知雙曲線兩焦點，其中為的焦點，兩點A (-3,2)　 B (1,2)都在雙曲線上，(1)求點的坐標；(2)求點的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；(3)若直線與的軌跡方程有且只有一個公共點，求實數 t的取值范圍。

　 解答：(1)由得：

　　　　 故　

(2)設點

　　 則又雙曲線的定義得

　 又　 或

　　 　 點的軌跡是以為焦點的橢圓

　 除去點或　　 除去點　 圖略。

(3)聯列：消去得

　　 　整理得：

　 當時　 得　 從圖可知：，

　 又因為軌跡除去點 所以當直線過點時也只有一個交點，即或5

易錯原因：(1)非標準方程求焦點坐標時計算易錯；(2)求點的軌跡時易少一種情況；(3)對有且僅有一個交點誤認為方程只有一解。

1. (如中)已知正方形ABCD 對角線AC所在直線方程為 .拋物線過B，D兩點

(1)若正方形中心M為(2，2)時，求點N(b,c)的軌跡方程。

(2)求證方程的兩實根，滿足

解答：(1)設

　　　 因為 B,D在拋物線上 所以兩式相減得

　　 　　則代入(1)

　　 得　　

　　 故點的方程是一條射線。

　 (2)設

　　 同上

　　 (1)-(2)得

　　 (1)+(2)得

　　 (3)代入(4)消去得

　　 得　　 又即的兩根滿足 　

　 故。

易錯原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。

45．(案中)已知∥,O 為坐標原點，當t變化時，則點 P的軌跡方程為　　　　　

正確答案：拋物線y²=4x

錯誤原因：本題是以向量形式給出的已知條件，故很多學生未能看出這些條件的幾何意義。

44．(案中)已知點F是橢圓的右焦點，點A(4，1)是橢圓內的一點，點P(x,y)

(x≥0)是橢圓上的一個動點，則的最大值是　　　　　　

正確答案：5

錯誤原因：找不到合適的解法，另有部分人未能注意到x≥0這一條件。