Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2＋bx＋4的圖象與x軸交于點A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段BC交于點E．垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點P和點F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點．

（1）求出二次函數y＝ax2＋bx＋4和BC所在直線的表達式；

（2）在動直線l移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點P的坐標；

（3）連接CP，CD，在移動直線l移動的過程中，拋物線上是否存在點P，使得以點P，C，F為頂點的三角形與DCE相似，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2＋3x＋4，y=-x＋4；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）運用待定系數法，利用A，B兩點的坐標構建二元一次方程組求解二次函數的表達式，利用B，C兩點的坐標確定直線BC的表達式；

（2）先求得DE的長，根據平行四邊形的性質得到PF=DE，點P與點F的橫坐標相同，故利用拋物線與直線的解析式表示它們的縱坐標，根據其差等于DE長構建一元二次方程求解；

（3）結合圖形與已知條件，易于發現若兩三角形相似，只可能存在△PCF∽△CDE一種情況．△CDE的三邊均可求，（2）中已表示PF的長，再構建直角三角形或借助兩點間距離公式，利用勾股定理表示出CF的長，這樣根據比例式列方程求解，從而可判斷點P是否存在，以及求解點P的值．

（1）由題意，將A(-1．0)，B(4．0)代入，得

，解得，

∴二次函數的表達式為，

當時，y=4，

∴點C的坐標為(0，4)，又點B的坐標為(4，0)，

設線段BC所在直線的表達式為，

∴，解得，

∴BC所在直線的表達式為；

（2）∵DE⊥x軸，PF⊥x軸，

∴DE∥PF，

只要DE=PF，此時四邊形DEFP即為平行四邊形．

由二次函數y=-+3+4=(-) 2+，得D的坐標為(，)，

將代入，即y=-+4=，得點E的坐標為(，)，

∴DE=-=，

設點P的橫坐標為t，則P(t，-t2+3t+4)，F(t，-t+4)，

PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t，

由DE=PF，得-t2+4t=，

解之，得t1= (不合題意，舍去)，t2=，

當t=時，-t2+3t+4=-()2+3×+4=，

∴P的坐標為(，)；

（3）由（2）知，PF∥DE，

∴∠CED=∠CFP，

又∠PCF與∠DCE有共同的頂點C，且∠PCF在∠DCE的內部，

∴∠PCF≠∠DCE，

∴只有當∠PCF=∠CDE時，△PCF∽△CDE，

由D (，)，C(0，4)，E(，)，利用勾股定理，可得

CE=，DE=，

由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，

CF=，

∵△PCF∽△CDE，

∴，即，

∵t≠0，

∴()=3，

∴t=，

當t=時，-t2+3t+4=-()2+3×+4=．

∴點P的坐標是(，)．