Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內與圓心C不重合的點，⊙C的“完美點”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點A，B，滿足|PA﹣PB|=2，則稱點P為⊙C的“完美點”，如圖為⊙C及其“完美點”P的示意圖．

（1）當⊙O的半徑為2時，

①在點M，N（0，1），T中，⊙O的“完美點”是　 　；

②若⊙O的“完美點”P在直線y=x上，求PO的長及點P的坐標；

（2）⊙C的圓心在直線y=x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點”，求圓心C的縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①N，T；②PO的長為1，點P的坐標為或；（2）

【解析】

（1）①利用圓的“完美點”的定義直接判斷即可得出結論；

②先根據圓的“完美點”的定義列出方程求解，再將P點分為在第一象限和第三象限兩種情況即得．

（2）先確定圓的“完美點”的軌跡，再確定取極值時⊙C與y軸的位置關系即得．

解：（1）①∵點M

∴設⊙O與x軸的交點為A，B

∵⊙O的半徑為2

∴取A（﹣2，0），B（2，0）

∴

∴點M不是⊙O的“完美點”，同理可得：點N，T是⊙O的“完美點”．

故答案為：N，T；

②如圖1：

根據題意，

∴

∴OP=1

若點P在第一象限內，作PQ⊥x軸于點Q

∵點P在直線上

∴設

∴，

∵OP=1，

∴OQ=，PQ=

∴

若點P在第三象限內，根據對稱性可知其坐標為

綜上所述，PO的長為1，點P的坐標為或．

（2）對于⊙C的任意一個“完美點”P都有

∴

∴CP=1

∴對于任意的點P，滿足CP=1，都有，即

故對于任意的點P，滿足CP=1時點P為⊙C的“完美點”．

因此，⊙C的“完美點”構成以點C為圓心，1為半徑的圓．

設直線與y軸交于點D，如圖2：

當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，t的值最小．

設切點為E，連接CE

∴

∵⊙C的圓心在直線上

∴此直線和y軸，x軸的交點分別是D（0，1），F

∴OF=，OD=1

∵

∴CE∥OF

∴

∴

∴

∴DE=

∴OE=

∴t的最小值為．

當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，t的值最大．

同理可得：t的最大值為

綜上所述，t的取值范圍為