Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值．

(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3) 或或或．

【解析】

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)，求出，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，兩種情況分別求解，通過(guò)角的關(guān)系，確定直線OQ傾斜角，進(jìn)而求解．

解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：…①；

(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，

將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得，直線PD的表達(dá)式為：，則，

，

∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；

(3)∵，∴，

∵，故與相似時(shí)，分為兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，，，，

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H，

，解得：，

∴CH＝

則，

則直線OQ的表達(dá)式為：…②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點(diǎn)或；

②時(shí)，

，

則直線OQ的表達(dá)式為：…③，

聯(lián)立①③并解得：，

故點(diǎn)或；

綜上，點(diǎn)或或或．