學習指要九年級數學人教版
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探究二 用合適的方法解一元二次方程
例2 用合適的方法解下列方程：
（1）$9x^{2}-49=0$；（2）$x^{2}-2x=1$；（3）$x(2x - 5)=4x - 10$；（4）$2x^{2}-7x + 3=0$.
答案：（1）$x_{1}=\frac{7}{3}$，$x_{2}=-\frac{7}{3}$；（2）$x_{1}=1+\sqrt{2}$，$x_{2}=1-\sqrt{2}$；（3）$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{5}{2}$；（4）$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$
解析：
（1）$(3x - 7)(3x + 7)=0$，解得$x_{1}=\frac{7}{3}$，$x_{2}=-\frac{7}{3}$。
（2）$x^{2}-2x - 1=0$，$\Delta=4 + 4=8$，$x=1\pm\sqrt{2}$。
（3）$x(2x - 5)-2(2x - 5)=0$，$(2x - 5)(x - 2)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{5}{2}$。
（4）$(2x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
（1）方程$x^{2}=3x$的兩個根是$x_{1}=$
0
，$x_{2}=$
3
；（2）解方程：$3(x - 5)^{2}=2(5 - x)$。方程的解為$x_{1}=$
5
，$x_{2}=$
$\frac{13}{3}$
。
答案：（1）0，3；（2）$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{13}{3}$
解析：
（1）$x^{2}-3x=0$，$x(x - 3)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=3$。
（2）$3(x - 5)^{2}+2(x - 5)=0$，$(x - 5)(3x - 15 + 2)=0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{13}{3}$。
課后鞏固 基礎過關
1.（2024 貴州）一元二次方程$x^{2}-2x=0$的解是（
C
）
A.$x_{1}=3$，$x_{2}=1$
B.$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$
C.$x_{1}=2$，$x_{2}=0$
D.$x_{1}=-2$，$x_{2}=-1$
答案：C
解析：$x(x - 2)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
2.（2024 蕭山期中）關于x的方程$x(x - 1)=3(x - 1)$，下列說法正確的是（
D
）
A.兩邊同時除以$(x - 1)$，得$x = 3$
B.移項得$x(x - 1)+3(x - 1)=0$，$(x - 1)(x + 3)=0$，$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$
C.整理得$x^{2}+4x=-3$，$\Delta=28$，$x=2\pm\sqrt{7}$
D.整理得$x^{2}-4x=-3$，配方得$(x - 2)^{2}=1$，$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
答案：D
解析：移項得$x(x - 1)-3(x - 1)=0$，$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，D選項正確。
3.（跨學科融合）（2024 河南一模）根據物理學規律，如果把一物體從地面以9.8m/s的速度豎直上拋，那么經過x s，物體離地面的高度（單位：m）約為$9.8x - 4.9x^{2}$.根據上述規律，物體經過
2
s落回到地面.
答案：2
解析：落回地面時高度為0，$9.8x - 4.9x^{2}=0$，$x(9.8 - 4.9x)=0$，解得$x = 0$（舍去）或$x = 2$。
4.若實數k，b是方程$(x + 3)(x - 1)=0$的兩個根，且$k ＜ b$，則一次函數$y=kx + b$的圖象不經過第
三
象限.
答案：三
解析：方程根為$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，$k=-3$，$b = 1$，函數為$y=-3x + 1$，不經過第三象限。
5.用因式分解法解下列方程：
（1）$x(x + 1)=x + 1$；（2）$(2x + 3)^{2}=(3x + 2)^{2}$；（3）$2(x - 3)=x^{2}-9$；（4）$(x - 1)^{2}-(1 - x)=0$.
答案：（1）$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$；（2）$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$；（3）$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；（4）$x_{1}=1$，$x_{2}=0$
解析：
（1）$(x + 1)(x - 1)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$。
（2）$(2x + 3 - 3x - 2)(2x + 3 + 3x + 2)=0$，$(-x + 1)(5x + 5)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
（3）$2(x - 3)-(x - 3)(x + 3)=0$，$(x - 3)(2 - x - 3)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
（4）$(x - 1)^{2}+(x - 1)=0$，$(x - 1)(x - 1 + 1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=0$。
