答案：1. 首先，根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行分類討論：
情況一：當(dāng)$a + 2=1$時(shí)：
解方程$a + 2=1$，可得$a=-1$。
此時(shí)集合$\{1,2,a^{2}\}$為$\{1,2,1\}$，不滿足集合中元素的互異性（集合中的元素具有互異性，即集合中的元素都不相同），所以$a=-1$舍去。
情況二：當(dāng)$a + 2=2$時(shí)：
解方程$a + 2=2$，可得$a = 0$。
此時(shí)集合$\{1,2,a^{2}\}$為$\{1,2,0\}$，滿足集合中元素的性質(zhì)。
情況三：當(dāng)$a + 2=a^{2}$時(shí)：
移項(xiàng)得到$a^{2}-a - 2 = 0$。
根據(jù)一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（對(duì)于方程$ax^{2}+bx + c = 0$，這里$a = 1$，$b=-1$，$c=-2$），也可利用因式分解$a^{2}-a - 2=(a - 2)(a + 1)=0$。
解得$a = 2$或$a=-1$（$a=-1$已舍去，原因同情況一）。
當(dāng)$a = 2$時(shí)，集合$\{1,2,a^{2}\}$為$\{1,2,4\}$，滿足集合中元素的性質(zhì)。
2. 綜上：
$a$的值為$0$或$2$。
所以答案是BD。
