Question

【題目】如圖，在六面體ABCDEFG中，平面平面DEFG，平面DEFC，，，且.

（1）求證：平面ACGD；

（2）若，求點D到平面GFBC的距離

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

證明，，得到平面DEFG，得到平面平面DEFG，取DG的中點為M，連接AM、FM，證明，推出平面ACGD．

以DG、DE、DA為方向建立空間直角坐標系，求出平面BGF法向量，通過點D到平面即平面的距離，求解即可．

（1）證明：已知如圖：

∵平面平面DEFG，平面平面，

平面平面，

∴，

∵，

∴ADEB為平行四邊形，.

∴平面DEFG，

∵平面BEF，

∴平面平面DEFG.

取DG的中點為M，連接AM、FM，

則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，

∴，

又∵，

∴

∴四邊形ABFM是平行四邊形，即，

又平面ACGD，

故平面ACGD.

（2）由（1）得平面，所以，

根據(jù)幾何關系得：

以DG、DE、DA為方向建立空間直角坐標系，如圖

則，，

所以，

設平面法向量為，

則，取得

所以點到平面（即平面）的距離

.