Question

【題目】己知圓F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2= (4-r)2．

（1）證明：圓F1與圓F2有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；

（2）已知點Q(m，0)(m<0)，過點E斜率為k(k≠0）的直線與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點，記直線QM的斜率為k1，直線QN的斜率為k2，是否存在實數m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）存在，

【解析】

（1）求出圓和圓的圓心和半徑，通過圓F1與圓F2有公共點求出的范圍，從而根據可得點的軌跡，進而求出方程；

（2）過點且斜率為的直線方程為，設，，聯立直線方程和橢圓方程，根據韋達定理以及，，可得，根據其為定值，則有，進而可得結果.

（1）因為，，所以，

因為圓的半徑為，圓的半徑為，

又因為，所以，即，

所以圓與圓有公共點，

設公共點為，因此，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

所以，，，

即軌跡的方程為；

（2）過點且斜率為的直線方程為，設，

由消去得到，

則，， ①

因為，，

所以

，

將①式代入整理得

因為，

所以當時，即時，.

即存在實數使得.