Question

【題目】已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原原點，點O到直線AB的距離為，的面積為1．

（1）求榷圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于C，D兩點，若直線直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由橢圓的幾何性質，求得直線AB的方程， 根據點到直線的距離公式和三角形OAB的面積為1，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，結合斜率公式，化簡得，代入即可求解.

（1）由橢圓的右頂點為，上頂點為，

可得直線AB的方程為，即，

則點O到直線AB的距離，即， ①

因為三角形OAB的面積為1，所以，即， ②

由①②，可解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）可得，所以直線AB的斜率為，

設直線的方程為，

聯立方程組，整理得

則，

所以，

所以

，

所以，即為定值.