Question

【題目】有限數(shù)列，若滿足，是項數(shù)，則稱滿足性質(zhì).

（1）判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì)，請說明理由.

（2）若，公比為的等比數(shù)列，項數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍.

（3）若是的一個排列都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的.

Answer 1

【答案】（1）第一個數(shù)列具有性質(zhì)，第二個數(shù)列不具有性質(zhì)；理由見解析；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）結(jié)合題設(shè)中的定義可判斷給定的兩個數(shù)列是否具有性質(zhì)；

（2）等比數(shù)列具有性質(zhì)等價于對任意的恒成立，就分類討論后可得的取值范圍.

（3）設(shè)，先考慮均不存在具有性質(zhì)的數(shù)列，再分別考慮時具有性質(zhì)的數(shù)列，從而得到所求的數(shù)列.

（1）對于第一個數(shù)列有，滿足題意，該數(shù)列滿足性質(zhì)

對于第二個數(shù)列有不滿足題意，該數(shù)列不滿足性質(zhì).

（2）由題意可得，

兩邊平方得：

整理得：

當時，得， 此時關(guān)于恒成立，

所以等價于時，所以，

所以或者，所以取.

當時，得， 此時關(guān)于恒成立，

所以等價于時，所以，

所以，所以取.

當時，得.

當為奇數(shù)的時候，得， 很明顯成立，

當為偶數(shù)的時候，得， 很明顯不成立，

故當時，矛盾，舍去.

當時，得.

當為奇數(shù)的時候，得， 很明顯成立，

當為偶數(shù)的時候，要使恒成立，

所以等價于時，所以，

所以或者，所以取.

綜上可得，.

（3）設(shè)，，

因為， 故，

所以可以取或者，

若，，則，

故或（舍，因為），

所以（舍，因為）.

若，，則，

故（舍，因為），或

所以（舍，因為）.

所以均不能同時使，都具有性質(zhì).

當時，即有，

故，故，

故有數(shù)列：滿足題意.

當時，則且，故，

故有數(shù)列：滿足題意.

當時，，

故，故，

故有數(shù)列：滿足題意.

當時，則且，

故，

故有數(shù)列：滿足題意.

故滿足題意的數(shù)列只有上面四種.