Question

【題目】已知函數f （x）=lnx，g（x）=ex．

（1）若函數φ （x） = f （x）－，求函數φ （x）的單調增區間；

（2）設直線l為函數的圖象上一點A（x0，f （x0））處的切線．證明：在區間（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（1）．

（2）見解析.

【解析】

（1）求導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數的單調區間；（2）先求直線l為函數的圖象上一點處的切線方程，再設直線與曲線相切于點，進而可得，再證明在區間上存在且唯一即可．

（1）∵，∴．

∵且，∴．

∴函數的單調遞增區間為和．

（2）證明:∵，∴，

∴切線的方程為，即，①

設直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴．

∴直線的方程為，即，②

①-②，得，∴．

下證：在區間上存在且唯一．

由（1）可知，在區間上遞增．

又，，

結合零點存在性定理，說明方程必在區間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一的.故結論成立．