Question

【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱(chēng)粽籺，古稱(chēng)“角黍”，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線(xiàn)折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為______；若該六面體內(nèi)有一球，則該球表面積的最大值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

該六面體看成由兩個(gè)全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長(zhǎng)為，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，其高為頂點(diǎn)和底面中心的連線(xiàn)段，易求；則該正四面體的體積易求，該六面體的體積可求. 當(dāng)該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時(shí)，該球與相切，過(guò)球心作，則就是球半徑，利用等面積法可求半徑，則球的表面積可求.

解：該六面體看成由兩個(gè)全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長(zhǎng)為，如圖，

在棱長(zhǎng)為的正四面體中，取中點(diǎn)為，連接，，

作平面，垂足在上，

則，，，

則該正四面體的體積為，

該六面體的體積.

當(dāng)該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時(shí)，球心為，

且該球與相切，過(guò)球心作，則就是球半徑，

因?yàn)?/span>，所以球半徑，

所以該球表面積的最大值為：.

故答案為：；.