Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；

（2）當時，為函數在上的零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，得到，根據題意，得到，設，，對其求導，用導數的方法求出最大值，即可得出結果；

（2）先當時，，得到，對求導，研究其在上的單調性，得到，，將化為，設，，對其求導，研究其單調性，求得，即可證明結論成立.

（1）.

當函數在上單調遞減，

則在上恒成立，即.

設，，

則.

∵，所以.

∴當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減.

∴，故.

（2）因為時，，

當時，，故，

當時，可知，

令，，所以

∴在上單調遞減.即在上單調遞減.

又，，

∴存在唯一的，使得，

∴在單調遞增，在單調遞減，

又，，，

∴函數在上的零點，

即，

要證，即證.

設，，

則.

顯然在上恒成立，所以在上單調遞增.

∴，故原不等式得證.