【題目】已知函數
，其中
．
（1）討論函數
的單調性；
（2）設
，若對于任意的
，
，有
，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）求出
，然后分
、
、
、
四種情況討論
（2）不妨設
，則
可化為
，構造函數
，然后條件可轉化為
在區間
上恒成立，然后利用二次函數的知識即可求出答案.
（1）函數
的定義域為，
．
①若，則當
時，
，所以函數在區間
上單調遞減；
當
時，
，所以函數在區間
上單調遞增．
②若，則當
或時，，
所以函數在區間
，上均單調遞增；
當
時，，所以函數在區間
上單調遞減．
③若，則當
時，
，所以函數在區間上單調遞增．
④若，則當或
時，，
所以函數在區間，
上均單調遞增；
當
時，，所以函數在區間
上單調遞減．
綜上所述，
當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；
當時，函數在區間，上均單調遞增，
在區間上單調遞減；
當時，函數在區間上單調遞增；
當時，函數在區間，上均單調遞增，
在區間上單調遞減．
（2）不妨設，
則可化為．
令
，則函數
在區間上單調遞增．
所以
在區間上恒成立．
即
在區間上恒成立．（*）
因為
，所以
，
所以，要使（*）成立，只需
，
解得
．
故所求實數
的取值范圍為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小軍的微信朋友圈參與了“微信運動”，他隨機選取了40位微信好友（女20人，男20人），統計其在某一天的走路步數.其中，女性好友的走路步數數據記錄如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步數情況可分為五個類別（說明：m～n表示大于等于m，小于等于n）：A（0～2000步）1人，B（2001～5000步）2人，C（5001～8000步）3人，D（8001～10000步）6人，E（10001步及以上）8人.若某人一天的走路步數超過8000步被系統認定為“健康型”，否則被系統認定為“進步型”.
（1）請根據選取的樣本數據完成下面的
列聯表，并根據此判斷能否有95％以上的把握認為“認定類型”與“性別”有關？
健康型 | 進步型 | 總計 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
總計 | 40 |
（2）從小軍的40位好友中該天走路步數不超過5000的中隨機抽取3人，若
表示抽到的三人分別是x，y，z，試用該表示法列舉出試驗所有可能的結果.若記“恰好抽到了一位女性好友”為事件A，求事件A的概率.
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（AQI）的檢測數據，結果統計如表：
AQI |
|
|
|
|
|
|
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天數 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）從空氣質量指數屬于[0，50]，（50，100]的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；
（2）已知某企業每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數x的關系式為
，假設該企業所在地7月與8月每天空氣質量為優、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為
.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.
（i）記該企業9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；
（ii）試問該企業7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，直線l的參數方程為
(t為參數，α為直線的傾斜角)．
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點，求角α的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在直角梯形
中，E，F分別為
的三等分點，
，
，
，
，若沿著
，
折疊使得點A和點B重合，如圖2所示，連結
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.
由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續減小，其正切值及對應的年代如下表：
黃赤交角 |
|
|
|
|
|
正切值 | 0.439 | 0.444 | 0.450 | 0.455 | 0.461 |
年代 | 公元元年 | 公元前2000年 | 公元前4000年 | 公元前6000年 | 公元前8000年 |
根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( )
A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年
C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若函數
在區間
上的值域為，則稱區間是函數的“完美區間”，另外，定義區間的“復區間長度”為
，已知函數
，則（ ）
A.
是
的一個“完美區間”
B.
是的一個“完美區間”
C.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為
D.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分10分）選修4—4，坐標系與參數方程
已知曲線
，直線
：
（
為參數）.
（I）寫出曲線
的參數方程，直線
的普通方程；
（II）過曲線
上任意一點
作與
夾角為
的直線，交
于點
，
的最大值與最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市2013年至2019年新能源汽車y（單位：百臺）的數據如下表：
（Ⅰ）求y關于x的線性回歸方程，并預測該市2021年新能源汽車臺數；
（Ⅱ）該市某公司計劃投資600臺“雙槍同充”（兩把充電槍）、“一拖四群充”（四把充電槍）的兩種型號的直流充電樁．按要求，充電槍的總把數不少于該市2021年新能源汽車預測臺數，若雙槍同充、一拖四群充的每把充電槍的日利潤分別為25元，10元，問兩種型號的充電樁各安裝多少臺時，才能使日利潤最大，求出最大日利潤.
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
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