Question

【題目】已知拋物線 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，對稱軸是 軸，且過點(diǎn) .
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）已知斜率為 的直線 交 軸于點(diǎn) ，且與曲線 相切于點(diǎn) ，點(diǎn) 在曲線 上，且直線 軸， 關(guān)于點(diǎn) 的對稱點(diǎn)為 ，判斷點(diǎn) 是否共線，并說明理由.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)根據(jù)題意，可設(shè)拋物線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
所以 ，解得 ，
所以拋物線 的方程為 .
(Ⅱ)點(diǎn) 共線，理由如下：
設(shè)直線 ，聯(lián)立
得 (*)
由 ，解得 ，
則直線 ，得 ， ，
又 關(guān)于點(diǎn) 的對稱點(diǎn)為 ，故 ，
此時(shí)，(*)可化為 ，解得 ，
故 ，即 ，
所以 ，即點(diǎn) 共線
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，可設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得p值，可求拋物線方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)直線l：y=kx+m，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用根的判別式，以及它與斜率的關(guān)系可得點(diǎn)A，Q，O是否共線，從而得到答案．