【題目】已知
.
（1）試求
在
上的最大值；
（2）已知在
處的切線與
軸平行，若存在
，
，使得
，證明：
.
【答案】（1）當
時
；當
時
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）先求導數
，然后對
分類討論，判斷單調性，求解即可.
（2）由題意可知，
，則
，從而確定
單調性，再根據的正負，確定其函數的大致圖像，從而確定有
，要證
，只需證
，只需證明
，只需證
，構造函數
，利用導數研究函數的單調性，證明不等式，即可.
（1），
當
時，則
對任意
恒成立，即
恒成立.
所以在單調遞增.
則的最大值為
；
當
時，令
，即
當
，即時，
當
時
，在
上單調遞增.
當
時
，在
上單調遞減，
.
當
即
時，對任意恒成立，
即恒成立，所以在單調遞增.
則的最大值為；
綜上所述：當時；
當時.
（2）因為在
處的切線與
軸平行，
所以
，則，即.
當
時，，則在
上單調遞增，
當
時，，則在
上單調遞減.
又因為
時有
；
時有
，
根據圖象可知，若
，則有；
要證，只需證；
又因為
，所以
；
因為在上單調遞減，從而只需證明，
只需證
只需證
設，則
.
由的單調性可知，
.
則
，即
.
所以
，即
在
上單調遞增.
所以
.
從而不等式得證.
科學實驗活動冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）
，若關于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四個不等的實數根，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪{1}D.（﹣1，0）∪{1}
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在國家“大眾創業，萬眾創新”戰略下，某企業決定加大對某種產品的研發投入.為了對新研發的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數據如表所示:
試銷價格 |
|
|
|
|
|
|
產品銷量 |
|
|
|
|
|
|
已知變量
且有線性負相關關系，現有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲
；丙
，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.
（1）試判斷誰的計算結果正確？
（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與檢測數據的誤差不超過
，則稱該檢測數據是“理想數據”，現從檢測數據中隨機抽取
個，求“理想數據”的個數
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
、
、
都有
，滿足
的實數
有且只有3個，給出下述四個結論：①滿足題目條件的實數有且只有2個：②滿足題目條件的實數有且只有2個；③
在
上單調遞增；④
的取值范圍是
.其中所有正確的個數是（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知F1、F2是橢圓
的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B也在橢圓上，且滿足
（O是坐標原點），
若橢圓的離心率等于
（1）求直線AB的方程；
（2）若三角形ABF2的面積等于
，求橢圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面為直角梯形
，
，
，
，
底面
，且
，
為
的中點.
（1）證明：
；
（2）設點
是線段
上的動點，當直線
與直線
所成的角最小時，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程選講
在平面直角坐標系中，以原點為極點，以
軸非負半軸為極軸建立極坐標系， 已知曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）寫出曲線和直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線
過點
與曲線交于不同兩點
，
的中點為
，與的交點為
，求
．
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