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將①代入②并化簡得，，所以

于是

…………6分

設點P的坐標為則

消去參數k得     ③

當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為………………8分

解法二：設點P的坐標為，因、在橢圓上，所以

  ④               ⑤

④―⑤得，所以

當時，有      ⑥

并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧

當時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，－2），這時點P的坐標為（0，0）

也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

………………8分

（2）解：由點P的軌跡方程知所以

……10分

故當，取得最小值，最小值為時，取得最大值，

最大值為……………………12分

注：若將代入的表達式求解，可參照上述標準給分.

（20）（I）解法一：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：

w=2000                                                                                          ……2分

因為w=2000，所以當時，w取得最大值．

所以乙方取得最大年利潤的年產量噸                                       ……4分

解法二：因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：

w=2000．                                                                                      ……2分

由，令0

得 ．

當t＜t₀時，＞0；當t＞t₀時，＜0，所以t=t₀時，w取得最大值．

因此乙方取得最大年利潤的年產量（噸）．                            ……4分

（II）設甲方凈收入為u元，則

u=st－0.002t²．                                                                                        ……6分

將代入上式，得甲方凈收u與賠付價格s之間的函數關系式

                                                                                 ……8分

又，

令=0，得s=20．

當s＜20時，＞0；當s＞20時，＜0，所以s=20時，u取得最大值．

因此甲方向乙向要求賠付價格s=20(元/噸)時，獲最大凈收入．                 ……12分

注：若將代入u的表達式求解，可參照上述標準給分．

（21）本小題主要考查函數和不等式的概念，考查數學歸納法，以及靈活運用數學方法分析和解決問題的能力. 滿分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

             ①   ………………3分

又所以.  ②

由①②得………………6分

（2）證法一：（i）當n=1時，，不等式成立；

因時不等式也成立.

（ii）假設時，不等式成立，因為的

對稱軸為知為增函數，所以由得

………………8分

于是有

                                                             …………12分

所以當n=k+1時，不等式也成立.

根據（i）（ii）可知，對任何，不等式成立.…………14分

證法二：（i）當n=1時，，不等式成立；

（ii）假設時不等式成立，即，則當n=k+1時，

………………8分

因所以

……12分

于是   因此當n=k+1時，不等式也成立.

根據（i）（ii）可知，對任何，不等式成立.…………14分

證法三：（i）當n=1時，不等式成立；

（ii）假設時.

若則  ①…………8分

若≤a_k＜，則

0＜a_k＋1=＜．

＜                                                                                ②……12分

由①②知當n=k＋1時，不等式0＜a_n＜也成立．

根據（I）（II）可知，對任何n∈N*，不等式a_n＜成立． ……14分

（22）（I）解：由y=f(x)=ln(e^x＋a)得x=ln(e^y－a)，所以

y=f^－1(x)=ln(e^x－a)（x＞lna）．                                                                   ……3分

(II)解法一：由＜0得

＜m＜

即對于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有

＜e^m＜                         ①

設t= e^x，u(t)=，u (t)=，于是不等式①化為

u(t)＜e^m＜u (t)  t∈[3a，4a]                        ②                       ……7分

當t₁＜t₂，t₁、t₂∈[3a，4a]時，

u(t₂)－u(t₁)=＞0

所以都是增函數.

因此當時，的最大值為的最小值為

而不等式②成立當且僅當即

，于是得 ………………12分

解法二：由得

設

于是原不等式對于恒成立等價于 ③…7分

由，注意到

故有，從而可均在

上單調遞增，因此不等式③成立當且僅當

即 ………………12分