2009年龍巖市高中畢業班質量檢查
數學（理科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
樣本數據x1，x2，…，xn的標準差：
s=
，其中
為樣本平均數；
柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；
錐體體積公式：V=
Sh，其中S為底面面積，h為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中R為球的半徑.
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一
1. 已知復數
，則
的共軛復數是
A.
B.
C.
D.
2. 正項等比數列
中，若
，則
等于
A. -16 B.
3. 已知隨機變量
，若
，則
等于
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 Ｄ. 0.4
4. 已知兩個向量a、b滿足a
b =－
，| a
|=4，a和b的夾角為135°，則| b |為
A. 12 B.
3 C.
6 D.
5. 若
，且
, 則實數
的值為
Ａ. 1或3 Ｂ. -3 C. 1 Ｄ. 1或 -3
6. 實數
、
滿足
則=
的取值范圍是
A. [－1,0] B.
－∞,0] C.
[－1,+∞
D. [－1,1
7. 過拋物線
的焦點作直線
交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則
等于
A．10 B．8 C．6 D．4
8. 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為
，得2分的概率為
，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、
，已知他投籃一次得分的數學期望為1，則
的最大值為
A．
B．
C．
D．
9. 設函數
則函數
的零點個數為
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
10. 如果一個數列的各項都是實數，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫做這個數列的公方差.設數列
是首項為2，公方差為2的等方差數列，若將
這種順序的排列作為某種密碼，則這種密碼的個數為
A. 18個 B. 256個 C. 512個 D. 1024個
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題４分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置.
11. 假設關于某設備的使用年限和所支出的維修費（萬元），有如下的統計資料
使用年限
2
3
4
5
6
維修費用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由資料可知和呈相關關系，由表中數據算出線性回歸方程
中的
=
，據此估計，使用年限為10年時的維修費用是
萬元.
（參考公式：
，
）
12. 已知某算法的流程圖如圖所示，則輸出的結果是_______________.
13. 一個空間幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖、側視圖、
俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的
外接球的表面積是 .
14. 設函數
(
)，若
，
，則
=
.
15. 已知集合
,
有下列命題
①若
則
.
②若
則
.
③若
則
的圖象關于原點對稱.
④若
則對于任意不等的實數
，總有
成立.
其中所有正確命題的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分13分）
已知
的三個內角
、
、
所對的邊分別為
、、
,且
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）當
時，求函數
的最大值.
17.（本小題滿分13分）
如圖，正方形
所在平面與等腰直角三角形
所在平面
互相垂直，
，點
分別為
的中點.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）線段
上是否存在一點
，使
與平面
所成角的正弦值為
？若存在，請求出
的
值；若不存在，請說明理由．
18. （本小題滿分13分）
某電腦生產企業生產一品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺. 當筆記本電腦銷售價為6000元/臺時，月銷售臺；根據市場分析的結果表明，如果筆記本電腦的銷售價提高的
百分率為
，那么月銷售量減少的百分率為
.記銷售價提高的百分率為時，
電腦企業的月利潤是（元）.
（Ⅰ）寫出月利潤（元）與的函數關系式；
（Ⅱ）試確定筆記本電腦的銷售價，使得電腦企業的月利潤最大.
19.（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓:
的一
個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點
構成等邊三角形.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
(4,0)且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設點關于軸的
對稱點為
.
（?）求證：直線
過軸上一定點，并求出此定點坐標；
（?）求△
面積的取值范圍.
20.（本小題滿分14分）
已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的單調遞增區間；
（Ⅱ）數列滿足：
，且
,記數列
的前n項和為
，
且
.
（?）求數列的通項公式；并判斷
是否仍為數列中的項？若是，請證明；否則，說明理由.
（?）設
為首項是
,公差
的等差數列，求證：“數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項”的充要條件是“存在整數
，使
”.
21. 本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換
若點
在矩陣
對應變換的作用下得到的點為
，求矩陣的逆矩陣．
（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知曲線的極坐標方程是
．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是
參數），點
是曲線上的動點，點是直線上的動點，求|
|的最小值．
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
已知實數
滿足
且
的最大值是7，求的值．
2009年龍巖市高中畢業班質量檢查
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.
1. A 2. C 3. C 4.C 5.D 6.D 7. B 8. D 9. B 10. C
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.
11. 12.38 12. 5 13. 3
14. 
15. ②③
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考
查學生的運算求解能力. 滿分13分.
解：（Ⅰ）由
，知
………………………（2分）
又
，得
，
，
………………………（5分）
故
………………………（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
，
………………………………（9分）
，
當
，即
時，
取得最大值為
． ……………（13分）
17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關系，線面角等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力.
滿分13分.
解：（Ⅰ）證明：如圖，取
中點
，連結
，
；
∥
，
∥
，
又
，
，
，…………（3分）
四邊形
為平行四邊形，
∥，
又
平面
，
平面，
∥平面．
………………………（6分）
（Ⅱ）依題意知平面
平面
，
，
平面，得
又
，.
如圖，以
為原點，建立空間直角坐標系-xyz，
，可得
、
、
，
.
設平面的一個法向量為
，
由
得
解得
，
．
………………………（9分）
設線段
上存在一點
，其中
，則
，
，
依題意：
，即
，
可得
，解得
（舍去）．
所以上存在一點
． …………（13分）
18．本題主要考查函數與導數等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，
考查應用意識. 滿分13分.
解：（Ⅰ）依題意，
銷售價提高后為6000（1+
）元/臺，月銷售量為
臺……………（2分）
則
……………………（4分）
即
． ……………………（6分）
（Ⅱ）
令
，得
，
解得
舍去）．
……………………（9分）
當
當
當
時，
取得最大值．
此時銷售價為
元．
答：筆記本電腦的銷售價為9000元時，電腦企業的月利潤最大．…………………（13分）
19．本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.
滿分13分
解：（Ⅰ）因為橢圓
的一個焦點是（1，0），所以半焦距
=1.
因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形.
所以
，解得
所以橢圓的標準方程為
. …（4分）
（Ⅱ）（i）設直線
：
與聯立并消去得：
.
記
，
，
，
. ……………（5分）
由A關于軸的對稱點為
，得
，
根據題設條件設定點為
（
，0），
得
，即
.
所以
即定點（1 ，
0）.
……………………………………（8分）
（ii）由（i）中判別式
，解得
.
可知直線
過定點
(1,0).
所以
……………（10分）
得
, 令
記
，得
，當
時，
.
在
上為增函數.
所以
，
得
.
故△OA1B的面積取值范圍是
.
……………（13分）
20. 本題主要考查函數的單調性、等差數列、不等式等基本知識，考查運用合理的推理證明解
決問題的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）因為
，
所以
.
………………（1分）
（i）當
時，
.
（ii）當
時，由
，得到
，知在
上.
（iii）當
時，由，得到，知在
上.
綜上，當
時，
遞增區間為；當時, 
遞增區間為
.
………………………………………（4分）
（Ⅱ）（i）因為
，
所以
，即
，
，即
. ……………………………………（6分）
因為
，
當
時，
，
當
時，
，
所以
.
…………………………（8分）
又因為
，
所以令
，則
得到
與
矛盾，所以
不在數列
中. ………（9分）
（ii）充分性：若存在整數
，使
.
設
為數列
中不同的兩項，則
.
又
且,所以
.
即
是數列的第
項. ……………………（10分）
必要性：若數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項，
則
，
，（
，為互不相同的正整數）
則
，令
，
得到
，
所以
，令整數
，所以. ……（11
分）
下證整數
若設整數
則
.令
，
由題設取
使
即
，所以
即
與
相矛盾，所以.
綜上, 數列中任意不同兩項之和仍為數列中的項的充要條件是存在整數，使.
……………………（14分）
21. （1）本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識，考查運算求解能力， 滿分7分.
解：
，即
，
所以
得
……………………（4分）
即M=
，由
得
.
或
=1
, 
. …………………（7分）
（2）本題主要考查圓極坐標方程和直線參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.
解：曲線的極坐標方程
可化為
,
其直角坐標方程為
，即
. ……………（2分）
直線的方程為
.
所以，圓心到直線的距離
……………………（5分）
所以，
的最小值為
.
…………………………（７分）
（3）本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.
解：由柯西不等式：
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