2008年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）
數學（理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項： 1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
參考公式：如果事件
互斥，那么
．
已知
是正整數，則
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知
，復數
的實部為
，虛部為1，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．記等差數列
的前
項和為
，若
，
，則
（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年級
二年級
三年級
女生
373
男生
377
370
3．某校共有學生2000名，各年級男、女生人數如表1．已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到二年級女生的概率是0.19．現用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數為（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若變量
滿足
則
的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．將正三棱柱截去三個角（如圖1所示
分別是
三邊的中點）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側視圖（或稱左視圖）為（ ）
6．已知命題
所有有理數都是實數，命題
正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．設
，若函數
，
有大于零的極值點，則（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平行四邊形
中，
與
交于點
是線段
的中點，
的延長線與
交于點
．若
，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
（一）必做題（9~12題）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
 |
，
．
（注：框圖中的賦值符號“
”也可以寫成“
”或“
”）
10．已知
（
是正整數）的展開式中，
的系數小于
120，則
．
11．經過圓
的圓心
，且與直線
垂直
的直線方程是 ．
12．已知函數
，，則
的
最小正周期是 ．
二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
13．（坐標系與參數方程選做題）已知曲線
的極坐標方程分別為
，
，則曲線
與
交點的極坐標為
．
14．（不等式選講選做題）已知，若關于的方程
有實根，則的取值范圍是 ．
15．（幾何證明選講選做題）已知
是圓
的切線，切點為
，
．是圓的直徑，
與圓交于點
，
，則圓的半徑
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分13分）
已知函數
，的最大值是1，其圖像經過點
．
（1）求的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
17．（本小題滿分13分）
隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為
．
（1）求
的分布列；
（2）求1件產品的平均利潤（即的數學期望）；
（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為
，一等品率提高為
．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？
18．（本小題滿分14分）
設
，橢圓方程為
，拋物線方程為
．如圖4所示，過點
作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為
，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點
．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設
分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點
，使得
為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．
19．（本小題滿分14分）
設
，函數
，
，，試討論函數
的單調性．
20．（本小題滿分14分）
如圖5所示，四棱錐
的底面是半徑為
的圓的內接四邊形，其中是圓的直徑，
，
，
垂直底面，
，
分別是
上的點，且
，過點
作
的平行線交于．
（1）求與平面
所成角
的正弦值；
（2）證明：
是直角三角形；
（3）當
時，求的面積．
21．（本小題滿分12分）
設
為實數，
是方程
的兩個實根，數列
滿足
，
，
（
…）．
（1）證明：
，
；
（2）求數列的通項公式；
（3）若
，
，求的前項和．
絕密★啟用前 試卷類型B
2008年普通高等學校招生全國統一考試(廣東卷)
一、選擇題：C D C C A D B B
1．C【解析】
，而
，即
，
2．D【解析】
，
，故
3．C【解析】依題意我們知道二年級的女生有380人，那么三年級的學生的人數應該是
，即總體中各個年級的人數比例為
，故在分層抽樣中應在三年級抽取的學生人數為
4．C 5．A
6．D【解析】不難判斷命題
為真命題，命題
為假命題，從而上述敘述中只有
為真命題
7．B【解析】
，若函數在
上有大于零的極值點，即
有正根。當有成立時，顯然有
，此時
，由
我們馬上就能得到參數
的范圍為
。
8．B
二、填空題：
9．【解析】要結束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，而同時
也整除，那么的最小值應為和的最小公倍數12，即此時有
。
10．【解析】
按二項式定理展開的通項為
，我們知道
的系數為
，即
，也即
，而
是正整數，故只能取1。
11．【解析】易知點C為
，而直線與
垂直，我們設待求的直線的方程為
，將點C的坐標代入馬上就能求出參數
的值為
，故待求的直線的方程為
。
12．【解析】
，故函數的最小正周期
。
二、選做題（13―15題，考生只能從中選做兩題）
13．【解析】由
解得
，即兩曲線的交點為
。
14．
15．【解析】依題意，我們知道
,由相似三角形的性質我們有
,即
。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．解：（1）依題意有
，則
，將點
代入得
，而
，
，
，故
；
（2）依題意有
，而
，
，
。
17．解：（1）
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列為：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）設技術革新后的三等品率為
，則此時1件產品的平均利潤為
依題意，
，即
，解得
所以三等品率最多為
18．解：（1）由
得
，
當
得
，
G點的坐標為
，
， 
，
過點G的切線方程為
即
，
令
得
，
點的坐標為
，
由橢圓方程得
點的坐標為
，
即，
即橢圓和拋物線的方程分別為
和
；
（2）
過
作軸的垂線與拋物線只有一個交點,
以
為直角的
只有一個，同理以
為直角的只有一個。
若以
為直角，設點坐標為
，、
兩點的坐標分別為
和
，
。
關于
的二次方程有一大于零的解，
有兩解，即以為直角的有兩個，
因此拋物線上存在四個點使得
為直角三角形。
19．解： 
，
對于
，
當
時，函數
在
上是增函數；
當
時，函數在
上是減函數，在
上是增函數；
對于
，
當
時，函數在
上是減函數；
當
時，函數在
上是減函數，在
上是增函數。
20．解：（1）在
中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在
中，
,即為以為直角的直角三角形。
設點
到面
的距離為
,
由
有
,
即 
，
;
(2)
,而
,
即
,
，
,
是直角三角形；
（3）
時
,
,
即
,
的面積
21．解：（1）由求根公式，不妨設
，得
，
（2）設
，則
，由
得，
，消去
，得
，
是方程
的根，
由題意可知，
①當
時，此時方程組
的解記為
即
、
分別是公比為
、
的等比數列，
由等比數列性質可得
,
,
兩式相減，得
，
，
，
，即
，
②當
時，即方程有重根，
，
即
，得
，不妨設
，由①可知
，
，
即
，等式兩邊同時除以
，得
，即
數列
是以1為公差的等差數列，
綜上所述，
（3）把
，
代入，得
，解得
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