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廣東省惠州市2008屆高三第二次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題（理科）2007.11

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中．只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧螹，集合N＝，則（）．

試題詳情

A． B．N C． D．M

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2、已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（）．

試題詳情

A． B． C． D．

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3、如果執(zhí)行的程序框圖（右圖所示），那么輸出的（）．

Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

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4、若曲線的一條切線與直線

垂直，則切線的方程為（）．

A、　 B、

C、 D、

5、方程有實(shí)根的概率為（）．

A、 B、 C、 D、

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6、已知是平面，是直線，則下列命題中不正確的是（）．

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A、若∥，則　 B、若∥，則∥

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C、若，則∥　D、若，則

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7、一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“”圖案，

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如圖所示，設(shè)小矩形的長、寬分別為、，剪去部分的面積為，

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若，記，則的圖象是（）．

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8、將函數(shù)的圖象先向左平移，然后將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）．

試題詳情

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）

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二、填空題：本大題共7小題，其中13～15題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．每小題5分，滿分30分．

9、已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值等于．

10、已知，則= ．

11、是虛數(shù)單位，則．

12、函數(shù)由下表定義：

若，，，則．

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13、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)曲線：上的點(diǎn)到曲線：上的點(diǎn)的最短距離為．

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14、(不等式選講選做題)已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．

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15、(幾何證明選講選做題)如圖，平行四邊形中，

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，若的面積等于1cm,

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則的面積等于 cm．

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三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16、（本小題滿分12分）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為, 已知，．

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（Ⅰ）求首項(xiàng)和公比的值；

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（Ⅱ）若，求的值．

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17、（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．

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（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

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（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的最大值為2，求的值，并求出的對(duì)稱軸方程．

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18、（本小題滿分14分）一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球．

（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求兩球恰好顏色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個(gè)球，求摸得白球的個(gè)數(shù)的期望和方差.

試題詳情

（方差：）

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19、（本小題滿分14分）如圖，已知四棱錐的

底面是菱形；平面,，

點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

20、（本小題滿分14分）給定圓P:及拋物

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線S:,過圓心作直線,此直線與上述兩曲線

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的四個(gè)交點(diǎn),自上而下順次記為,如果線

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段的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求直

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線的方程.

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21、（本小題滿分14分）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”．

試題詳情

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

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（Ⅱ）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

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（Ⅲ）設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中任意的，當(dāng)，且時(shí)，．

廣東省惠州市2008屆高三第二次調(diào)研考試

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一、選擇題：

題號(hào)

答案

1、解析：，N＝，

即．答案：．

2、解析：由題意得，又．

答案：．

3、解析：程序的運(yùn)行結(jié)果是．答案：．

4、解析：與直線垂直的切線的斜率必為4，而，所以，切點(diǎn)為．切線為，即，答案：．

5、解析：由一元二次方程有實(shí)根的條件，而，由幾何概率得有實(shí)根的概率為．答案：．

6、解析：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面，所以正確；如果兩個(gè)平面與同一條直線垂直，則這兩個(gè)平面平行，所以正確；

如果一個(gè)平面經(jīng)過了另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面平行，所以也正確；

只有選項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：．

7、解析：由題意，得，答案：．

8、解析：的圖象先向左平移，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍．答案：．

二、填空題：

題號(hào)

答案

9、解析：若，則，解得．

10、解析：由題意．

11、解析：

12、解析：令，則，令，則，

令，則，令，則，

…，所以．

13、解析：：；則圓心坐標(biāo)為．

：由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離為，所以要求的最短距離為．

14、解析：由柯西不等式，答案：．

15、解析：顯然與為相似三角形，又，所以的面積等于9cm．

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16、解: (Ⅰ), ……………………… 2分

∴，………………………………………………… 4分

解得．………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)由,得：, ……………………… 8分

∴ ………………………………… 10分

∴．…………………………………………………………… 12分

17、解：（1） … 2分

則的最小正周期， …………………………………4分

且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．

即為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不扣分）．………6分

（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)．

所以． …………………………9分

為的對(duì)稱軸． …………………12分

18、解：

（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件，………………………2分

∵“兩球恰好顏色不同”共種可能，…………………………5分

∴． ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率為．………………………………5分

∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為． ……………………………7分

（Ⅱ）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為，依題意得：

，，．…………10分

∴，……………………………………12分

．……………………14分

19、(Ⅰ)證明: 連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié).………………………1分

是菱形, ∴是的中點(diǎn). ………………………………………2分

點(diǎn)為的中點(diǎn), ∴. …………………………………3分

平面平面, ∴平面. ……………… 6分

(Ⅱ)解法一:

平面,平面,∴ .

，∴. …………………………… 7分

是菱形, ∴.

，

∴平面. …………………………………………………………8分

作，垂足為，連接，則,

所以為二面角的平面角. ………………………………… 10分

,∴，.

在Rt△中,=，…………………………… 12分

∴.…………………………… 13分

∴二面角的正切值是. ………………………… 14分

解法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的垂直平分線所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，……………2分

則，,．

∴． ……………4分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

由，得，

令，則，∴. …………………7分

平面,平面,

∴. ………………………………… 8分

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.…………………………… 9分

∴是平面的一個(gè)法向量,．………………… 10分

∴，

∴， …………………… 12分

∴．…………………………………… 13分

∴二面角的正切值是. ……………………… 14分

20、解:圓的方程為,則其直徑長,圓心為,設(shè)的方程為,即,代入拋物線方程得:,設(shè)，

有, ………………………………2分

則. ……………………4分

故 …6分

, ………… 7分

因此. ………………………………… 8分

據(jù)等差,_, …………… 10分

所以_，即,_，…………… 12分

即：方程為或. …………………14分

21、解：

（1）因?yàn)?sub>， …………………………2分

所以，滿足條件. …………………3分

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根．

所以函數(shù)是集合M中的元素． …………………………4分

（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），

則，……………………………………5分

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

使得等式成立， ………………………7分

因?yàn)?sub>，所以，與已知矛盾，

所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；………………………10分

（3）不妨設(shè)，因?yàn)?sub>

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