重慶市2009屆高三第二次質量檢測
數 學（理科）
本試卷分第第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共150分，考試時間120分鐘。
參考公式：
如果事件
互斥，那么 
如果事件相互獨立，那么 
如果事件A在一次實驗中發生的概率是P，那么它在
次獨立重復實驗中恰好發生
此的概率 
球的表面積公式 
其中
表示球的半徑
球的體積公式 
其中表示球的半徑
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2．選擇題沒小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題上。
3．填空題的答案和解答題的解答過程直接寫在答題卡Ⅱ上。
4．考試結束，監考人將本試題和答題卡一并收回。
第I卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題5分，共50分）各題答案必須答在答題卡上。
1．
A．-2 B．
2．若復數
，則
的虛部為
A．1
B．
D．
3．已知函數
，則下列結論正確的是
A．
在
處連續
B．
C．
D．
4．若命題甲：
A為假命題，命題乙：
也為假命題，
為全集，則下列四個用文氏形反應集合
與
的關系中可能正確的是
5．設函數
，
是
的小數點后第
位數字，
3.14159265358…，則
的值等于
A．1
B．
6．要得到函數
的圖象，只需將函數
的圖象上所有點
A．向右平移
個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的
倍（縱坐標不變）
B．向右平移
個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）
C．向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）
D．向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）
7．設數列
是以2為首項，1為公差的等差數列，
是以一為首項，2為公比的等比數列，則
A．1033
B．
8．直線
與橢圓
的一個交點為
，橢圓右準線與
軸交于
點，
為坐標原點，且
，則此橢圓的離心率為
A．
B．
C．
D．
9．如圖，在120°的二面角
內，半徑為1的圓
與半徑為2的圓
分別在半平面
內，且與棱
切于同一點，則以圓與圓為截面的球的表面積為
A．
B．
C．
D．
10．過原點的直線交雙曲線
與
兩點，現將坐標平面沿直線
折成直二面角，則折后線段
的長度的最小值等于
A．
B．
C．
D．4
第II卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：（本大題5個小題，每小題5分，共25分）各題答案必須填寫在答題卡II上（只填結果，不要過程）
11．
的展開式中含
項的系數為_____________。
12．已知向量
，則項量
與向量
的夾角為______________。
13．函數
在
處的切線方程是_______________。
14．某廣場中心建造一個花圃，花圃分成5個部分（如圖），現有4種不
同顏色的花可以栽種，若要求每部分必須栽種一種顏色的花且相鄰
部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有______________
種。（用數字作答）
15．在平面直角坐標系
中，已知集合
，則集合
表示的平面區域的面積為_________________。
三、解答題：（本大題6個小題，共75分）各題解答必須答在答題卡II上（必須寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程）。
16．（13分）設函數
（I）求函數
的周期；
（II）設函數的定義域為
，若
，求函數的值域。
17．（13分）某重點高校數學教育專業的三位畢業生甲、乙、丙參加了一所中學的招聘面試，
面試合格者可以正式簽約，畢業生甲表示只要面試合格就簽約，畢業生乙和丙則約定：兩人
面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是
，且面試是否合
格互不影響，求：
（I）至少有1人面試合格的概率；
（II）簽約人數
的分布列和數學期望。
18．（13分）如圖所示，四棱錐
中，
為
的中點，
點在
上且
（I）證明：
N；
（II）求直線
與平面
所成的角
19．（12分）已知
設的反函數為
。
（I）求
的單調區間；
（II）若對任意
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍。
20．（12分）已知雙曲線
的漸近線方程是
，且它的一條準線與漸近線
及軸
圍成的三角形的周長是
（I）求以的兩個頂點為焦點，以的焦點為頂點的橢圓
的方程；
（II）是橢圓的長為
的動弦，為坐標原來點，求
的面積
的取值范圍。
21．（12分）已知是各項都為正數的數列，
為其前項的和，且
（I）分別求
，
的值；
（II）求數列的通項
；
（III）求證：
高2009級學生學業質量調研抽測試卷（第二次）
數學（理科）參考解答及評分意見
DBCDA，CABCD
二、填空題：（本大題5個小題，每小題5分，共25分）
11．
12．
13．
14．72 15．10
三、解答題（本大題6個小題，共75分）
16．（13分）
解：（I）
故函數的周期為
（II）
又
函數的值域為
17（13分）
解：（I）至少有1人面試合格的概率為
（II）
從而的分布列為
0
1
2
3
18．（13分）
方法一：（I）過點
作
M交
于
點，
連結
又
為平行四邊形
平面
（II）過點作
交
于點，
于點
連結
過點作
于
，連結
易知
通過計算可得
，
，
方法二：以A為原點，以
所在直線分
別為
軸，建立空間直角坐標系
，
如圖所示，過點
交
連結，由已知可得A（0，0，0）、B（0，
2，0）、D（1，0，0）、C（1，1，0）、P（0，
0，1）、M（，，）、E（，0，）、
N（0，，0）
（I）
（II）不妨設
而
即向量與
的夾角為
，
直線與平面所成的角為
19．（12分）
解：（I）由
當時，
當
時，
，
的單調遞增區間是（-1，0），單調遞減區間是（0，
）
（II）設
則
當
時，
在
上是減函數；
當
時，
在
上是增函數。
20．（12分）
解：（I）由題意知雙曲線焦點在軸，設雙曲線的方程為
則
，解得
雙曲線的方程為
，故橢圓的方程為
（II）（1）當直線斜率不存在時，設直線的方程為
，
則
代入得
，
的面積
（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為
代入
得
令
則
又原點到的距離為
綜合（1）（2）可知，的面積
21．（12分）
解：（I）令
，得
（舍去負的），
同理，令
可得
（II）
（Ⅲ）令
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