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2009年山東卷考試說明數學（理工農醫類）

Ⅰ.命題指導思想

一、知識要求

1.了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道其內容是什么，并能在有關的問題中識別、模仿．

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2.理解：要求對所列知識內容有較為深刻的理性認識，清楚知識間的邏輯關系，能夠用數學語言對它們作正確的描述、說明，能夠利用所學的知識內容對有關的問題進行比較、判別、討論、推測，具備解決簡單問題的能力,并能初步應用數學知識解決一些現實問題.

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3.掌握：要求能夠對所列知識進行準確的刻畫或解釋、推導或證明、分類或歸納；系統地把握知識間的內在聯系，能夠靈活運用所學知識，分析和解決較為復雜的數學問題以及一些現實問題.

二、能力要求

能力主要指運算求解能力、數據處理能力、空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力，以及應用意識和創新意識．

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1.運算求解能力：能夠根據法則和公式進行正確運算、變形；能夠根據問題的條件，尋找并設計合理、簡捷的運算方法；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算．

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2.數據處理能力：能夠收集、整理、分析數據，能抽取對研究問題有用的信息，并作出正確判斷；能夠根據所學知識對數據進行進一步的整理和分析，解決所給問題．

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3.空間想象能力：能夠根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能夠準確地理解和解釋圖形中的基本元素及其相互關系；能夠對圖形進行分解、組合；能夠運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質和規律.

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4.抽象概括能力：能從具體、生動的實例中，發現研究對象的本質；能從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能將其應用于解決問題或作出新的判斷．

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5.推理論證能力：能夠根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題的真實性．

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6.應用意識：能夠綜合運用所學知識對問題所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題；能應用相關的數學思想和方法解決問題，并能用數學語言正確地表述和解釋．

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7.創新意識：能夠獨立思考，靈活和綜合地運用所學的數學知識、思想和方法，創造性地提出問題、分析問題和解決問題．

考試范圍是《普通高中數學課程標準（實驗）》中的必修課程內容和選修系列2的內容以及選修系列4－5的部分內容,即

數學1：集合、函數概念與基本初等函數I（指數函數、對數函數、冪函數）．

數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步．

數學3：算法初步、統計、概率．

數學4：基本初等函數II（三角函數）、平面上的向量、三角恒等變換．

數學5：解三角形、數列、不等式．

選修2－1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何．

選修2－2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入．

選修2－3：計數原理、統計案例、概率．

選修4－5：不等式的基本性質和證明的基本方法（指定選考）．

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四、具體考試內容及其要求

1. 集合

（1）集合的含義與表示

① 了解集合的含義，元素與集合的“屬于”關系．

② 能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題．

（2）集合間的基本關系

① 理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．

② 在具體情境中，了解全集與空集的含義．

（3）集合的基本運算

① 理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．

② 理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．

③ 能使用韋恩（Venn）圖表達集合的關系及運算．

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2. 函數概念與基本初等函數I（指數函數、對數函數、冪函數）

（1）函數

① 了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念．

② 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數．

③ 了解簡單的分段函數，并能簡單應用．

④ 理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．

⑤ 會運用函數圖象理解和研究函數的性質．

（2）指數函數

① 了解指數函數模型的實際背景．

② 理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算．

③ 理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點．

④ 知道指數函數是一類重要的函數模型．

（3）對數函數

① 理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用．

② 理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性,掌握對數函數圖象通過的特殊點．

③ 知道對數函數是一類重要的函數模型．

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④ 了解指數函數與對數函數互為反函數．

（4）冪函數

① 了解冪函數的概念．

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② 結合函數的圖象，了解它們的變化情況．

（5）函數與方程

① 結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數．

② 根據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解．

（6）函數模型及其應用

① 了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征；知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義．

② 了解函數模型（如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型）的廣泛應用.

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3. 立體幾何初步

（1）空間幾何體

① 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構．

② 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖．

③ 會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．

④ 會畫出某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）．

⑤ 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）．

（2）點、直線、平面之間的位置關系

① 理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解如下可以作為推理依據的公理和定理．

◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內．

◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．

◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．

◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．

② 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理．

理解以下判定定理：

◆如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．

◆如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行．

◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．

◆如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直．

理解以下性質定理，并能夠證明：

◆如果一條直線與一個平面平行，經過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行．

◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行．

◆垂直于同一個平面的兩條直線平行．

◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直．

③ 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．

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4. 平面解析幾何初步

（1）直線與方程

① 在平面直角坐標系中，結合具體圖形，掌握確定直線位置的幾何要素．

② 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式．

③ 能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．

④ 掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），了解斜截式與一次函數的關系．

⑤ 能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．

⑥ 掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．

（2）圓與方程

① 掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程．

② 能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程,判斷兩圓的位置關系．

③ 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．

④ 初步了解用代數方法處理幾何問題的思想．

（3）空間直角坐標系

① 了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置．

② 會推導空間兩點間的距離公式．

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5. 算法初步

（1）算法的含義、程序框圖

① 了解算法的含義，了解算法的思想．

② 理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環．

（2）基本算法語句

理解幾種基本算法語句――輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義．

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6. 統計

（1）隨機抽樣

① 理解隨機抽樣的必要性和重要性．

② 會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法．

（2）用樣本估計總體

① 了解分布的意義和作用，會列頻率分布表、會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.

② 理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差．

③ 能從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并給出合理的解釋．

④ 會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征,理解用樣本估計總體的思想．

⑤ 會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題．

（3）變量的相關性

① 會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系．

② 了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程．

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7. 概率

（1）事件與概率

① 了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別．

② 了解兩個互斥事件的概率加法公式．

（2）古典概型

① 理解古典概型及其概率計算公式．

② 會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率．

（3）隨機數與幾何概型

① 了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率．

② 了解幾何概型的意義．

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8. 基本初等函數II（三角函數）

（1）任意角的概念、弧度制

① 了解任意角的概念．

② 了解弧度制概念，能進行弧度與角度的互化．

（2）三角函數

① 理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義．

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② 能利用單位圓中的三角函數線推導出的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出的圖象，了解三角函數的周期性．

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③ 理解正弦函數、余弦函數在區間上的性質（如單調性、最大值和最小值以及與軸的交點等），理解正切函數在區間內的單調性．

④ 理解同角三角函數的基本關系式：

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．

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⑤ 了解函數的物理意義；能畫出的圖象，了解參數對函數圖象變化的影響．

⑥ 了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題．

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9. 平面向量

（1）平面向量的實際背景及基本概念

① 了解向量的實際背景．

② 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．

③ 理解向量的幾何表示．

（2）向量的線性運算

① 掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．

② 掌握向量數乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義．

③ 了解向量線性運算的性質及其幾何意義．

（3）平面向量的基本定理及坐標表示

① 了解平面向量的基本定理及其意義．

② 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．

③ 會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算．

④ 理解用坐標表示的平面向量共線的條件．

（4）平面向量的數量積

① 理解平面向量數量積的含義及其物理意義．

② 了解平面向量的數量積與向量投影的關系．

③ 掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．

④ 能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．

（5）向量的應用

① 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．

② 會用向量方法解決某些簡單的力學問題及其他一些實際問題．

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10. 三角恒等變換

（1）和與差的三角函數公式

① 會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式．

② 能利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式．

③ 能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系．

（2）簡單的三角恒等變換

能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）．

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11. 解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．

（2）應用

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．

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12. 數列

（1）數列的概念和簡單表示法

① 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）．

② 了解數列是自變量為正整數的一類函數．

（2）等差數列、等比數列

① 理解等差數列、等比數列的概念．

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② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式．

③ 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．

④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系．

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13. 不等式

（1）不等關系

了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景．

（2）一元二次不等式

① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．

② 通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．

③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．

（3）二元一次不等式組與簡單線性規劃問題

① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．

② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．

③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決．

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（4）基本不等式：

① 了解基本不等式的證明過程．

② 會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題．

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14. 常用邏輯用語

（1）命題及其關系

① 理解命題的概念.

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② 了解“若，則”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系．

③ 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義．

（2）簡單的邏輯聯結詞

了解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義．

（3）全稱量詞與存在量詞

① 理解全稱量詞與存在量詞的意義．

② 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．

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15. 圓錐曲線與方程

（1）圓錐曲線

① 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．

② 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質．

③ 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質．

④ 了解圓錐曲線的簡單應用．

⑤ 理解數形結合的思想．

（2）曲線與方程

了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系．

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16．空間向量與立體幾何

（1）空間向量及其運算

① 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．

② 掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．

③ 掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直．

（2）空間向量的應用

① 理解直線的方向向量與平面的法向量．

② 能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系．

③ 能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）．

④ 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用．

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17．導數及其應用

（1）導數概念及其幾何意義

① 了解導數概念的實際背景．

② 理解導數的幾何意義．

（2）導數的運算

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① 能根據導數定義，求函數的導數．

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② 能利用下面給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數（僅限于形如的復合函數）的導數．

?常見基本初等函數的導數公式和常用的導數計算公式：

（為常數），

?法則1：

?法則2：

?法則3：

（3）導數在研究函數中的應用

① 了解函數的單調性與導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）．

② 了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數一般不超過三次），會求在閉區間上函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）．

（4）生活中的優化問題

會利用導數解決某些實際問題．

（5）定積分與微積分基本定理

① 了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念．

② 了解微積分基本定理的含義．

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18. 推理與證明

（1）合情推理與演繹推理

① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用．

② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．

③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異．

（2）直接證明與間接證明

① 了解直接證明的兩種基本方法――分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．

② 了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過程、特點．

（3）數學歸納法

了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．

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19. 數系的擴充與復數的引入

（1）復數的概念

① 理解復數的基本概念．

② 理解復數相等的充要條件．

③ 了解復數的代數表示法及其幾何意義．

（2）復數的四則運算

① 會進行復數代數形式的四則運算．

② 了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．

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20. 計數原理

（1）分類加法計數原理、分步乘法計數原理

① 理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．

② 會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．

（2）排列與組合

① 理解排列、組合的概念．

② 能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式．

③ 能解決簡單的實際問題．

（3）二項式定理

① 能用計數原理證明二項式定理．

② 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．

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21．概率與統計

（1）概率

① 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性．

② 理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用．

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③ 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題．

④ 理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．

⑤ 利用實際問題的直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．

（2）統計案例

了解下列一些常見的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題．

① 獨立性檢驗

了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用．

② 假設檢驗

了解假設檢驗的基本思想、方法及其簡單應用．

③ 回歸分析

了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用．

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22．不等式的基本性質和證明的基本方法

（1）理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：

試題詳情

① .

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② .

（2）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

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（3）了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.反證法,放縮法

Ⅲ.考試形式與試卷結構

考試形式：考試采用閉卷、筆試形式．考試限定用時為120分鐘．考試不允許使用計算器．

試卷結構：試卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．試卷滿分為150分.第Ⅰ卷為單項選擇題，主要考查數學的基本知識和基本技能．共12題，60分.第Ⅱ卷為填空題和解答題，主要考查數學的思想、方法和能力.填空題共4題，16分.填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程．解答題包括計算題、證明題和應用題等, 共6題, 74分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.

Ⅳ.題型示例

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一．選擇題

1．定義集合運算：.設集合，則集合的所有元素之和為

（A）0 （B）6 （C）12 （D）18

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2．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是

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（A） ① ② （B） ① ③ （C） ① ④ （D） ② ④

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3．已知定義在R上的奇函數滿足，則的值為

(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

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4．函數的最小正周期和最大值分別為

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（A），1 （B），（C），1 （D），

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5．函數若，則的所有可能值為

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（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）

6．命題“對任意的，” 的否定是

（A）不存在，（B）存在，

（C）存在，（D）對任意的，

7．某班50名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒； …… 第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒. 右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. 設成績小于17秒的學生人數占全班總人數的百分比為, 成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數為，則從頻率分布直方圖中可分析出和分別為