上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研
數(shù)學(xué)試卷 （理科） 2009.04
說明：本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評分依據(jù)。
一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對應(yīng)的空格中.每個空格填對得5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.
1．若復(fù)數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image002.gif)
（第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image004.gif)
是虛數(shù)單位），則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image006.gif)
.
2. 已知函數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image008.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image010.gif)
是第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image012.gif)
的反函數(shù)，若第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image014.gif)
的圖像過點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image016.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image018.gif)
.
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image020.gif)
3. 用金屬薄板制作一個直徑為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image022.gif)
米，長為
4. 設(shè)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image024.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image026.gif)
是平面內(nèi)一組基向量，且第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image028.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image030.gif)
，則向量第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image032.gif)
可以表示為另一組基向量第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image034.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image036.gif)
的線性組合，即第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image038.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image040.gif)
.
5. 右圖是某算法的程序框圖，該算法可表示分段函數(shù)，則其輸出結(jié)果所表示的分段函數(shù)為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image043.gif)
.
6. 關(guān)于x、y的二元線性方程組第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image045.gif)
的增廣矩陣經(jīng)過變換，最后得到的矩陣為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image047.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image049.gif)
.
7. 在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image051.gif)
和第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image053.gif)
相交于點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image055.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image057.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image059.gif)
＝ .
8. 設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image061.gif)
與第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image063.gif)
（第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image065.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image067.gif)
）的第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image069.gif)
個頂點的四邊形面積為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image071.gif)
，聯(lián)結(jié)其個焦點的四邊形面積為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image074.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image076.gif)
的最大值為
.
9. 將函數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image078.gif)
的圖像向左平移第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image080.gif)
（第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image082.gif)
）個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為
.
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image085.gif)
10. 園丁要用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖所示圓形花壇的四塊區(qū)域. 要求同一區(qū)域內(nèi)須用同一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域須用不同顏色的鮮花. 設(shè)花圃中布置紅色鮮花的區(qū)域數(shù)量為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image087.gif)
，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image090.gif)
.
11. 已知數(shù)列第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image092.gif)
是首項為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image094.gif)
、公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image096.gif)
滿足第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image098.gif)
.若對任意的第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image100.gif)
,都有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image102.gif)
成立,則實數(shù)的取值范圍是
.
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在答題紙相應(yīng)的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內(nèi)），或者沒有填寫在題號對應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分.
12. 以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image104.gif)
的一個法向量的是
（ ）
A． 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image106.gif)
； B. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image108.gif)
； C. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image110.gif)
; D. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image112.gif)
.
13. 設(shè)數(shù)列第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image114.gif)
的首項第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image116.gif)
且前第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image118.gif)
項和為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image120.gif)
.已知向量第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image122.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image124.gif)
滿足第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image126.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image128.gif)
（ ）
A. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image130.gif)
；
B. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image132.gif)
;
C. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image134.gif)
;
D. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image136.gif)
.
14. 在△ABC中，“第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image138.gif)
”是“△ABC為鈍角三角形”的 （ ）
A．必要非充分條件； B．充分非必要條件； C．充要條件； D．既非充分又非必要條件.
15. 現(xiàn)有兩個命題：
（1） 若第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image140.gif)
，且不等式第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image142.gif)
恒成立，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image144.gif)
的取值范圍是集合第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image146.gif)
；
（2） 若函數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image148.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image150.gif)
的圖像與函數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image152.gif)
的圖像沒有交點，則的取值范圍是集合第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image154.gif)
；
則以下集合關(guān)系正確的是 （ ）
A． 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image156.gif)
； B. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image158.gif)
； C. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image160.gif)
； D. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image162.gif)
.
三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟.
16. （本題滿分12分）過拋物線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image164.gif)
的焦點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image166.gif)
且方向向量為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image168.gif)
的直線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image170.gif)
交該拋物線于、兩點，求第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image174.gif)
的值.
17. （本題滿分14分） 已知復(fù)數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image176.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image178.gif)
（是虛數(shù)單位），且第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image181.gif)
.當(dāng)實數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image183.gif)
時，試用列舉法表示滿足條件的第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image185.gif)
的取值集合.
18. （本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
若，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image189.gif)
（第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image191.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image193.gif)
）.
(1) 求第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image195.gif)
的值；
（2）求證：數(shù)列各項均為奇數(shù).
19. （本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image198.gif)
是矩形，其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image200.gif)
米，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image202.gif)
米.上部第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image204.gif)
是個半圓，固定點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image206.gif)
為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image208.gif)
的中點.第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image210.gif)
是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗（陰影部分均不通風(fēng)），第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image212.gif)
是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image214.gif)
平行的伸縮橫桿（和第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image216.gif)
不重合）.
（1）當(dāng)和之間的距離為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image218.gif)
的通風(fēng)面積；
（2）設(shè)與之間的距離為米，試將三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image223.gif)
（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image225.gif)
；
（3）當(dāng)與之間的距離為多少米時，三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積最大？并求出這個最大面積.
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image228.gif)
20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
如圖，四棱錐第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image230.gif)
中，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image232.gif)
平面，四邊形是直角梯形，其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image236.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image238.gif)
. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image240.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image242.gif)
.
（1）
求異面直線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image244.gif)
與第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image246.gif)
所成角的大小；
（2）
若平面內(nèi)有一經(jīng)過點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image249.gif)
的曲線，該曲線上的任一動點都滿足第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image253.gif)
與所成角的大小恰等于與所成角. 試判斷曲線的形狀并說明理由；
（3）在平面內(nèi)，設(shè)點是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image259.gif)
上的動點，其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image261.gif)
為曲線和第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image264.gif)
的交點. 以為圓心，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image267.gif)
為半徑的圓分別與梯形的邊、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image270.gif)
交于第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image272.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image274.gif)
兩點. 當(dāng)點在曲線段第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image277.gif)
上運動時，試提出一個研究有關(guān)四面體第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image279.gif)
的問題（如體積、線面、面面關(guān)系等）并嘗試解決.
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image281.gif)
【說明：本小題將根據(jù)你提出的問題的質(zhì)量和解決難度分層評分；本小題的計算結(jié)果可以使用近似值，保留3位小數(shù)】
上海市普陀區(qū)2008學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研
一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：
1. 第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image283.gif)
； 2. 理：2；文：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image285.gif)
；
3. 理：1.885；文：2；
4. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image287.gif)
；文：1.885； 5. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image289.gif)
；文：4；
6. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image291.gif)
；文：；
7. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image293.gif)
；文：； 8. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image130.gif)
；文：6； 9. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image296.gif)
；文：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image298.gif)
；
10. 理：1； 文：； 11. 理：第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image300.gif)
；文：； 12. 文：；
二、選擇題（每題4分，總分16分）：
題號
理12；文13
理13；文14
理：14；文：15
理15；文：16
答案
A
C
B
C
三、解答題：
16.（理，滿分12分）
解：因為拋物線的焦點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image166.gif)
的坐標(biāo)為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image303.gif)
，設(shè)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image305.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image307.gif)
，
由條件，則直線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image170.gif)
的方程為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image310.gif)
，
代入拋物線方程第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image164.gif)
，可得第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image312.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image314.gif)
.
于是，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image316.gif)
.
…2
…4
…8
…12
17.（文，滿分12分）
解：因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image318.gif)
，所以由條件可得第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image320.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image100.gif)
.
即數(shù)列第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image114.gif)
是公比第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image323.gif)
的等比數(shù)列.
又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image325.gif)
，
所以，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image327.gif)
.
…4
…6
…8
…12
（理）17.（文）18. （滿分14分）
解：因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image329.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image331.gif)
所以，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image333.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image335.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image337.gif)
即第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image339.gif)
或第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image341.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image343.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image345.gif)
或第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image347.gif)
，
又由第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image183.gif)
，即
當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image349.gif)
時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image351.gif)
或第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image353.gif)
；當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image355.gif)
時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image357.gif)
或第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image359.gif)
.
所以，集合第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image361.gif)
.
…3
…7
…11
…14
18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）
解：（1）當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image363.gif)
時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image365.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image367.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image369.gif)
故第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image371.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image373.gif)
，所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image375.gif)
.
（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法
（i）當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image377.gif)
時，易知第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image379.gif)
，為奇數(shù)；
（ii）假設(shè)當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image381.gif)
時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image383.gif)
，其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image385.gif)
為奇數(shù)；
則當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image387.gif)
時，
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image389.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image391.gif)
所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image393.gif)
，又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image395.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image397.gif)
，所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image399.gif)
是偶數(shù)，
而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image402.gif)
也是奇數(shù).
綜上（i）、（ii）可知，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image404.gif)
的值一定是奇數(shù).
證法二：因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image406.gif)
當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image408.gif)
為奇數(shù)時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image410.gif)
則當(dāng)時，是奇數(shù)；當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image414.gif)
時，
因為其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image416.gif)
中必能被2整除，所以為偶數(shù)，
于是，必為奇數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image419.gif)
其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image421.gif)
均能被2整除，于是必為奇數(shù).
綜上可知，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image096.gif)
各項均為奇數(shù).
…3
…6
…8
…10
…14
…15
…10
…14
…15
19. （文，滿分14分）
解：如圖，設(shè)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image270.gif)
中點為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image425.gif)
，聯(lián)結(jié)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image246.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image428.gif)
.
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image430.gif)
由題意，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image432.gif)
,第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image434.gif)
,所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image436.gif)
為等邊三角形，
故第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image438.gif)
，且第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image440.gif)
.
又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image442.gif)
，
所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image444.gif)
.
而圓錐體的底面圓面積為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image446.gif)
,
所以圓錐體體積第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image448.gif)
.
…3
…8
…10
…14
（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）
解：（1）由題意，當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image212.gif)
和第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image214.gif)
之間的距離為應(yīng)位于第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image264.gif)
上方，
且此時第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image210.gif)
中邊上的高為
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image454.gif)
又因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image456.gif)
米，可得第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image458.gif)
米.
所以，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image460.gif)
平方米，
即三角通風(fēng)窗第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image218.gif)
的通風(fēng)面積為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image463.gif)
平方米.
（2）1第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image465.gif)
如圖（1）所示，當(dāng)在矩形區(qū)域滑動，即第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image467.gif)
時，
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image469.gif)
的面積第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image471.gif)
；
2如圖（2）所示，當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動，即第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image473.gif)
時，
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image474.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image476.gif)
，故可得的面積
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image478.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image480.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image482.gif)
；
綜合可得：
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image484.gif)
（3）1當(dāng)在矩形區(qū)域滑動時，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image012.gif)
在區(qū)間第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image487.gif)
上單調(diào)遞減，
則有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image489.gif)
；
2當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動時，
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image491.gif)
，
等號成立第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image493.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image495.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image498.gif)
.
因而當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image500.gif)
（米）時，每個三角通風(fēng)窗得到最大通風(fēng)面積，最大面積為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image503.gif)
（平方米）.
…2
…4
…6
…9
…10
…12
…15
…16
21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）
解：（1）設(shè)右焦點坐標(biāo)為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image505.gif)
（第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image507.gif)
）.
因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image509.gif)
，
由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image512.gif)
.
于是可知，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image514.gif)
為等腰直角三角形，則由第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image516.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image518.gif)
，
又由等軸雙曲線中，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image520.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image522.gif)
.
即，等軸雙曲線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image249.gif)
的方程為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image525.gif)
.
（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個交點.
因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image531.gif)
，直線的方向向量為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image168.gif)
，直線的方程為
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image533.gif)
.
代入雙曲線的方程，可得第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image535.gif)
，
于是有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image537.gif)
而第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image539.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image541.gif)
.
（3）假設(shè)存在定點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image543.gif)
，使第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image545.gif)
為常數(shù)，其中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image547.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image549.gif)
為直線與雙曲線的兩個交點的坐標(biāo).
①當(dāng)直線與第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image185.gif)
軸不垂直時，設(shè)直線的方程為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image556.gif)
代入，可得第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image558.gif)
.
由題意可知，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image560.gif)
，則有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image562.gif)
，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image564.gif)
．
于是，第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image566.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image568.gif)
第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image570.gif)
要使是與第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image572.gif)
無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image574.gif)
，此時第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image576.gif)
.
②當(dāng)直線與軸垂直時，可得點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image579.gif)
,第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image581.gif)
，
若，亦為常數(shù).
綜上可知，在軸上存在定點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image584.gif)
，使為常數(shù).
…3
…5
…7
…9
…11
…13
…16
…17
…18
20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
解：（1）解法一：由題意，四邊形第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image198.gif)
是直角梯形，且∥，
則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image244.gif)
與所成的角即為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image588.gif)
.
因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image590.gif)
，又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image232.gif)
平面，
所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image592.gif)
平面第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image594.gif)
，則有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image596.gif)
.
因為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image598.gif)
，,
所以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image601.gif)
，則第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image603.gif)
，
即異面直線與所成角的大小為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image605.gif)
.
解法二：如圖，以第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image055.gif)
為原點，直線為軸、直線為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image611.gif)
軸、直線第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image613.gif)
為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image615.gif)
軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.
于是有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image617.gif)
、第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image619.gif)
，則有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image621.gif)
，又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image623.gif)
則異面直線與所成角第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image625.gif)
滿足第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image627.gif)
,
所以，異面直線與所成角的大小為.
（2）解法一：由條件，過第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image154.gif)
作第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image630.gif)
，垂足為，聯(lián)結(jié)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image633.gif)
.
于是有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image635.gif)
，故第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image253.gif)
與所成角即為第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image637.gif)
.
在平面中，以為原點，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)動點第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image645.gif)
，
則有第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image647.gif)
又第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研（理，四月）.files/image649.gif)
平面
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