試卷類型：A
2009年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
數(shù) 學(xué)（理科）
2009.４
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號）對應(yīng)的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔�？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image002.gif)
，
其中班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image004.gif)
是錐體的底面積，
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image006.gif)
是錐體的高．
球的表面積公式班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image008.gif)
，其中班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image010.gif)
為球的半徑．
如果事件班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image012.gif)
、班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image014.gif)
互斥，那么班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image016.gif)
．
如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image018.gif)
，那么在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image020.gif)
次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image022.gif)
次的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image024.gif)
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．如果復(fù)數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image026.gif)
是純虛數(shù)，則實數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image028.gif)
的值為
A．0 B．
2．已知函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image030.gif)
則函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image032.gif)
的零點個數(shù)為
A．1 B．
3．已知全集班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image034.gif)
，集合班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image036.gif)
≤班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image038.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image040.gif)
，則班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image042.gif)
A．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image044.gif)
B．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image046.gif)
C．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image048.gif)
D．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image050.gif)
4．命題“班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image052.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image054.gif)
”的否定是
A．，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image056.gif)
≥0 B．，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image058.gif)
C．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image060.gif)
，≥0 D．，
5．已知點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image063.gif)
，直線班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image065.gif)
：班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image067.gif)
，點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image010.gif)
是直線上的一點，若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image070.gif)
，則點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image072.gif)
的軌跡方程為
A．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image074.gif)
B．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image076.gif)
C．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image078.gif)
D．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image080.gif)
6．函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image082.gif)
的導(dǎo)函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image084.gif)
在區(qū)間班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image086.gif)
上的圖像大致是
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image088.jpg)
A. B. C. D.
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image089.gif)
7．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖1所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有
A．24種 B．30種 C．36種 D．48種
8．設(shè)直線與球班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image092.gif)
有且只有一個公共點，從直線出發(fā)的兩個半平面班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image095.gif)
、班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image097.gif)
截球的兩個截面圓的半徑分別為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image100.gif)
和班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image102.gif)
，二面角班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image104.gif)
的平面角為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image106.gif)
，則球的表面積為
A．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image109.gif)
B．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image111.gif)
C．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image113.gif)
D．班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image115.gif)
（一）必做題（9～12題）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image121.gif)
9．在空間直角坐標(biāo)系中，以點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image123.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image125.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image127.gif)
為頂點的班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image129.gif)
是以班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image131.gif)
為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image133.gif)
的值為 ．
10．在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規(guī)定計算參賽者比賽成績的規(guī)則如下：剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其他7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評委一個最高分為86分、一個最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績?yōu)?u> 分．
12．在平面內(nèi)有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image020.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image139.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image141.gif)
條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這條直線把平面分成班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image143.gif)
個平面區(qū)域，則班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image145.gif)
的值是
，的表達式是 ．
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image147.gif)
（二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）
13．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image149.gif)
中，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image151.gif)
，
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image153.gif)
，則班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image155.gif)
的值為
．
14．（不等式選講選做題） 函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image157.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image159.gif)
的最小值為 ．
15．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直線班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image161.gif)
被圓班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image163.gif)
（班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image165.gif)
為參數(shù)）所截得的弦長為
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知向量班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image167.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image169.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image171.gif)
，設(shè)函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image173.gif)
．
（1）求函數(shù)的值域；
（2） 已知銳角的三個內(nèi)角分別為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image012.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image014.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image179.gif)
，若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image181.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image183.gif)
，求班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image185.gif)
的值．
17．（本小題滿分12分）
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image193.gif)
在長方體班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image195.gif)
中，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image197.gif)
，過班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image199.gif)
、班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image201.gif)
、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖4所示的幾何體班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
，且這個幾何體的體積為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image206.gif)
．
（1）求棱班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image208.gif)
的長；
（2）在線段班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image210.gif)
上是否存在點，使直線班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image213.gif)
與班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image215.gif)
垂直，
如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由．
18．（本小題滿分14分）
已知等比數(shù)列班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image218.gif)
的前項和為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image221.gif)
，若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image223.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image225.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image227.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image229.gif)
成等差數(shù)列，試判斷班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image231.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image233.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image235.gif)
是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
19．（本小題滿分14分）
一個口袋中裝有2個白球和個紅球（≥2且班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image239.gif)
），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
（1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image018.gif)
；
（2）若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image242.gif)
，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image244.gif)
，當(dāng)為何值時，最大？
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image246.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image248.gif)
，其中班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image250.gif)
．
（1）若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image252.gif)
是函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image254.gif)
的極值點，求實數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image256.gif)
的值；
（2）若對任意的班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image258.gif)
（班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image260.gif)
為自然對數(shù)的底數(shù)）都有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image262.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
成立，求實數(shù)的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
已知雙曲線：班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image268.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image270.gif)
的離心率為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image272.gif)
，左、右焦點分別為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image274.gif)
、班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image276.gif)
，在雙曲線上有一點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image279.gif)
，使班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image281.gif)
，且班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image283.gif)
的面積為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image286.gif)
的動直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點、，在線段班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image291.gif)
上取異于、的點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image293.gif)
，滿足班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image295.gif)
．證明：點總在某定直線上．
2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）
說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分數(shù)．
2．對解答題中的計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．
4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.
9．2
10．79
11．0 或 2 12．16，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image297.gif)
13．1 14．3 15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力）
解：（1）班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image299.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image301.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image303.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image305.gif)
，
∴函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image032.gif)
的值域為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image307.gif)
．
（2）∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image181.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image183.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image309.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image311.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image313.gif)
都為銳角，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image315.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image317.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image319.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image321.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image323.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image185.gif)
的值為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image325.gif)
．
17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）設(shè)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image327.gif)
,∵幾何體班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
的體積為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image206.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image330.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image332.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image334.gif)
，解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image336.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image208.gif)
的長為4．
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image337.gif)
（2）在線段班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image210.gif)
上存在點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image072.gif)
，使直線班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image213.gif)
與班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image215.gif)
垂直．
以下給出兩種證明方法：
方法1：過點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image343.gif)
作的垂線交班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image346.gif)
于點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image293.gif)
，過點作班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image349.gif)
交于點．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image353.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image355.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image357.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image359.gif)
平面班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image361.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image363.gif)
平面，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image365.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image367.gif)
，∴平面班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image369.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image371.gif)
平面，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image373.gif)
．
在矩形班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image375.gif)
中，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image377.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image379.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image381.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image383.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image385.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image387.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image389.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image391.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image393.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image395.gif)
．
在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image397.gif)
中，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image399.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image401.gif)
．
由余弦定理，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image403.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image405.gif)
．
∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image410.gif)
．
方法2：以點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image412.gif)
為坐標(biāo)原點，分別以班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image414.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image416.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image418.gif)
所在的直線為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image133.gif)
軸，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image135.gif)
軸，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image422.gif)
軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由已知條件與（1）可知，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image424.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image426.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image428.gif)
，
假設(shè)在線段上存在點班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image430.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image432.gif)
≤≤2，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image435.gif)
，0≤≤班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image438.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image440.jpg)
使直線與垂直，過點作班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image443.gif)
交班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image131.gif)
于點．
由班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image447.gif)
∽班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image449.gif)
，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image451.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image453.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image455.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image457.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image459.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image461.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image463.gif)
，
即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image465.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image467.gif)
．
此時點的坐標(biāo)為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image469.gif)
，在線段上．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image471.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image473.gif)
．
∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為．
18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設(shè)等比數(shù)列班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image218.gif)
的首項為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image476.gif)
，公比為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image478.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image480.gif)
，
若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image223.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image225.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image227.gif)
成等差數(shù)列，
則班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image482.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image484.gif)
．
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image486.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image488.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image490.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image492.gif)
．
解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image494.gif)
或班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image496.gif)
．
當(dāng)時，∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image498.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image500.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image502.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image504.gif)
．
∴當(dāng)時，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image231.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image233.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image235.gif)
不成等差數(shù)列．
當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image507.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image509.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image511.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image513.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image515.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image517.gif)
．
∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．
證法2：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image520.gif)
，
又班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image522.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image524.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image526.gif)
，
∴．
∴當(dāng)時，，，成等差數(shù)列．
19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復(fù)試驗等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）∵一次摸球從班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image529.gif)
個球中任選兩個，有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image531.gif)
種選法，
任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image533.gif)
種選法，
∴一次摸球中獎的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image535.gif)
．
（2）若班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image242.gif)
，則一次摸球中獎的概率班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image538.gif)
，
三次摸球是獨立重復(fù)試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image540.gif)
．
（3）設(shè)一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image543.gif)
，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image545.gif)
，
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image547.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image244.gif)
在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image550.gif)
上為增函數(shù)，在班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image552.gif)
上為減函數(shù)．
∴當(dāng)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image554.gif)
時，取得最大值．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image556.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image558.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image560.gif)
，
解得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image562.gif)
．
故當(dāng)時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．
20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）解法1：∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image565.gif)
，其定義域為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image567.gif)
，
∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image569.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image252.gif)
是函數(shù)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image572.gif)
的極值點，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image574.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image576.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image250.gif)
，∴班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image579.gif)
．
經(jīng)檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的極值點，
∴．
解法2：∵，其定義域為班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image583.gif)
，
∴．
令班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image585.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image587.gif)
，整理，得班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image589.gif)
．
∵班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image591.gif)
，
∴的兩個實根班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image593.gif)
（舍去），班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image595.gif)
，
當(dāng)變化時，，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image599.gif)
的變化情況如下表：
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image602.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image604.gif)
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image606.gif)
―
0
＋
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image608.gif)
極小值
班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image610.gif)
依題意，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image612.gif)
，即班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image614.gif)
，
∵，∴．
（2）解：對任意的班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image258.gif)
都有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image262.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
成立等價于對任意的都有班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image619.gif)
≥班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image621.gif)
．
當(dāng)班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image624.gif)
［1，班綜合測試（二）理科數(shù)學(xué).files/image260.gif)
］時，
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