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1．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則   ( B )

A．（）    B．（）    C．（）    D．（）

2.若互不相等的實數成等差數列，成等比數列，且，則 ( D )

A．4    B．2    C．－2    D．－4

3.若的內角滿足，則                ( A )

A.    B．    C．    D．

4．設，則的定義域為                      ( B )

A．    B．     

C．     D．

5．在的展開式中，的冪的指數是整數的項共有             ( C )

A．3項    B．4項    C．5項    D．6項

6．關于直線與平面，有以下四個命題：      

①若且，則；

②若且，則；

③若且，則；

④若且，則；

其中真命題的序號是                                 ( D )

A．①②    B．③④    C．①④    D．②③

7．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是  ( D )

A．    B．

C．    D．

8．有限集合中元素的個數記做，設都為有限集合，給出下列命題：

①的充要條件是；

②的充要條件是；

③的充要條件是；

④的充要條件是；

其中真命題的序號是                                            ( B )

A．③④    B．①②    C．①④    D．②③

9．已知平面區域D由以為頂點的三角形內部＆邊界組成。若在區域D上有無窮多個點可使目標函數取得最小值，則 (C )

A．－2    B．－1    C．1    D．4

10．關于的方程，給出下列四個命題：    ( A )

①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數是

A．0    B．1    C．2    D．3

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

注意事項：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

11．設為實數，且，則  4        。

12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0．80，現有5人接種了該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為  0.94    。（精確到0．01）

13．已知直線與圓相切，則的值為 －18或8 。

14．某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是 20   。（用數字作答）

15．將楊輝三角中的每一個數都換成，就得到一個如右圖所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中   r＋1  。令，則        。

16．（本小題滿分12分）

設函數，其中向量，，，。

（Ⅰ）、求函數的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的。

   點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

   解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（?，?2）即為所求.

17．（本小題滿分13分）

已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。

（Ⅰ）、求數列的通項公式；

（Ⅱ）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。

（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

（Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。

點評：本小題主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數學問題的能力。

解法1：（Ⅰ）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.

（Ⅱ）可以推測，點Q應當是A_IC_I的中點O₁，因為

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

19．（本小題滿分10分）

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。

（Ⅰ）、試問此次參賽學生總數約為多少人？

（Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？

可共查閱的（部分）標準正態分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857

點評：本小題主要考查正態分布，對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力。

解：（Ⅰ）設參賽學生的分數為，因為～N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此，

參賽總人數約為≈526（人）。

（Ⅱ）假定設獎的分數線為x分，則

P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設獎得分數線約為83.1分。

20．（本小題滿分14分）

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x₀，y₀）.

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）.                       1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，）.

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）.      2

將1代入2，化簡得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝.

從而，點B在以MN為直徑的圓內。

21．（本小題滿分14分）

設是函數的一個極值點。

（Ⅰ）、求與的關系式（用表示），并求的單調區間；

（Ⅱ）、設，。若存在使得成立，求的取值范圍。

 點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（3，?a?1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（?a?1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區間（－∞，?a?1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（?a?1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是（0，）。

2006年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）

數學（理工農醫類）（編輯：寧岡中學張建華）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共4頁。全卷共150分�？荚囉脮r120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題  共50分）

注意事項：

4.     答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題紙上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

5.     每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試題卷上無效。

6.     考試結束后，監考人員將本試題卷和答題卡一并收回。

1．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則   ( B )

A．（）    B．（）    C．（）    D．（）

解：設＝（x，y），則有解得x＝，y＝，選B

2.若互不相等的實數成等差數列，成等比數列，且，則 ( D )

A．4    B．2    C．－2    D．－4

解：由互不相等的實數成等差數列可設a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比數列可得d＝6，所以a＝－4，選D

3.若的內角滿足，則                ( A )

A.    B．    C．    D．

解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A這銳角，所以sinA＋cosA>0，又，故選A

4．設，則的定義域為                      ( B )

A．    B．     

C．     D．

解：f（x）的定義域是（－2，2），故應有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4

故選B

5．在的展開式中，的冪的指數是整數的項共有             ( C )

A．3項    B．4項    C．5項    D．6項

解：，當r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時，x的指數分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數次冪，故選C

6．關于直線與平面，有以下四個命題：      

①若且，則；

②若且，則；

③若且，則；

④若且，則；

其中真命題的序號是                                 ( D )

A．①②    B．③④    C．①④    D．②③

解：用排除法可得選D

7．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是  ( D )

A．    B．

C．    D．

解：設P（x，y），則Q（－x，y），又設A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，于是，由可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0又＝（－a，b）＝（－x，3y），由＝1可得

故選D

8．有限集合中元素的個數記做，設都為有限集合，給出下列命題：

①的充要條件是；

②的充要條件是；

③的充要條件是；

④的充要條件是；

其中真命題的序號是                                            ( B )

A．③④    B．①②    C．①④    D．②③

解：①Û集合A與集合B沒有公共元素，正確

②Û集合A中的元素都是集合B中的元素，正確

③Û集合A中至少有一個元素不是集合B中的元素，因此A中元素的個數有可能多于B中元素的個數，錯誤

④Û集合A中的元素與集合B中的元素完全相同，兩個集合的元素個數相同，并不意味著它們的元素相同，錯誤

選B

9．已知平面區域D由以為頂點的三角形內部以及邊界組成。若在區域D上有無窮多個點可使目標函數z＝x＋my取得最小值，則 (C )

A．－2    B．－1    C．1    D．4

解：依題意，令z＝0，可得直線x＋my＝0的斜率為－，結合可行域可知當直線x＋my＝0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數z＝x＋my取得最小值，而直線AC的斜率為－1，所以m＝1，選C

10．關于的方程，給出下列四個命題：    ( A )

①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數是

A．0    B．1    C．2    D．3

解：關于x的方程可化為…………（1）

或（－1<x<1）…………（2）

①     當k＝－2時，方程（1）的解為±，方程（2）無解，原方程恰有2個不同的實根

②     當k＝時，方程（1）有兩個不同的實根±，方程（2）有兩個不同的實根±，即原方程恰有4個不同的實根

③     當k＝0時，方程（1）的解為－1，＋1，±，方程（2）的解為x＝0，原方程恰有5個不同的實根

④     當k＝時，方程（1）的解為±，±，方程（2）的解為±，±，即原方程恰有8個不同的實根

選A

第Ⅱ卷（非選擇題   共100分）

注意事項：

第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。

11．設為實數，且，則  4        。

解：，

而 所以，解得x＝－1，y＝5，

所以x＋y＝4。

12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0．80，現有5人接種了該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為  0.94    。（精確到0．01）

解：P＝＝0.94

13．已知直線與圓相切，則的值為 －18或8 。

解：圓的方程可化為，所以圓心坐標為（1，0），半徑為1，由已知可得

，所以的值為－18或8。

14．某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是 20   。（用數字作答）

解：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，可得有＝20種不同排法。

15．將楊輝三角中的每一個數都換成，就得到一個如下圖所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中   r＋1  。令，則

…

解：第一個空通過觀察可得。

＝（1＋－1）＋（）＋（＋－）＋（＋－）＋…＋（＋－）＋（＋－）

＝（1＋＋＋…＋）＋（＋＋＋＋…＋）－2（＋＋…＋）

＝〔（1＋＋＋…＋）－（＋＋…＋）〕＋〔（＋＋＋＋…＋）

－（＋＋…＋）〕＝1－＋－＝＋－

所以

16．（本小題滿分12分）

設函數，其中向量，，，。

（Ⅰ）、求函數的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的。

   點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

   解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（?，?2）即為所求.

17．（本小題滿分13分）

已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。

（Ⅰ）、求數列的通項公式；

（Ⅱ）、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。

（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

（Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。

點評：本小題主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數學問題的能力。

解法1：（Ⅰ）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.

（Ⅱ）可以推測，點Q應當是A_IC_I的中點O₁，因為

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

19．（本小題滿分10分）

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。

（Ⅰ）、試問此次參賽學生總數約為多少人？

（Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？

可共查閱的（部分）標準正態分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857

點評：本小題主要考查正態分布，對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力。

解：（Ⅰ）設參賽學生的分數為，因為～N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此，

參賽總人數約為≈526（人）。

（Ⅱ）假定設獎的分數線為x分，則

P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設獎得分數線約為83.1分。

20．（本小題滿分14分）

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x₀，y₀）.

∵M點在橢圓上，∴y₀＝（4－x₀²）.               1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P（4，）.

從而＝（x₀－2，y₀），

＝（2，）.

∴?＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）.      2

將1代入2，化簡得?＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴?>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為（，），

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

                 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁                     3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝                       4

又點M在橢圓上，則，即        5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝.

從而，點B在以MN為直徑的圓內。

21．（本小題滿分14分）

設是函數的一個極值點。

（Ⅰ）、求與的關系式（用表示），并求的單調區間；

（Ⅱ）、設，。若存在使得成立，求的取值范圍。

 點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x²＋(a－2)x＋b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²＋(a－2)3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（3，?a?1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（?a?1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區間（－∞，?a?1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間（?a?1，3）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].

又在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是（0，）。