2006年上海市普通高等學校招生考試
數學模擬試卷（三）
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．復數
的共軛復數是_____________.
2．不等式
的解集是
，則不等式
的解集為
.
3．已知
是坐標原點，經過
且與
垂直的直線方程是________________.
4．關于
的方程
有一實根為
，則
.
5．函數
的最小正周期為_________.
6．若正整數m滿足
，則m =
.
7．已知函數
的圖象過
，則
的反函數的圖象一定過點
.
8．若規定
，計算：
____________.
9．四位同學參加某種形式的競賽，競賽規則規定：每位同學必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分.若四位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數是 .
10．2004年元月9日，第十屆全國運動會籌備委員會正式成立，由二名主任和6名副主任組成主席團成員．若章程規定：表決一項決議必須在二名主任都同意，且副主任同意的人數超過半數才能通過．一次主席團全體成員表決一項決議，結果有6人同意，則決議通過的概率是 （結果用分數表示）
11．若
分別是橢圓
與
正半軸的交點，
是右焦點，且
的面積為
，則實數
.
12．某紡織廠的一個車間有
臺織布機，編號分別為1，2，3，…，
；該車間有技術工人名，編號分別為1，2，3，…，。定義記號
，如果第
名工人操作了第
號織布機，此時規定
，否則
。例如第3號織布機有且僅有一個人操作，則
，那么，7號工人操作了二臺機器，請用一個等式來表示
.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．滿足“對任意實數，
都成立”的函數可以是（ ）
（A）
(B)
(C)
(D)
14．設
，若關于的不等式
的解集為
，則關于的不等式
的解集為（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
15．已知
是單調增的等比數列，
為公比. 若
，則（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
16．若
，且
，則
（ ）
（A）既有最大值，也有最小值； （B）有最大值，無最小值；
（C）有最小值，無最大值； （D）既無最大值，也無最小值。
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．（本小題滿分12分）
求函數
的最小正周期、最大值和最小值.
18．（本小題滿分12分）
在正方體
中，棱長
.
(1)若E為棱
的中點，求證：
；
(2)求點
到平面EAB的距離;
(3)求二面角C-AE-B的平面角的正切值.
19．（本小題滿分14分）
設z為虛數, 若關于
的方程
有實根，
求: |
|的最小值，并求||最小時的方程的根.
20．（本小題滿分14分）
一片森林面積為a，計劃每年砍伐一批木材，每年砍伐面積的百分比相等，則砍伐到原面
積的一半時，所用時間是T年．為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的25％．已
知到今年止，森林剩余面積為原來的
．
(1) 問到今年止，該森林已砍伐了多少年？ (2) 問今后最多還能砍伐多少年？
21．（本小題滿分16分）
已知集合
.
（1）設
，若點
，求的取值范圍；
（2）設
，若點
，求
的取值范圍；
（3）設
，若點
，但點
.求
的值.
22．（本小題滿分18分）
設
，
是曲線
上任意一點，且滿足
，為坐標原點，直線
與曲線交于不同兩點
和
。
（1）求
；
（2）設點
，求
的中點
的軌跡方程。
2006年上海市普通高等學校招生考試
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
； 6．155； 7．.(1,2)； 8．
； 9．
； 10．
； 11．
； 12．
.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．C； 14．D； 15．B； 16．D
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．
所以函數
的最小正周期是π，最大值是，最小值是
.
18． (1)略；（2）3;（3）
19．設實根為
，則
∴
，此時，
，公共根
， ∴
或
20．設每年砍伐面積的百分比為
. 則 
， ∴ 
，
．
(1) 設到今年為止，該森林已砍伐了x年，∴ 
，
于是 
，表明已砍伐了
年．
(2) 設從開始砍伐到至少保留到原面積的25％，需y年．
∴ 
，∴ 
y ≤ 2T．
因此今后最多還能砍伐的年數為 
．
21．（1）當
時，集合
，由
得：
，故
的取值范圍是
；
（2）當
時，集合
，由
得：
，故
的取值范圍是
；
（3）依題意；
，(1)-(2)、(1)-(3)得：
，代入得：
. 綜上：
.
22．曲線
為橢圓
。設
、
是直線與拋物線的交點，由
，得
。則
，
， 
。
（2）設
，則
，得
，即
為所求.
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