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題目列表(包括答案和解析)

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22．(本小題滿分14分)

如圖，設拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.

(1)求△APB的重心G的軌跡方程.

(2)證明∠PFA=∠PFB.

[思路點撥]本題涉及解析幾何中直線與拋物線的若干知識.

[正確解答](1)設切點A、B坐標分別為，

∴切線AP的方程為：

　切線BP的方程為：

解得P點的坐標為：

所以△APB的重心G的坐標為，

所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

　 (2)方法1：因為

由于P點在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

[解后反思]解析幾何主要的是點和曲線的位置關(guān)系、對稱性，標準方程當中系數(shù)對位置的影響.圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì),解析幾何的解答題往往是高檔題，常常涉及的內(nèi)容是求軌跡方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、對稱、最值、范圍.做這類題目一定要認真細心,提高自己的運算能力和思維能力.

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21．(本小題滿分12分)

已知數(shù)列

(1)證明

(2)求數(shù)列的通項公式a_n.

[思路點撥]本題考查數(shù)列的基礎知識，考查運算能力和推理能力.第(1)問是證明遞推關(guān)系，聯(lián)想到用數(shù)學歸納法，第(2)問是計算題，也必須通過遞推關(guān)系進行分析求解.

[正確解答](1)方法一用數(shù)學歸納法證明：

1°當n=1時，

　 ∴，命題正確.

2°假設n=k時有

　則

而

又

∴時命題正確.

由1°、2°知，對一切n∈N時有

方法二：用數(shù)學歸納法證明：

　　 1°當n=1時，∴；

　　 2°假設n=k時有成立，

　　　令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設

有：即

也即當n=k+1時　成立，所以對一切

　 (2)下面來求數(shù)列的通項：所以

又b_n=－1，所以.

[解后反思]數(shù)列是高考考綱中明文規(guī)定必考內(nèi)容之一,考綱規(guī)定學生必須理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.當然數(shù)列與不等式的給合往往得高考數(shù)學的熱點之一,也成為諸多省份的最后壓軸大題,解決此類問題,必須有過硬的數(shù)學基礎知識與過人的數(shù)學技巧,同時運用數(shù)學歸納法也是比較好的選擇,不過在使用數(shù)學歸納法的過程中,一定要遵循數(shù)學歸納法的步驟.

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20．(本小題滿分12分)

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

　 (1)證明：D₁E⊥A₁D；

　 (2)當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

　 (3)AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為.

[思路點撥]本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識,

[正確解答]解法(一)

(1)證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

(2)設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

(3)過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

　 ∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

解法(二)：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因為E為AB的中點，則E(1，1，0)，從而，

，設平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

(3)設平面D₁EC的法向量

，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=時，二面角D₁-EC-D的大小為.

[解后反思]立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容,本題實質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣坐標才比較好寫出來.

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19．(本小題滿分12分)

A、B兩位同學各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù).

(1)求的取值范圍；

(2)求的數(shù)學期望E.

[思路點撥]本題考查涉及概率等若干知識，理解的含義是解決本題的關(guān)鍵.

[正確解答](1)設正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，

可得：

(2)

[解后反思]要想做對此類問題,要具備兩個條件,首先要理解題目所涉及的知識,本題有一定的抽象性,如果你不理解題目,你就無從下手,第二要記牢這一類題目的做題步驟,做此類型題目,有時候步驟很重要的,嚴格按照書中例題的步驟完成是得到正確答案的保證.

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18．(本小題滿分12分)

已知向量.

是否存在實數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.

[思路點撥]本題主要考查向量與三角,導數(shù)的綜合題,正確化簡f(x)是解該題的關(guān)健.

[正確解答]

[解后反思]本題是一道簡單三角函數(shù)題,不過我們?nèi)匀辉诒绢}的解決過程中,發(fā)現(xiàn)這樣一個問題,化簡在解決數(shù)學過程中的重要地位,本題只要化簡到位,那么在解決的過程會大大縮短,一切都變的簡單起來,所以在解三角函數(shù)問題或其他的數(shù)學問題,能化簡的,要盡量先化簡.

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17．(本小題滿分12分)

已知函數(shù)(a，b為常數(shù))且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x₁=3, x₂=4.

　 (1)求函數(shù)f(x)的解析式；

　 (2)設k>1，解關(guān)于x的不等式；

[思路點撥]本題主要考查求函數(shù)的解析式及含參分式不等式的解法.

[正確解答](1)將得

(2)不等式即為

即

①當

②當

③.

[解后反思]解不等式的過程實質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的過程,分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式,解分式不等式一般情況下是移項,通分,然后轉(zhuǎn)化成整式不等式,對于高次不等式,借助數(shù)軸法,則簡單,快捷,另外,

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16．以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中

　　　 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；

　　　 ②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；

　　　 ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

　　　 ④雙曲線有相同的焦點.

　　　其中真命題的序號為　　　　　　　　 (寫出所有真命題的序號)

[思路點撥]本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)主要由a,b,c,e的關(guān)系求得

[正確解答]雙曲線的第一定義是:平面上的動點P到兩定點是A,B之間的距離的差的絕對值為常數(shù)2a,且,那么P點的軌跡為雙曲線,故①錯，

由,得P為弦AB的中點,故②錯，

設的兩根為則可知兩根互與為倒數(shù),且均為正,故③對，

的焦點坐標(),而的焦點坐標(),故④正確.

[解后反思]要牢牢掌握橢圓,雙曲線的第一定義,同時還要掌握圓錐曲線的統(tǒng)一定義,弄清圓錐曲線中a,b,c,e的相互關(guān)系.

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15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

AB=BC=，BB₁=2，，

E、F分別為AA₁、C₁B₁的中點，沿棱柱的表面從E

到F兩點的最短路徑的長度為　　　　　　　 .

[思路點撥]本題主要考查空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離.

[正確解答]分別延將E、F展開到同一平面內(nèi)，則易得：，,或

比較可得，最小值為.

[解后反思]將平面圖形空間化也是立體幾何的另一種問題形式,在做立體幾何中,許多問題都是空間圖形進行平面化,努力將一個個空間圖形,通過所學的幾何知識,轉(zhuǎn)化成平面圖形,最后使用平面幾何的若干知識解決,而本題卻反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本質(zhì)上有許多相通之處,在這類題目中,盡量找出兩者圖形過程中的聯(lián)系之處,哪些量變啦,哪些量沒有變,然后解決起來,就會順手多啦.

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14．設實數(shù)x, y滿足　　　　　　　　.