383. 四面體ABCD的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有 ( )
(A)1個(gè) (B)2個(gè)
(C)3個(gè) (D)4個(gè)
解析：(D)
設(shè)底面為直角三角形，從底面的一個(gè)銳角頂點(diǎn)作平面的垂線，則這樣的四面體的每個(gè)面都是直角三角形．
382. 如圖，ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．
(1) 求證：PC⊥CD；
(2) 求點(diǎn)B到直線PC的距離．
解析：(1)要證PC與CD垂直，只要證明AC與CD垂直，可按實(shí)際情形畫出底面圖形進(jìn)行證明．(2)從B向直線PC作垂直，可利用△PBC求高，但需求出三邊，并判斷其形狀(事實(shí)上，這里的∠PBC＝90°)；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關(guān)鍵在于找出B在平面PAC內(nèi)的射影，因平面PAC處于“豎直狀態(tài)”，則只要從B作“水平”的垂線，可見(jiàn)也只要從B向AC作垂線便可得其射影．
證明 (1)取AD的中點(diǎn)E，連AC，CE，
則ABCE是正方形，△CED為等腰直角三角形．
∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；
解 (2)連BE交AC于O，則BE⊥AC，
又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．
過(guò)O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC．
∵PA＝a，AC＝
，∴PC＝
，則OH＝
，
∵BO＝
，∴BH＝
381. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中點(diǎn)，N在AB上，且AN∶NB＝1∶3，求證：C1M⊥MN．
解析：在空間中作出兩條直線垂直相對(duì)較在平面內(nèi)作兩條直線垂直難．此題C1M與MN是相交直線，一種方法可通過(guò)勾股定理來(lái)驗(yàn)證它是否垂直，另一方法為：因MN是平面A1ABB1內(nèi)的一條直線，可考慮MC1在平面A1ABB1內(nèi)的射影．
證明1 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則MN＝
，
C1M＝
，C1N＝
，
∵M(jìn)N2+MC12＝NC12，∴C1M⊥MN．
證明2 連結(jié)B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1，
∴B1M為C1M在平面A1ABB1上的射影．
設(shè)棱長(zhǎng)為a ，∵AN＝
，AM＝
，∴tan∠AMN＝
，
又tan∠A1B1M＝，則∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN，
由三垂線定理知，C1M⊥MN．
380.
如圖，在正四面體ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面體，M為AD的中點(diǎn)，求CM與平面BCD所成角的余弦值．
解析：要作出CM在平面BCD內(nèi)的射影，關(guān)鍵是作出M在平面BCD內(nèi)的射影，而M為AD的中點(diǎn)，故只需觀察A在平面BCD內(nèi)的射影，至此問(wèn)題解法已明朗．
解 作AO⊥平面BCD于O，連DO，作MN⊥平面BCD于N，則N∈OD．
設(shè)AD＝a，則OD＝
，∴AO＝
，∴MN＝
．
又∵CM＝
，∴CN＝
．
∴CM與平面BCD所成角的余弦值為
．
379. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36，若平面ABC外一點(diǎn)P與平面A，B，C三點(diǎn)等距離，且P到平面ABC的距離為80，M為AC的中點(diǎn)．
(1)求證：PM⊥AC；
(2)求P到直線AC的距離；
(3)求PM與平面ABC所成角的正切值．
解析：點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)等距離，則P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心，而△ABC為直角三角形，其外心為斜邊的中點(diǎn)．
證明 (1)∵PA＝PC，M是AC中點(diǎn)，∴PM⊥AC
解 (2)∵BC＝36，∴MH＝18，又PH＝80，
∴PM＝
，即P到直線AC的距離為82；
(3)∵PM=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射線為△ABC的外心，
∵∠C=90° ∴P在平面ABC內(nèi)的射線為AB的中點(diǎn)H。
∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影，
則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝
378. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求：
(1)A1B與平面A1B1CD所成的角；
(2)B1B在平面A1C1B所成角的正切值．
解析： 求線面成角，一定要找準(zhǔn)斜線在平面內(nèi)的射影．
(1)先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線．
這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，
∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影．
(2)若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計(jì)B1B在平面A1C1B內(nèi)的射影應(yīng)落在O1B上，這是因?yàn)锳1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時(shí)，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內(nèi)的射影．另在求此角大小時(shí)，只要求∠B1BO1即可．
解析：(1)如圖，連結(jié)BC1，交B1C于O，連A1O．
∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1
平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．
又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，
∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影，
則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．
sin∠BA1O＝
，∴∠BA1O＝30°．
(2)連結(jié)A1C1交B1D1于O1，連BO1，
作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H．
又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B，
∴∠B1BO1為B1B與平面A1C1B所成的角，
tan∠B1BO
=
，即B1B與平面A1C1B所成的角的正切值為
．
377. Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝ ．
解析：13．
AB＝10，∴CD＝5，則ED＝
＝13．
376. △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們?cè)讦恋耐粋?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為 ．
解析：3cm ．
＝3cm ．
375. 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB＝1：2，則P到平面α的距離為 ．
解析：7cm或1cm．
分A，B在平面α的同側(cè)與異側(cè)兩種情況．同側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為
＝7(cm)，異側(cè)時(shí)，P到平面α的距離為
＝1(cm)．
374. P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點(diǎn)的距離分別是
，
，
，則P到A點(diǎn)的距離是 ( )
(A)1 (B)2 (C)
(D)4
解析：(A)
設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．
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