432. 已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球表面積是( )
A.
π B.
π C.4π D.
π
解析： 如圖，過ABC三點的截面圓的圓心是O′，球心是O，連結AO′、OO′，則OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC為正三角形.
∴AO′＝
×2＝
設球半徑為R，則OA＝R，OO′＝
在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝
+(
)2
∴R＝
∴球面面積為4πR2＝π
∴應選A.
說明 因為R＝OA＞O′A＞
AB＝1，所以球面積S＝4πR2＞4π.從而選A.
431. 球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的
，經過3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為( )
A.4 B.2
C.2
D.
解析： 設球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設三點A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝
，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等邊三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形.
邊長等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑.
r＝AB＝R
R＝
r＝2
∴應選B.
2.在球心的同一側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積各為49πcm2和400πcm2.求球的表面積.
解： 如圖，設球的半徑為R，
∵πO2B2＝49π， ∴O2B＝7
同理 O1A＝20
設OO1＝xcm，則OO2＝(x+9)cm.
在RtΔOO1A中，可得R2＝x2+202
在RtΔOO2B中，可得R2＝72+(x+9)2
∴x2+202＝72+(x+9)2
解方程得 x＝15cm
R2＝x2+202＝252
∴S球＝4π·OA2＝2500π(cm2)
430.求證：球的任意兩個大圓互相平分.
證明：因為任意兩個大圓都過球心O，所以它們必交于過球心的直徑，這條直徑也是兩個大圓的公共直徑，所以任意兩個大圓互相平分.
429. 求棱長為a的正四面體的外接球和內切球的半徑.
解析：如圖，作AH⊥底面BCD于H，則AH＝
a，設內切球的球心為O，半徑為r，O點與A、B、C、D相連，得四個錐體，設底面為S，則每個側面積為S，有4·
·Sr＝S·AH，∴r＝
AH＝
a,設外接球心為O，半徑R，過A點作球的半徑交底面ΔBCD于H，則H為ΔBCD的外心，求得BH＝
a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2.
解得R＝a.
428. 如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P-ABC的體積的最大值.
解析：先選其中兩條弦PA、PB，設其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.
解： (1)設過PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，
∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.
設O為球心，則OO1⊥平面⊙O1，
∵PC⊥⊙O1平面，
∴OO1∥PC，因此過PC、PD的平面經過球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.
∴CD是球的直徑.
故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.
(2)設PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐P-ABC的體積V＝xyz，
V2＝
x2y2z2≤(
)3＝·
＝
R6.
∴V≤
R3.
即 V最大＝R3.
評析：定值問題可用特殊情況先“探求”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探求得定值4R2可為(1)的證明指明方向.
球面上任一點對球的直徑所張的角等于90°，這應記作很重要的性質.
427. 已知圓錐的母線長為l，母線對圓錐底面的傾角為θ，在這個圓錐內有一內切球，球內又有一個內接的正方體，求這個內接正方體的體積.
解析：設球半徑為R，以內接正方體對角面為軸截面，如圖.連接OA，∠OAD＝
，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設正方體棱長為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝
(lcosθtan)3.
426. 地球半徑為R，A、B兩地都在北緯45°線上，且A、B的球面距離為
，求A、B兩地經度的差.
解析：如圖，O為球心，O1為北緯45°小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數，進而求得線段AB的長，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經度差.
解： 設O1是北緯45°圓的中心，
∵A、B都在此圓上，
∴O1A＝O1B＝
R.
∵A、B的球面距離為，
∴∠AOB＝
＝
＝,ΔAOB為等邊三角形.
AB＝R，在ΔAO1B中，
∵O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2，
∴∠AO1B＝90°.
∴A、B兩地的經度差是90°.
評析：注意搞清緯度和經度的問題，球面距離三步驟的運用是非常重要的問題.
425. 求證：球的外切正四面體的高是球的直徑的2倍.
證明： 設球的半徑為R，正四面體的高為h，側面積為S，則有VA-BCD＝VO-ABC+VO-ABD+VO-BCD，如圖，即Sh＝4×SR,∴h＝4R.
424. 正三棱錐的底面邊長是2cm，側棱與底面成60°角，求它的外接球的表面積.
解析：如圖，PD是三棱錐的高，則D是ΔABC的中心，延長PD交球于E，則PE就是外接球的直徑，AD＝AB＝，∠PAD＝60°，∴PD＝AD·tan60°＝2,PA＝，而AP⊥AE，∴PA2＝PD·PE＝
＝，R＝，∴S球＝π(cm)2.
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com