答案：1. 首先，求出集合$A$：
對于集合$A=\{x|x^{2}-3x - 10\leqslant0\}$，解不等式$x^{2}-3x - 10\leqslant0$。
因式分解得$(x - 5)(x+2)\leqslant0$，則其解為$-2\leqslant x\leqslant5$，即$A = \{x|-2\leqslant x\leqslant5\}$。
2. 然后，求出$\complement_{R}B$：
已知$B=\{x|m + 1\leqslant x\leqslant2m - 1\}$，則$\complement_{R}B=\{x|x\lt m + 1或x\gt2m - 1\}$。
3. 接著，因為$(\complement_{R}B)\cup A = R$：
分兩種情況討論：
情況一：當$B=\varnothing$時，$m + 1\gt2m - 1$，
解不等式$m + 1\gt2m - 1$，移項得$2m-m\lt1 + 1$，即$m\lt2$，此時$\complement_{R}B = R$，$(\complement_{R}B)\cup A = R$成立。
情況二：當$B\neq\varnothing$時，即$m\geqslant2$，要使$(\complement_{R}B)\cup A = R$，則$\left\{\begin{array}{l}m\geqslant2\\m + 1\leqslant5\\2m-1\geqslant - 2\end{array}\right.$。
解$m + 1\leqslant5$，得$m\leqslant4$；解$2m-1\geqslant - 2$，移項得$2m\geqslant-2 + 1$，即$2m\geqslant-1$，$m\geqslant-\frac{1}{2}$。
結合$m\geqslant2$，取交集得$2\leqslant m\leqslant4$。
4. 最后，取并集：
綜合兩種情況，$m$的取值范圍是$m\leqslant4$。
所以$m$的取值范圍是$(-\infty,4]$。
