2025年長江作業本同步練習冊高中數學必修第一冊人教版
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知識點一 子集與真子集
1.子集
（1）定義：一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中
任意一個
元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的
子集
。
（2）符號：A
?
B（或B
?
A）。
（3）讀法：A
包含于
B（或B
包含
A）。
答案：（1）任意一個；子集
（2）?；?
（3）包含于；包含
2.真子集
（1）定義：如果集合A
?
B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集。
（2）符號：A
?
B（或B
?
A）。
（3）讀法：A
真包含于
B（或B
真包含
A）。
答案：（1）?
（2）?；?
（3）真包含于；真包含
知識點二 空集的概念
（1）定義：一般地，把不含
任何
元素的集合叫做空集。
（2）符號：
?
。
（3）規定：空集是任何集合的
子集
。
答案：（1）任何
（2）?
（3）子集
知識點三 集合相等
（1）定義：一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作
A=B
。
（2）符號：若A?B且
B?A
，則A=B。
答案：（1）A=B
（2）B?A
【微訓練】
1.判斷正誤（正確的打“√”，錯誤的打“×”）。
（1）空集中只有元素0，而無其他元素。（
×
）
（2）任何一個集合都有子集。（
√
）
（3）空集是任何集合的真子集。（
×
）
答案：（1）×
（2）√
（3）×
解析：（1）空集不含任何元素，故錯誤；（2）任何集合都是自身的子集，故正確；（3）空集是任何非空集合的真子集，不是自身的真子集，故錯誤。
2.下列四個集合中，是空集的為（
B
）
A. {0}
B. {x|x＞8,且x＜5}
C. {x|x2-1=0}
D. {x|x＞4}
答案：B
解析：A含元素0，C含±1，D含大于4的數，B中x＞8且x＜5無解，為空集，故選B。
【微訓練】
設$a\in\mathbf{R}$，若集合{2,9}={1 - a,9}，則a=
-1
。
答案：-1
解析：由集合相等可知$1 - a=2$，解得$a=-1$。
知識點四 集合間關系的性質
（1）任何一個集合都是它本身的子集，即A
?
A。
（2）對于集合A,B,C，
①若A?B，且B?C，則A
?
C；
②若A?B，B?C，則A?C。
（3）若A?B，A≠B，則A?B。
答案：（1）?
（2）①?
