2025年精準學與練八年級數學上冊北師大版
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8. 如圖，已知△ABC，求作：
（1）角平分線 AD。
（2）AB 邊上的中線 CE。
（3）AC 邊上的高線 BF。
答案：（1）以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB、AC于兩點，再分別以這兩點為圓心，大于1/2兩點間距離為半徑畫弧，交于一點，過A和該點作射線AD，AD即為角平分線。
（2）取AB中點E（用尺規作AB的垂直平分線交于E），連結CE，CE即為中線。
（3）過B作AC所在直線的垂線，垂足為F，BF即為高線。
9. 如圖，在△ABC 中，BD⊥AC 于點 D，AE 是△ABC 的角平分線，交 BD 于點 E，∠AEB=120°，∠CBA=40°，求∠C 的度數。
答案：80°
解析：因為BD⊥AC，所以∠ADB = 90°。在△ADE中，∠AED = 180° - ∠AEB = 180° - 120° = 60°，則∠DAE = 90° - ∠AED = 90° - 60° = 30°。因為AE平分∠BAC，所以∠BAC = 2∠DAE = 60°。在△ABC中，∠C = 180° - ∠BAC - ∠CBA = 180° - 60° - 40° = 80°。
10. 如圖，已知△ABC 兩個內角的角平分線交于點 D，△DBC 兩個內角的角平分線交于點 E，若∠BEC=152°，則∠A 的度數為（
A
）
A. 68° B. 70° C. 52° D. 63°
答案：A
解析：在△BEC中，∠BEC=152°→∠EBC+∠ECB=28°，BE、CE是△DBC的角平分線→∠DBC+∠DCB=2×28°=56°，AD、CD是△ABC的角平分線→∠ABC+∠ACB=2×56°=112°→∠A=180°-112°=68°，選A。
11. 如圖，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，若∠1=32°，∠2=21°，則∠B 的度數為
33°
。
答案：33°
解析：AE平分∠BAC→∠BAE=∠CAE=∠2+∠DAE，AD⊥BC→∠ADC=90°，∠1=∠C+∠CAE=32°，∠CAE=32°-∠C，∠BAE=∠2+∠DAE=21°+（90°-∠AEB），∠AEB=∠C+∠CAE=32°，所以∠DAE=90°-32°=58°，∠BAE=21°+58°=79°，∠BAC=2×79°=158°，∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-158°-∠C，又∠1=∠C+∠CAE=∠C+79°-∠B=32°，聯立解得∠B=33°。
12. 如圖，在△ABC 中，AD 是 BC 邊上的高線，BE 是一條角平分線，它們相交于點 F。已知∠AEF=70°，∠AFE=50°，求∠C 和∠ABC 的度數。
答案：∠C=30°，∠ABC=80°
解析：在△AEF中，∠EAF=180° - ∠AEF - ∠AFE=180° - 70° - 50°=60°。因為AD是高線，所以∠CAD=∠EAF=60°，則∠C=90° - ∠CAD=90° - 60°=30°。設∠ABE=∠FBC=x（BE平分∠ABC），∠BAD=90° - ∠ABC=90° - 2x。因為∠AFE是△ABF的外角，所以∠AFE=∠BAD + ∠ABE，即50°=(90° - 2x)+x，解得x=40°，則∠ABC=2x=80°。
13. 如圖，在△ABC 中，CD 是△ABC 的中線，E 是 BC 上的一點，連結 AE 交 CD 于點 F，若 AF=3EF，記△AFC 的面積為 S?，四邊形 BEFD 的面積為 S?，則 S?/S? 的值為
3/7
。
答案：$\frac{3}{7}$
解析：設$S_{\triangle EFC}=k$，因為AF=3EF，所以$S_{\triangle AFC}=3k$（等高）。因為CD是中線，所以D是AB中點，過D作DG∥AE交BC于G，則G是BE中點，DG=$\frac{1}{2}AE=2$。又因為EF=1，所以FG=DG - EF=1，故CF=FD（由EF/FG=1/1得），則$S_{\triangle DFC}=S_{\triangle AFC}=3k$，$S_{\triangle EFD}=S_{\triangle EFC}=k$。因為D是AB中點，所以$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle ADF}=S_{\triangle AFC}+S_{\triangle DFC}=3k + 3k=6k$。因此$S_2=S_{\triangle BDF}+S_{\triangle EFD}=6k + k=7k$，$S_1=3k$，所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}$。
