2025年精準學與練八年級數學上冊北師大版
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10. 如圖，AD平分△ABC的外角∠CAE，求證：∠3=$\frac{1}{2}$（∠2-∠1）。
答案：∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∵∠CAE是△ABC的外角，
∴∠CAE=∠1+∠2，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$(∠1+∠2)，
在△ACD中，∠CAD+∠2+∠3=180°，
在△ABC中，∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠1-∠2，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠1+∠2，
在△ACD中，∠CAD+∠ACD+∠3=180°，
即$\frac{1}{2}$(∠1+∠2)+(∠1+∠2)+∠3=180°，
解得∠3=$\frac{1}{2}$(∠2-∠1)。
11. 證明命題“三角形的兩條內角平分線所夾的銳角與第三個內角的一半互余”是真命題。
答案：已知：在△ABC中，BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
求證：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A。
證明：∵BI、CI分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
在△IBC中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即三角形的兩條內角平分線所夾的銳角與第三個內角的一半互余。
12. 如圖，AB//DE//MN，AD平分∠CAB，CD⊥DE。
（1）若∠DAB=25°，求∠ACD的度數。
（2）說明：等式∠ADC=90°+∠BAD成立。
答案：（1）∵AD平分∠CAB，∠DAB=25°，
∴∠CAB=2∠DAB=50°，
∵AB//DE//MN，
∴∠CDE=∠CAB=50°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠ACD=∠CDE-∠CAB=90°-50°=40°。
（2）過點C作CF//AB，
∵AB//DE，
∴CF//DE，
∵CF//AB，
∴∠ACF=∠CAB=2∠BAD，
∵CF//DE，CD⊥DE，
∴∠DCF=90°，
∴∠ADC=∠ACF+∠DCF=2∠BAD+90°=90°+∠BAD。
13. 如圖，BI，CI分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB。
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=36°，求∠BIC的大小。
（2）若∠A=96°，試求∠BIC。
（3）根據前面問題的求解，請歸納∠BIC和∠A的數量關系并進行證明。
答案：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=36°，
∴∠DBC=180°-∠ABC=140°，∠ECB=180°-∠ACB=144°，
∵BI平分∠DBC，CI平分∠ECB，
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠DBC=70°，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ECB=72°，
∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-70°-72°=38°。
（2）∵∠A=96°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=84°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-(∠ABC+∠ACB)=276°，
∵BI平分∠DBC，CI平分∠ECB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)=138°，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=42°。
（3）∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠A
證明：∵∠DBC=180°-∠ABC，∠ECB=180°-∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A，
∵BI平分∠DBC，CI平分∠ECB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=90°-$\frac{1}{2}$∠A。
