Question

【題目】試在①，②，③三個條件中選兩個條件補充在下面的橫線處，使得面ABCD成立，請說明理由，并在此條件下進一步解答該題：

如圖，在四棱錐中，，底ABCD為菱形，若__________，且，異面直線PB與CD所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】詳見解析；余弦值為

【解析】

先分析出只能選擇①③，再進行證明和計算.

若選②：由平面ABCD知，又，

所以面PAC，所以，

所以，，

這與底面ABCD為菱形矛盾，所以②必不選，故選①③.

下面證明：平面ABCD，

因為四邊形ABCD為菱形，所以.

因為，，

所以平面APC.

又因為平面APC，所以.

因為，O為AC中點，所以.

又，所以平面ABCD，

因為面ABCD，以O為坐標原點，以，，的方向分別作為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標系，

因為，所以為異面直線PB與CD所成的角，

所以.

在菱形ABCD中，設，

因為，所以，，

設，則，.

在中，由余弦定理得：

，

所以，解得，

所以，，，.

設為平面ABP的法向量，

，，

由可得：，

令得.

設為平面CBP的法向量，

，，

由可得：，

令得：.

設二面角的平面角為，

所以，所以二面角的余弦值為.