江蘇省南京市2007屆高三質量檢測數學試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第lI卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
答題前考生務必將學校、姓名、班級、學號寫在答卷紙的密封線內．每題答案寫在答卷紙上對應題目的答案空格里，答案不寫在試卷上．考試結束，將答卷紙交回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱錐、圓錐的側面積公式
P（A+B）=P （A）+P（B） S
=
cl
如果事件A、B相獨立，那么 其中c表示底面周長，l表
P（A?B）=P（A）?P（B） 示斜高或母線長
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那 球的表面積公式
么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 S
P
（k）=C
P
（1-P）
其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、擇題題：本大題共10小題；每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選頂中，有且只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集U={1,2,3,
4,5,6}，集合P={1,2,3,4}，Q={3,4,5,6}，則P
A．{1,2} B．{3,4} C．
D．1
2．已知a=（cos40°，sin40°），b+（sin20°，cos20°），則a?b的值為
A．
B．
C． D．1
3．將函數y=sin2x的圖象按向量a=（-
）平移后的圖象的函數解析式為
A．y=sin（2x+
） B． y=sin（2x-
） C． y=sin（2x+
） D． y=sin（2x-）
4．已知雙曲線
,雙曲線上的點P到左焦點的距離與點P到左準線的距離之比等于
A．
B．
C．
D．
5．（2x+
）
的展開式中的x
系數是
A．6 B．
6．下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是
A．y=
B．y=2
C．y=lg
D．
7．將棱長相等的正方體按右圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層，第二層，第三層…，則第6層正方體的個數是
A．28 B．21 C．15 D．11
8．設
為兩兩不重合的平面，
為兩條不重合的直線，給出下列四個命題：
①若
∥
，則
；
②若∥，則
∥
；
③若
④若⊥，
．
其中真命題的個數是
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若
A．充分不必要條件 B．必要不充分
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．如果一條直線與一個平面平行，那么，稱此直線與平構成一個“平行線面線”．在一個平行六面體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面線”的個數是
A．60 B．48 C．36 D．24
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分．把答案填在題中的橫線上．
11．一個電視臺在因特網上就觀眾對其某一節止的喜愛程度進行調查，參加調查的總人數為15000人，其中持各種態度的人數如下表所示：
很喜愛
喜愛
一般
不喜愛
3000
4500
5000
2500
電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取選出150人進行更為詳細的調查，為此要進行分層抽樣，那么在“喜愛”這類態度的觀眾中抽取的人數為_____________
12．已知
log
,函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，則g（1）=____________
13．已知圓
關于直線y=2x+b成軸對稱，則b=_________．
14．函數
的最小正周期是______________．
15．一個正四棱柱的頂點都在球面上，底面邊長為1，高為2，則此球的表面積為________．
16．已知拋物線
的直線與拋物線相交于
兩點，則
的最小值是___________．
三、解答題：本大題5小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分，第一小問滿分6分，第二小問滿分6分）
已知數列（
）是等差數列，（
）是等比數列，且a1=b1=2,b4=54,a1+a3=b2+b3．
（1）求數列{}的通項公式
（2）求數列{}的前10項和S
．
18．（本小題滿分14分，第一小問滿分6分，第二小問滿分8分）
一個口袋內裝有大小相同且已編有不同號碼的4個黑球和3個紅球，某人一次從中摸出2個球。
（1）如果摸到球中含有紅球就中獎， 那么此人中獎的概率是多少？
（2）如果摸到的兩個球都時紅球，那么就中大獎，在有放回的3次摸球中，此人恰好兩次中大獎的概率是多少？
19．（本小題滿分16分，第一小問滿分5分，第二小問滿分5分，第三小問滿分6分）
在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=
a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求證：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求點C到平面PDE的距離．
20．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）
在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P（3，
），且與x軸交于點F（2,0）．
（1）求直線l的方程；
（2）如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程；
（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情況下，設直線l與橢圓的另一個交點Q，且
,當｜
｜最小時，求
對應值．
21．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）
已知
．
（1）若
（2）當b為非零實數時，證明
（
-c）
平行的切線；
（3）記函數|
|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥
．
南京市2007屆高三質量檢測數學答案及評分標準
說明：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
C
C
B
C
D
B
二、填空題：每小題5分，滿分30分．
11．45 12．0 13．4 14．π 15．6π 16．2
三、解答題
17．（1）∵{bn}是等比數列，且b1=2,b4=54,
∴q3=
=27． 3分
∴q=3． ∴bn=b1?qn-1=2?3n-1． 6分
（2）∵數列{an}是等差數列，a1+a2+a3=b2+b3,
又b2+b3=6+18=24,∴a1+a2+a3=3a2=24,∴a2=8．
從而d=a2-a1=8-2=6． 9分
∴a10=a1+（10-1）d=2+9×6=56．
∴S10=
=290
12分
18．（1）記“從袋中摸出的兩個球中含有紅球”為事件A， 1分
則P（B）=
=
． 5分
（或“不含紅球即摸出的兩個球都是黑球”為事件）
．
∵P（）=
．∴P（A）=-1-P（）=． 5分
答：此人中獎的概率是
． 6分
（2）記從“袋中摸出的兩個球都是紅球”為事件B， 7分
則P（B）＝
＝
． 10分
由于有放回的3次摸，每次是否摸到兩個紅球之間沒有影響．
所以3次摸球恰好有兩次中大獎相當于作3次獨立重復試驗，
根據n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率公式得，
P3（2）＝C23（）2?（1-）3-2=
． 13分
答：此人恰好兩倍欠中大獎的概率是． 14分
19．（1）證明∵PA=AB=2a，PB=2a,
∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．
同理PA⊥AE． 3分
∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE． 5分
（2）解法一：∵∠AED＝90°，
∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE．
過A作AG⊥PE于G，
過DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．
過G作GH⊥PD于H，連AH，
由三垂線定理得AH⊥PD．
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角． 8分
在直角△PAE中，AG＝a．
在直角△PAD中，AH＝
a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝
＝
．∴∠AHG＝arcsin．
∴二面角A-PD-E的大小為arcsin． 10分
解法二：建立如圖所示的直角坐標系,
則B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,
過A作AN⊥PD于N，
∵
＝（a,2a,-2a）,
設
=λ,
∴
=
+=（λa,2λa,2a-2λa）
∵AN⊥PD，
∴?=0．
∴a?λa+2a?2λa-2a?（2a-2λa）=0．
解得λ=
．
∴=（a，
a, 
a）
即
=（-a, -a, -a）
同理，過E作EM⊥PD于M，
則
=（-a, 
a, -a）． 8分
二面角A-PD-E的大小為，所成的角<，>．
∵cos<,>=arccos=
．
∴<,>=arccos=．
∴二面角A-PD-E的大小為arccos． 10分
（3）解法一：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,
BC=DE=a,AB=AE=2a,
取AE中點F，連CF，
∵AF∥=BC,
∴四邊形ABCF為平行四邊形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE
平面PDE，CF
平面PDE，
∴CF∥平面PDE．
∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離．
∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．∴過F作FG⊥PE于G，則FG⊥平面PDE．
∴FG的長即F點到平面PDE的距離． 13分
在△PAE中，PA=AE=2a，F為AE中點，FG⊥PE，
∴FG=
a． ∴點C到平面PDE的距離為a． 16分
解法二：∵PA平面ABCDE，∴PA⊥DE，
又∵∠DEA=90°，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥PE．
∵BC=DE=a，AB=AE=2a，
連接CE，
則S△CDE=
a2，S△DEP=a2 ．
∵VP-CDE=
?PA?S△CDE=?2a?a2＝a2． 13分
設點C到平面PDE的距離為h，
則V C-PDE＝?h?S△PDE=?h?a2＝
a2h．
∵VP-CDE=VC-PDE,
即a3＝a2h，
解得h＝a．即點C到平面PDE的距離為a． 16分
解法三：建立如圖所示的直角坐標系,
則B（2a,0,0）,E（0,2a,0）,P（0,0,2a）,
D（a,2a,0）,C（2a,a,0）,
設平面PDE的一個法向量為n=（x,y,1）,
∵
＝（0,2a,-2a）,
=（-a,0,0）,
又∵n⊥平面PDE．
∴n⊥，n⊥．
∴
即
解得
∴n=（0,1,1）． 13分
∵
=（-a,a,0）,
∴cos<,n>=
∵0≤<，n>≤π，
∴<，n>=．
∵過C作CH⊥平面PDE于H，則CH=||?|cos<，n>|，
即點C到平面PDE的距離為
||?|cos<,n>|=a． 16分
20．（1）∵P（3，），F（2,0），
∴根據兩點式得，所求直線l的方程為
=
即y=（x-2）．
∴直線l的方程是y=（x-2）． 4分
（2）解法一：設所求橢圓的標準方程為
=1（a>b>b）,
∵一個焦點為F（2,0），
∴c=2．
即a2-b2=4 ① 5分
∵點P（3，）在橢圓=1（a>b>0）上，
∴
=1 ② 7分
由①，②解得a2=12,b2=8．
所以所求橢圓的標準方程為
=1． 9分
解法二：設所求橢圓的標準方程為=1（a>b>0）,
∵c=2,a2-b2=4． 6分
∴橢圓的另一個焦點為F1（-2,0）．
由橢圓過點P（3，），
∴2a=|PF1|+|PF2|=
+
=4
．
∴a2=12,b2=8．
所以所求橢圓的標準方程為=1． 9分
（3）解法一：由題意得方程組
解得
或
∴Q（0，2）． 11分
=（-3,-3）．
∵
=λ=（-3λ，3λ），
∴=
+=（3-3λ，,3λ）．
∴||=
=
=
，
∴當λ=
時，||最小． 14分
解法二：由題意得方程組解得或
∴Q（0，-2）．
∵=λ=（-3λ，3λ），
∴點M在直線PQ上，∴||最小時，必有OM⊥PQ．
∴kOM=-
=-．
∴直線OM的方程為y=-x．
直線OM與PQ的交點為方程組
的解，解之得
∴M（
，-
），∴=（-
，-
）
∵=λ，即（-，-）=λ（-3，-3），∴λ=．
∴當λ=時，||最小． 14分
21．（1）∵f′（x）=3x2+2bx+c,
由f（x）在x=1時，有極值-1得
2分
即
解得
3分
當b=1，c=-5時，f′（x）=3x2+2x-5=（3x+5）（x-1）,
當x>1時，f′（x）>0，當-<x<1時，f′（x）<0．
從而符合在x=1時，f（x）有極值．∴ 4分
（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b2-c）x+y+1=0平行,
∵f′（t）=3t2+2bt+c,
直線（b2-c）x+y+1=0的斜率為c-b2,
∴3t2+2bt+c=c-b2,
即3t2+2bt+b2=0．
∵△=4（b2-3b2）=-8b2,
又∵b≠0，△<0．
從而方程3t2+2bt+b2=0無解,
因此不存在t，使f′（t）=c-b2,
即f（x）的圖象不存在與直線（b2-c）x+y+1=0平行的切線． 9分
（3）證法一：∵|f′（x）|=|3（x+
）2+c-
|,
①若|-|>1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,
∴M>6，
從而M≥． 11分
②當-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）2|>3,
∴M≥
．
③當0<b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|=|（b+3）2|>3,
∴M≥．
綜上所述，M≥． 14分
證法二：f′（x）=3x2+2bx+c的頂點坐標是（-，
），
①若|-|>1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，
∴2M≥| f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12②
∴M>6，
從而M≥． 11分
②若|-|≤1，則M|f′（-1）|、|f′（1）|、||中最大的一個．
（i）當c≤-時，2M≥|f′（1）|+
|f′（-1）|≥|f′（1）+ f′（-1）|=|6+2x|≥3,
M≥．
（ii）當c<-時，M≥||=-c≥-c>，
綜上所述，M≥成立． 14分
證法三：∵M是|f′（x）|,x∈[-1,1]的最大值，
∴M≥|f′（0）|,M≥|f′（1）|，M≥|f′（-1）|． 11分
∴4M≥2|f′（0）|+|f′（1）|+|f′（-1）|≥|f′（1）+f′（-1）-2f′（0）|=6,
即M≥． 14分
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