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【例1】            已知數(shù)列{a_n}、{b_n}都是等差數(shù)列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分別表示數(shù)列{a_n}、{b_n}的前k項和（k是正整數(shù)），若S_k+=0，則a_k+b_k的值為             

【例2】  若－=1，則sin2θ的值等于                      。

【例3】  若關于x的方程=k(x-2)有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是      

我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、

特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結論。

1.特殊值法

【例4】  設a>b>1，則log_ab,log_ba,log_abb的大小關系是                           。

2．特殊函數(shù)法

【例5】  如果函數(shù)f(x)=x²+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小關系是                        。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值為                                。

4．特殊數(shù)列法

【例7】已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數(shù)列，則的值是                   。

5．特殊點法

【例8】  橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是                      。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列是命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，則α∥β；

⑤若m,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β；

則其中正確的命題是                         。（把你認為正確的命題序號都填上）。

練習

1．函數(shù)f（x）＝|x²－a| 在區(qū)間［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

2．如圖，非零向量與軸正半軸的夾角分

別為 和，且，則

與軸正半軸的夾角的取值范圍是      

3．已知函數(shù)的定義域是，值域是，則滿足條件的整數(shù)對共有_________________個

4．三角形ABC中AP為BC邊上的中線，，，則＝    

5．如圖1，設P、Q為△ABC內的兩點，且，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為       

圖1                          圖2

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝1，a_n＋1＝則數(shù)列{a_n}的前2007項的和為           

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一動點，則CP＋PA₁的最小值是___________．

8．已知函數(shù)f（x）、g（x）滿足x∈R時，f′（x）>g′（x），

則x₁<x₂時，則f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

9．△ABC內接于以O為圓心的圓，且．

則 ＝        ．

10．若關于x的方程有不同的四解，則a的取值范圍為          ．

11．已知為正整數(shù)，方程的兩實根為，且，則的最小值為________________．

12．如圖，在中，，，l為BC

的垂直平分線，E為l上異于D的一點，則等于____．

13．O為坐標原點，正△OAB中A、B在拋物線上，正△OCD中C、D在拋物線上，則△ OAB與△OCD的面積之比為          ．

14．已知二次函數(shù)f（x）＝x²－2x＋6，設向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集為___________．

第二部分    解答題

例1．已知函數(shù)為實常數(shù)．

（1）a在什么范圍內時，只有一個公共點？

（2）若上有最小值2，求a的值．

例2．橢圓的兩焦點為，（為坐標原點），P為橢圓上一點， 的斜率分別為和．

（1）求證：；

（2）若△的面積為3，求橢圓方程．

例3、設函數(shù)f (x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù)，當x∈，（a為實數(shù)）（1）求當x∈時f (x)的解析式；（2）若f (x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）求在上f (x)的最大值。

例4. 已知b>-1,c>0，函數(shù)f (x)=x+b的圖象與函數(shù)g (x)=x²+bx+c的圖象相切。（1）設b=h(c)，求h(c)；（2）設 (x>-b)在上是增函數(shù)，求c的最小值；（3）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H(x)= f (x) g (x)在內有極值點？若存在，求出c的取值范圍，若不存在，說明理由。

例5．某地區(qū)1986年以來人口總數(shù)和居民住宅總面積分別按等比數(shù)列和等差數(shù)列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10，2006年底人均住房面積為20．據(jù)此計算：

（1）1996年底人均住房面積超過14，試給出證明；

（2）若人口年平均增長率不超過3?，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

例6．已知在R上單調遞增，記的三內角的對應邊分別為，若成等差數(shù)列時，不等式恒成立．

（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求角B的取值范圍；（3）求實數(shù)的取值范圍．

例7．已知，，數(shù)列滿足，

， ．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且＝4．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）若，

①試確定點F的坐標；

②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

例9．第一行是等差數(shù)列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2009行．

（1）求證：第1行至第2008行各行都構成等差數(shù)列．（定義只有兩項的數(shù)列也稱等差數(shù)列）；

（2）各行的公差組成數(shù)列．求通項公式；

（3）各行的第一個數(shù)組成數(shù)列，求通項公式；

（4）求2009行的這個數(shù)．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以為首項，為公比的等比數(shù)列前項和記為，對于任意的，均有，求的取值范圍．

例11．設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點、分別滿足下列兩個條件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐標；

（2）若四邊形的面積是，求的表達式；

（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)M，對一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

例12．函數(shù)的定義域為，設．

（1）求證： ；

（2）確定t的范圍使函數(shù)在上是單調函數(shù)；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足；并確定這樣的的個數(shù)．

例13 已知二次函數(shù)f (x)=ax²+bx+c (a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f (c)=0，且0<x<c時，f (x)>0（1）試比較與c的大小；（2）證明：-2<b<-1；（3）當c>1,t>0時，求證：

1．  設數(shù)列{a_n}、{b_n}分別為正項等比數(shù)列，S_n、T_n分別為{lga_n}與{lgb_n}的前n項的和，且，則=        。

2．  已知函數(shù)的圖象與直線y=-1的交點中距離最近的兩點間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為__________

3．  已知，則代數(shù)式的值在哪兩個相鄰的整數(shù)之間？

4．  已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k與θ的關系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。

5．  如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F(xiàn)在棱BC上且CF=2FB。

（1）       求證：FG//平面PAB；

（2）       求證：FG⊥AC

（3）       當∠PDA多大時，F(xiàn)G⊥平面AEC。

6．  已知 函數(shù)F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若設函數(shù)y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點的連線的斜率小于1，求證：|a|<；（2）若x∈[0,1]，設函數(shù)y=F(x)的圖象上任意一點處的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件。

【例2】            已知數(shù)列{a_n}、{b_n}都是等差數(shù)列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分別表示數(shù)列{a_n}、{b_n}的前k項和（k是正整數(shù)），若S_k+=0，則a_k+b_k的值為             

【例2】  若－=1，則sin2θ的值等于                      。

【解】  由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ   ①

令sin2θ=t，則①式兩邊平方整理得t²+4t-4=0，解之得t=2-2。

【例3】  若關于x的方程=k(x-2)有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是      

【解】  令y₁=,y₂=k(x-2),由圖可知k_AB<k≤0，

其中AB為半圓的切線，計算k_AB= -,∴-<k≤0。

我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、

特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結論。

1.特殊值法

【例4】  設a>b>1，則log_ab,log_ba,log_abb的大小關系是                           。

【解】  考慮到三個數(shù)的大小關系是確定的，不妨令a=4,b=2，則log_ab=,log_ba=2,log_abb=,

∴l(xiāng)og_abb<log_ab<log_ba

2．特殊函數(shù)法

【例5】  如果函數(shù)f(x)=x²+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小關系是                        。

【解】  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2。可取特殊函數(shù)f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值為                                。

【解】  本題的隱含條件是式子的值為定值，即與α無關，故可令α=0°，計算得上式值為。

4．特殊數(shù)列法

【例7】已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數(shù)列，則的值是                   。

【解】  考慮到a₁,a₃,a₉的下標成等比數(shù)列，故可令a_n=n滿足題設條件，于是=。

5．特殊點法

【例8】  橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是                      。

【解】  設P(x,y)，則當∠F₁PF₂=90°時，點P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F₁PF₂=0；點P在y軸上時，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-<x<。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列是命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，則α∥β；

⑤若m,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β；

則其中正確的命題是                         。（把你認為正確的命題序號都填上）。

【解】  依題意可構造正方體AC₁，如圖1，在正方體中逐一判斷各命題易得正確命題的是②⑤。

圖1                                 圖2

練習

1．函數(shù)f（x）＝|x²－a| 在區(qū)間［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

【解析】f（x）是偶函數(shù)，所以M（a）是在［0，1］內的最大值，當a≤0時，f（x）＝x²－a，則M（a）＝1－a；當a>0時，由圖像可知，若，則M（a）＝a，若，則M（a）＝f（1）＝1－a，

從而M（a）＝ ，    M（a）_min＝．

2．如圖，非零向量與軸正半軸的夾角分

別為 和，且，則

與軸正半軸的夾角的取值范圍是      

【解析】與軸正半軸的夾角的取值范圍應在向量

  與軸正半軸的夾角之間，故與軸正半軸的夾角的取值范圍是．

3．已知函數(shù)的定義域是，值域是，則滿足條件的整數(shù)對共有_________________個

【解析】在R上是偶函數(shù)，故的圖象關于y軸對稱，作出的圖象，截取值域是 的一段，發(fā)現(xiàn)a，b的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必須取0，－2?2必須至少取一個，故有5個．

4．三角形ABC中AP為BC邊上的中線，，，則＝    

【解析】，即，，

，故選C．

5．如圖1，設P、Q為△ABC內的兩點，且，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為       

圖1                          圖2

【解析】如圖2，設，，則．由平行四邊形法則，知NP∥AB，所以＝，同理可得．故，

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝1，a_n＋1＝則數(shù)列{a_n}的前2007項的和為           

【解析】∵a_2n＋2＝a_2n＋1＋1＝（2a_2n＋1）＋1＝2a_2n＋2，∴a_2n＋2＋2＝＝2（a_2n＋2），

∴數(shù)列{a_2n＋2}是以2為公比、以a₂＝a₁＋1＝2為首項的等比數(shù)列．

∴a_2n＋2＝2×2 ^n－1，∴a_2n＝2 ⁿ－2．

又a_2n＋a_2n＋1＝ a_2n＋2a_2n＋1＝3a_2n＋1，∴數(shù)列{a_n}的前2007項的和為

a₁＋（ a₂＋ a₃）＋ （ a₄＋ a₅）＋ （ a₆＋ a₇）＋ …＋ （ a₂₀₀₆＋ a₂₀₀₇）

＝ a₁＋（3a₂＋1）＋ （3a₄＋1）＋ （3a₆＋1）＋ …＋ （3a₂₀₀₆＋1）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 3×（2＋2²＋2³＋…＋2¹⁰⁰³＋1－5×1003

＝6×（2¹⁰⁰³－1）＋1－5×1003＝6×2¹⁰⁰³－ 5020 ，故選D．

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一動點，則CP＋PA₁的最小值是___________．

【解析】答案：5 ．連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內，連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值．通過計算可得ÐA₁C₁C＝90°．

又ÐBC₁C＝45°，\ÐA₁C₁C＝135° 由余弦定理，可求得A₁C＝5．

8．已知函數(shù)f（x）、g（x）滿足x∈R時，f′（x）>g′（x），

則x₁<x₂時，則f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

【解析】記，則．

由已知，，所以在R上單調遞增，

所以x₁<x₂時，，即f（x₁）－f（x₂） < g（x₁）－g（x₂）．

9．△ABC內接于以O為圓心的圓，且．

則 ＝        ．

【解析】通過畫圖，可求，即與的夾角，再通過圓心角與圓周角的關系，求得，答案：．

10．若關于x的方程有不同的四解，則a的取值范圍為          ．

【解析】x＝0是方程的一個根，其余根即方程（x＞0）的根．

由f（x）＝（x＞0）與y＝1的交點個數(shù)，可知a＞0．

且f（）＞1，得a＞2．

11．已知為正整數(shù)，方程的兩實根為，且，則的最小值為________________．

【解析】提示：依題意，可知 從而可知，所以有

 又為正整數(shù)，取，則

，所以．從而，所以．

又，所以，因此有最小值為．

下面可證時，，從而，所以．

又，所以，所以．

綜上可得，的最小值為11．

12．如圖，在中，，，l為BC

的垂直平分線，E為l上異于D的一點，則等于____．

【解析】，又，

．

13．O為坐標原點，正△OAB中A、B在拋物線上，正△OCD中C、D在拋物線上，則△ OAB與△OCD的面積之比為          ．

【解析】設△OAB的邊長為，則不妨設，代入，得；同理，設△OCD的邊長為，可得．，．

14．已知二次函數(shù)f（x）＝x²－2x＋6，設向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集為___________．

【解析】a?b＝2sin²x＋1≥1， c?d＝cos²x＋1≥1 ，f（x）圖象關于x＝1對稱，

∴f（x）在（1，＋∞）內單調遞增．

由f（a?b）>f（c?d）a?b>c?d，即2sin²x＋1>2cos²x＋1，

又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集為（）．

第二部分    解答題

例1．已知函數(shù)為實常數(shù)．

（1）a在什么范圍內時，只有一個公共點？

（2）若上有最小值2，求a的值．

【解析】（1）．

①當時，，所以在R上單調增，此時只有一個公共點；

②當時， ．由，得．

在上列表：

＋

0

­­­─

0

＋

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

因為只有一個公共點，所以或．

所以，得．

綜上，，只有一個公共點．

（2）．

由，可知為偶函數(shù)，則原題即為在上有最小值2．

設（），則．

①時，，所以在上單調增，所以．

因為在上有最小值2，所以，所以．

②時，，無最小值，不合題意．

③時，，．

（I）時，，所以在上單調減，所以，

此時在上的最小值為，不合．

（II）時，由，得．

在上列表：

2

─

0

­­＋

ㄋ

極小值

ㄊ

∴．

綜上，的值為．

例2．橢圓的兩焦點為，（為坐標原點），P為橢圓上一點， 的斜率分別為和．

（1）求證：；

（2）若△的面積為3，求橢圓方程．

【解析】解法一   （1） 依題意，

令，則．

∴．∴，所以．

（2）在Rt△中，，

所以．

所以橢圓方程為．

解法二  （1）令，由題意，得

，     ①            ．       ②

由①、②，可知 ．

∴，∴．

例3、設函數(shù)f (x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù)，當x∈，（a為實數(shù)）（1）求當x∈時f (x)的解析式；（2）若f (x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）求在上f (x)的最大值。

解：（1）設x∈，則-x∈，又f (x)為奇函數(shù)，則f (x)= - f (-x)=

∴當x∈時f (x)=

（2）由于f (x)在上為增函數(shù)，則f ^/ (x)=

顯然，上式對任意的x∈恒成立，即對任意的x∈恒成立，

可得：a>-1

(3)當a>-1時，由于f (x)在x∈上為增函數(shù)，則f (x)_max= f (1)=2a-1

當a<-1時由f ^/ (x)=0得：x=（此時∈），

且知當x∈(0,)時, f ^/ (x)>0, 當x∈(,1), f ^/ (x)<0

∴f (x)_max= f ()=

例4. 已知b>-1,c>0，函數(shù)f (x)=x+b的圖象與函數(shù)g (x)=x²+bx+c的圖象相切。（1）設b=h(c)，求h(c)；（2）設 (x>-b)在上是增函數(shù)，求c的最小值；（3）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H(x)= f (x) g (x)在內有極值點？若存在，求出c的取值范圍，若不存在，說明理由。

思路點擊：本題材不論從函數(shù)類型，還是從涉及的函數(shù)內容角度欣賞都非常象高考題，尤其是第（3）題中的探索型問題使題目更顯時尚和有檔次，不過越是華麗的題目，解法往往越平易近人。

解：（1）依題設令f ^/ (x)= g ^/ (x)，即2x+b=1, ∴x=為切點橫坐標。

∴f ()= g ()，故(b+1)²=4c,即b= h(c)=

（2）∵=，∴D ^/ (x)=

由于D (x)在上是增函數(shù)，

∴D ^/ (x)=()()≥0在上恒成立。又x>-b ,c>0

∴≥0在上恒成立，即

而由（1）得，+，∴

∵函數(shù)t=1-x在上的最大值為2，∴，即c≥4

∴c的最小值為4。

（3）由H(x)= f (x) g (x)=x³+2bx²+(b²+c)x+bc得H ^/(x)= 3x²+4bx+b²+c

令H ^/(x)=0得：△=4(b²-3c)=(c-4+1)>0，即c-4+1>0

解得：<2-,或>2+,又∵c>0 ∴0<c<7-4或c>7+4

∴存在常數(shù)c∈(0,7-4)∪(7+4,+∞)，使H(x)在內有極值點。

點評：導數(shù)的加盟，大大拓展了命制函數(shù)類探索題的空間，從兩個樣題來看，函數(shù)類的探索題的解決離不開函數(shù)的主體知識，因此夯實函數(shù)“三基”就可以以不變應萬變。

例5．某地區(qū)1986年以來人口總數(shù)和居民住宅總面積分別按等比數(shù)列和等差數(shù)列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10，2006年底人均住房面積為20．據(jù)此計算：

（1）1996年底人均住房面積超過14，試給出證明；

（2）若人口年平均增長率不超過3?，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

【解析】（1）設86年底人口總數(shù)為a，住宅總面積10a，年人口增長的公比為（即后一年是前一年人口的倍），年住宅總面積的公差為，則2006年底人均住房面積為，則，故1996年底人均住房面積．

（2）2008年底人均住房面積，

2008年與2006年底人均住房面積之差．

∵，∴只需考慮分子．

∵，∴單調遞減．

又，

∴．

∴．

此即表明，2008年底人均住房面積仍超過2006年底人均住房面積．

例6．已知在R上單調遞增，記的三內角的對應邊分別為，若成等差數(shù)列時，不等式恒成立．

（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求角B的取值范圍；（3）求實數(shù)的取值范圍．

(1)由知，在R上單調遞增，恒成立，且，即且，； 當，即時，，時，時，，即當時，能使在R上單調遞增，∴．

(2)成等差數(shù)列，∴，由余弦定理：cosB==

=，∴，

(3) 在R上單調遞增，且，

所以，即

而，

故，即，，即，即．

例7．已知，，數(shù)列滿足，

， ．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】（1）∵，，，

∴，即．

    又，可知對任何，，所以．

    ∵，∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列．

    （2）由（I），可知＝（）．

    ∴，．

    當n＝7時，，；當n<7時，，；當n>7時，，．

∴當n＝7或n＝8時，取最大值，最大值為．

（3）由，得．       （*）

依題意，（*）式對任意恒成立，

  ①當t＝0時，（*）式顯然不成立，因此t＝0不合題意．

　　②當t<0時，由，可知（）．

　　　而當m是偶數(shù)時，因此t<0不合題意．

　　③當t>0時，由（），

∴，∴（）．

　　設（），

∵ ＝，

　　∴．

　　∴的最大值為．所以實數(shù)的取值范圍是．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且＝4．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）若，

①試確定點F的坐標；

②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

【解析】（1）如圖，設點C（x，y）（x≠0），E（x_E，0），F(xiàn)（x_F，0），由A，C，F(xiàn)三點共線，，x_E＝．同理，由B、C、F三點共線可得x_F＝．

化簡，得點C的軌跡方程為x²＋4y²－4（x≠0）．

∵＝4，∴x_E?x_F＝＝4．

（2）若，

①設F（x_F，0），C（x_C，y_C），

∴（x_c，y_c＋1）＝－8（x_F－x_c，y_c）．

∴x_c＝，y_C＝．

代入x²＋4y²＝4， 得x_F＝±．∴F（±，0），即F為橢圓的焦點．

②猜想：取F（，0），設F₁（－，0）是左焦點，則當P點位于直線BF₁與橢圓的交點處時，△PBF周長最大，最大值為8．

證明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF₁|＋|PB|≤4＋|BF₁|，

∴△PBF的周長≤4＋|BF₁|＋|BF|≤8．

例9．第一行是等差數(shù)列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2009行．

（1）求證：第1行至第2008行各行都構成等差數(shù)列．（定義只有兩項的數(shù)列也稱等差數(shù)列）；

（2）各行的公差組成數(shù)列．求通項公式；

（3）各行的第一個數(shù)組成數(shù)列，求通項公式；

（4）求2009行的這個數(shù)．

【解析】（1）記表示第行第列的項．由已知知第1行是等差數(shù)列；

，

所以第2行數(shù)列是等差數(shù)列．

，

所以第3行數(shù)列是等差數(shù)列．

同理可證，第4，5，…，都是等差數(shù)列．

（2），

，則是等差數(shù)列，．

（3），．

∴數(shù)列是等差數(shù)列，，所以．

（4）．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以為首項，為公比的等比數(shù)列前項和記為，對于任意的，均有，求的取值范圍．

【解析】（1）由得

當時，．當時， ，當時，．

綜上，時，；時，；當時， ．

（2）當時，．而，故時，不存在滿足條件的；

當時，，而是關于的增函數(shù)，所以隨的增大而增大，當且無限接近時，對任意的，，只須滿足

 解得．

 當時，．

顯然，故不存在實數(shù)滿足條件．

     當時，．，適合．

當時，．

，

，

，且

故．

故只需 即 解得．

綜上所述，的取值范圍是．

例11．設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點、分別滿足下列兩個條件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐標；

（2）若四邊形的面積是，求的表達式；

（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數(shù)M，對一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

【解析】（1）．

．

（2）

．

（3）

．

∴ ，，．，

 ，，等等．

即在數(shù)列中，是數(shù)列的最大項，所以存在最小的自然數(shù)，對一切，都有＜M成立．

例12．函數(shù)的定義域為，設．

（1）求證： ；

（2）確定t的范圍使函數(shù)在上是單調函數(shù)；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足；并確定這樣的的個數(shù)．

【解析】（1）設，則，所以．

（2），令，得．

當時，時，，是遞增函數(shù)；

當時，顯然在也是遞增函數(shù)．

∵是的一個極值點，∴當時，函數(shù)在上不是單調函數(shù)．

∴當時，函數(shù)在上是單調函數(shù)．

（3）由（1），知，∴．

又∵， 我們只要證明方程在內有解即可．

記，

則，，

，

∴．

①當時，，

方程在內有且只有一解；

②當時，，，

又，∴方程在內分別各有一解，方程在內兩解；

③當時，方程在內有且只有一解；

④當時，方程在內有且只有一解．

綜上，對于任意的，總存在，滿足．

當時，滿足，的有且只有一個；

當時，滿足，的恰有兩個．

例13 已知二次函數(shù)f (x)=ax²+bx+c (a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f (c)=0，且0<x<c時，f (x)>0（1）試比較與c的大小；（2）證明：-2<b<-1；（3）當c>1,t>0時，求證：

解：（1）∵函數(shù)f (x)的圖象與x軸有兩個不同的交點∴方程f (x)=0有兩個不同的根

∵f (c)=0，∴c是方程f (x)=0的一個根

設方程的另一個根為x₀，則cx₀=,得x₀=

若<c,則由0<x<c時，f (x)>0得f ()>0與f ()=0矛盾。又方程f (x)=0有兩個不同的實根，∴≠c，∴>c

(2) f (c)=0<==>ac+b+1=0  ∴b=-1-ac<-1

∵>c  ∴c<<==>b>-2  ∴-2<b<-1

(3) ∵０＜１＜ｃ∴f (１)>0即：a+b+c>0==>b>-a-c

∴

>

∵>c,c>1  ∴a<<1==>a<c  ∴

∴

8．  設數(shù)列{a_n}、{b_n}分別為正項等比數(shù)列，S_n、T_n分別為{lga_n}與{lgb_n}的前n項的和，且，則=        。

9．  已知函數(shù)的圖象與直線y=-1的交點中距離最近的兩點間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為（ C ）

A．   B．   C．   D．   

10．已知，則代數(shù)式的值在哪兩個相鄰的整數(shù)之間？

解：由得：，∴

∴==

具體計算，易證數(shù)列{x_n}是遞增的

∴ 0<<1，∴代數(shù)式的值在2和3之間。

11．已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k與θ的關系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。(≥)

12．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F(xiàn)在棱BC上且CF=2FB。

（4）       求證：FG//平面PAB；

（5）       求證：FG⊥AC

（6）       當∠PDA多大時，F(xiàn)G⊥平面AEC。

13．已知 函數(shù)F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若設函數(shù)y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點的連線的斜率小于1，求證：|a|<；（2）若x∈[0,1]，設函數(shù)y=F(x)的圖象上任意一點處的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件。

解：（1）函數(shù)y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點為P₁、P₂且x₁≠x₂，則<1,即：

<==>

<==>,∵x₁是任意實數(shù)，∴ △₁=

即： ∵x₂是任意實數(shù)，∴ △₂=4a²+12(a²-4)<0  ∴|a|<

（2）當x∈[0,1]時，k=F ^/(x)=-3x²+2ax，則題意得：-1≤-3x²+2ax≤1當x∈[0,1]都成立。

若x=0,則a∈R；若x≠0，則，

 ∵在上，是增函數(shù)，∴

，當x=時取等號，∴2≤2a≤2即：1≤a≤

∴使|k|≤1成立的充要條件是1≤a≤。

另解（2）|k|≤1成立的充要條件是F ^/(x)=-3x²+2ax (0≤x≤1)的最大值M≤2，最小值m≥-1

∵F ^/(x)=-3x²+2ax= ，F ^/(0)=0

∴或或解得：1≤a≤

14．已知函數(shù)f (x)=，其中a是大于零的常數(shù)，（1）求函數(shù)f (x)的定義域；（2）當a∈(1,4)時，求函數(shù)f (x)在上的最小值；（3）若對任意x∈，恒有f (x)>0，試確定a的取值范圍。

解：（1）由得得(*) 方程x²-2x+a=0的判別式△=4(1-a)

∴當a>1時，△<0 ，x²-2x+a>0恒成立，∴由(*)得：函數(shù)的定義域為(0,+∞)

  當0<a≤1時，△≥0, 方程x²-2x+a=0有兩個根：x₁=1-, x₂=1+

∴由(*)得：函數(shù)的定義域為：(0, 1-)∪( 1+,+ ∞)

（2）當a∈(1,4)時，令g(x)= ,易證g(x)在(0,上遞減，在上遞增。

∵a∈(1,4), ∴<2，∴g(x)在上遞增，∴f (x)在上遞增

∴函數(shù)f (x)在上的最小值為f (2)= ；

（3）①若0<a≤1時，則x=2時，f (2)=<0，不滿足條件；

②若1<a<4時，由（2）得f (x)在上的最小值，只要>0, ∴2<a<4；

③若a≥4時，得f (x)在上的最小值，此時>0恒成立。

綜上所述，對任意x∈，恒有f (x)>0成立的a的取值范圍為(2,+∞)。

 （3）又解：∵f (x)= ＞0，∴ ∴a>3x-x²在上恒成立，

  ∵y=3x-x²在上是減函數(shù)，∴y_max= f (2)=2，∴a>2

8．設a,b,c是一個三角形的三條邊的長，且a+b+c=1。

（1）證明：a,b,c均小于；（2）若a≥b≥c，對于整數(shù)n≥2，證明：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）證明：對于整數(shù)n≥2,

證明：（1）不妨設a≥b≥c，那么b+c>a，而a+b+c=1, ∴a+b+c>2a，∴a<

∴a,b,c均小于

（2）(b+)ⁿ=

   ≥=

∵n≥2，∴，∴bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）不妨設a≥b≥c，則由（2）知：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ ，aⁿ+cⁿ<(a+)ⁿ

∴

又由（1）知a<，b<，則

∴1<