国产日韩欧美一线二线,美女好全身无遮掩免费网战,亚洲欧美另类卡通乱,日韩av日日夜夜澡,女生抽打女生大骚逼,国产精品99久久…,五月婷婷六月丁香亚洲天堂,中文无码精品一区二区三,日本日p视频免费在线观看

答：最少是一個，最多是三個

  【評析】該題根據實系數復數方程虛數根成對出現得到的結論，但這一結論在當時并沒有在大范圍的教材中出現。

解：左式=(x⁴+5x³-6x²）-（x²+8x+12）=(x+6)[x²(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x³-x²-x-2)

=(x+6)[(x³-2x²)+(x²-x-2)] =(x+6)(x-2)(x²+x+1)=0可得原方程的四根為：

【評析】該題分解因式的技巧性過強，多數學生不能完成，競賽性質太濃

1963?5．根據對數表求的值

解：

【評析】對數值中的符號，當時是否應該、有必要引入中學還在討論當中，高考就出現了這樣符號。結論：研究及有爭議的內容不能在試題中出現。

1965附加題（1）已知為實數，證明均為正數的充要條件是

（2）已知方程的三根都是實數，證明是一個三角形的三邊的充要條件是

證明：（1）條件的必要性是顯然的，因為已知

所以立即可得，，

下面證明條件的充分性：

設是三次方程的三個根，則由根與系數的關系及已知條件有

此即由此即可知三次方程的系數正負相間，所以此方程無負根，即方程根均非負;又由可知，方程無零根，故

（2）由（1）的證明可知，均為正數的充要條件是于是問題轉化為證明為三角形三條邊的充要條件為

條件的必要性：

若為三角形的三邊，則由三角形的性質必有

于是

由此可得

即.條件的充分性：若，則

此式中至少有一因式大于0，今設則必有

如果兩式相加得，即，此與相矛盾

故有此即

此即可作為一個三角形的三條邊

綜上所證可知，方程的三根為一個三角形的三條邊的充要條件是

【評析】這個試題以附加題形式出現，難度較大，但也不能大到無一人（甚至參加國際數學競賽的學生）能作上程度。結論：試題不能無線拔高。

（1977北京文4）不查表求sin105⁰的值

解：

【評析】當時，并沒有要求記特殊角三角函數值，所以題雖然不難，但會的人不多。

（1977年福建理科2（2）題）證明：

（1977年河北試題第3題）．證明：

證：左邊=

=右邊

（1977年上海理科第1（4）題）求證：

【評析】這些該題本身不難，但三角證明題幾地都出現證法太多，標準不易統一，給閱卷帶來非常大的難度。結論：三角證明一般不作為證明題出現。

   （1977年福建理科第3題）在半徑為R的圓內接正六邊形內，依次連結各邊的中點，得一正六邊形，又在這一正六邊形內，再依次連結各邊的中點，又得一正六邊形，這樣無限地繼續下去，求：（1）前n個正六邊形的周長之和S_n;（2）所有這些正六邊形的周長之和S.

解：如圖，半徑為R的圓內接正六邊形的周長為6R，

       A       B       

           C  E        

               D       

          O              

設C為AB的中點，連結OC，OB，則OC⊥AB

∴OC=CD=

第二個正六邊形的周長

同理可得

第三個正六邊形的周長第四個正六邊形的周長…………

于是可以得到一個表示正六邊形周長的數列：

6R，……

①前n個正六邊形周長的和

②所有這些正六邊形周長的和

【評析】從題本身上看，該題是一個好題，但是其答案在全國引起爭議――歸納出的結論到底是否要證明是等比數列？即使不證明也要體現有等比數列的過程。從該題對以后影響是，出現了用式子表達等比、等差數列熱潮。

（1977年福建文科第4題）．求拋物線和圓在第一象限的交點處的切線方程

解：解方程組

（1）代入（2）得

x=3,x=-12（不合題意）將x=3代入（1），得（僅取正值），

∴在第一象限的交點為（）從拋物線得

∴過點（）的拋物線的切線方程是

過點（）的圓的切線方程是即

【評析】該題的問題是表述不清：有人認為只求拋物線的切線方程，也有人認為只求圓的切線方程，答案倒認為是求圓和拋物線的方程。

（1977年黑龍江第2題第（1）問）．計算下列各題：

解：當當

【評析】該題引發了分段表示法的爭論，結論，如果是分段出現的，結果一般用分段函數形式給出

（1977年江蘇第1（5）題）把直角坐標方程化為極坐標方程

解：原方程可展開為

【評析】該題從一般情況下考慮（直角坐標系的原點為極點，x軸為極軸且長度單位不變），但沒有交代清楚一般情況下，以致于該題出現的情況是：一般的學生答的好，程度很高的如參加競賽的學生反倒沒有答好！屬于交代不明出現的失誤。

（1977年上海理科第6題）已知兩定點A（-4，0）、B（4，0），一動點P（x,y）與兩定點A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為求點P的軌跡方程，并把它化為標準方程，指出是什么曲線

解：直線PA、PB的斜率分別是

【評析】該題解答有誤，應該加上條件(x≠±4，相應曲線為以（±2,0）為焦點、以8為長軸的橢圓，去掉長軸的兩個端點)。結論：說明軌跡、圖形的問題要保證惟一及等價。

（1979年文科理科第四題）敘述并證明勾股定理

證：略

【評析】這個題當時答案是用坐標法的距離公式證明的，但是距離公式是由勾股定理推導出的，因而形成“因為A……所以A”的循環論證錯誤，而得出一般用拼圖法得到；拼圖法能否算作證明還在爭論中，但當年多數省市按錯對待。結論：數形結合的方法得到的結論不能以證明題的形式出現。

（1980年理科第八題）已知0＜α＜π，證明：并討論α為何值時等號成立

解：即證：兩端乘以sinα，問題化為證明2sinαsin2α≤1+cosα.而 2sinαsin2α=4sinαcos²α=4(1-cos²α)cosα=4(1-cosα)(1+cosα)cosα

所以問題又化為證明不等式 (1+cosα)[4(1-cosα)cosα-1]≤0

（1+cosα)≤0∴不等式得證

∵0＜α＜π,∴等號成立當且僅當cosα-=0 即α=60⁰

【評析】這些該題本身不難，但三角證明題出現證法太多，標準不易統一，給閱卷帶來非常大的難度。另一方面，這一答案給出的分析法證明格式也不對，一般分析法證明題格式“要證A，只要證B”形式，B是A的充分不必要條件即可，而不是由A導出B。

    （1982年文科第七題）已知定點A，B且AB=2，如果動點P到點A的距離和到點B的距離之比為2∶1，求點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

解：選取AB所在直線為橫軸，從A到B為正方向，以AB中點O為原點，過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-，0），B為（，0），設P為（x,y)

因為x²,y²兩項的系數相等，且缺xy項，所以軌跡的圖形是圓

（1983年文科第九題）如圖，已知兩條直線L₁:2x-3y+2=0,L₂:3x-2y+3=0.有一動圓（圓心和半徑都在變動）與L₁，L₂都相交，并且L₁，L₂被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值26，24求圓心M的軌跡方程，并說出軌跡的名稱

解：設圓心M的坐標為(x,y)，圓的半徑為r，

點M到L₁，L₂的距離分別為d₁,d₂

根據弦、弦心距、半徑三者之間的關系，有

      Y                       

                   L₂         

                       L₁    

               M              

     O                 X      

根據點到直線的距離公式，得

軌跡是雙曲線

   【評析】答案說法有誤：說圓應為以…為圓心，以…為為半徑的圓,說雙曲線說明以…為焦點…為實軸長的雙曲線。

【說明】這段時間，考試的目的是考察中學數學的基礎知識、基本技能，命題的人員以中學教師為主，為減少敗題的出現機率，采取了科研測試方法（科研測試題從1988年暫停,1992年恢復），因此，這一階段的敗題多是不復合教學大綱的試題。

（1984年理二2）函數在什么區間上是增函數？

答：x＜-2.

【評析】該題用到了復合函數單調性，但這一內容在當時教學大綱中明確不要求。

（1984年理五）設c,d,x為實數，c≠0，x為未知數討論方程在什么情況下有解有解時求出它的解

解：原方程有解的充要條件是：

由條件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中

再由條件（3）及，知因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：

由條件（1）（6）知這個不等式僅在以下兩種情形下成立：

①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;

②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.

再由條件（1）（5）及（6）可知

從而，當c＞0,d＜1且時，或者當c＜0,d＞1且時，原方程有解，它的解是

【評析】該題即從兩個層次考查了等價轉化，中間又涉及了分類討論，難度比較大，是一個考查能力的試題，與當時考查“雙基”要求不符；結論：考查數學思想從深度及廣度同時考查時，不能在某一思想上究得太深。

（1984年理六2）求經過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程

解：因為橢圓經過點M（1，2），且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸設橢圓左頂點為A（x,y），因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y軸的距離的，從而左焦點F的坐標為設d為點M到y軸的距離，則d=1

根據及兩點間距離公式，可得

【評析】該題在當時一改習慣于教材上直接法求軌跡方程的步驟，被認為是對教學大綱的偏執理解，沒有考查基礎知識與基本技能，所以當作一種研究性的材料還可以，并最終誕生了相關點法的應用。至于到了考查能力時，它則又成為一道好題，那是十年之后的事情了！

（1984年理七）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為,b,c，且c=10，

，P為△ABC的內切圓上的動點求點P到頂點A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值

解：由，運用正弦定理，有因為A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，

如圖，設△ABC的內切圓圓心為O＇，切點分別為D，E，F，則

       Y                             

          B（0，6）                  

               D                   

      E      O＇ P（x,y)           

                                X    

      O  C（0，0）     A（8，0）   

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，

所以內切圓半徑r=EC=2.

如圖建立坐標系，

則內切圓方程為:

(x-2)²+(y-2)²=4

設圓上動點P的坐標為(x,y),則因為P點在內切圓上，所以，

S_最大值=88-0=88，S_最小值=88-16=72

解二：同解一，設內切圓的參數方程為

從而

因為，所以S_最大值=80+8=88，

S_最小值=80-8=72

【評析】該題是對知識的大綜合，對于學生而言難度較大，而且就1984年的高考試題，解答題基本上是題題設防、題題堡壘，從整體上脫離了中學教學的實際。

（1984年文五）把化成三角函數的積的形式(要求結果最簡）

【評析】當時三角式最簡沒有明確什么什么樣算最簡，這一名次的提出具有超前性，對于文科生更感不易，但它引領了一個各種化簡結果最簡的研究方向。結論：研究方向不能替代僅僅那么一點時間高考試題！

（1985年全國文科第四題）證明三角恒等式

證：

【評析】三角證明題不宜作為大題考查，這是幾年前的經驗，該題重蹈了歷史覆轍。1988年的文科數學試題第三題是“證明”，1989年全國理科19文、科20題“證明：”繼續重蹈歷史覆轍！

（1986年理文科一（6）題）設甲是乙的充分條件，乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲的       （   ）（A）充分條件  （B）必要條件

   （C）充要條件           （D）既不充分也不必要的條件

答案D

【評析】該題僅僅說了甲是乙的充分條件，沒有說是否必要，因此該題的敘述不嚴格。這一不足，在以后命題中加以了改進，并滲透到平時教學中。

（1988年全國理科、文科一14）假設在200件產品中有3件次品，現在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有                         （   ）

（A）種  （B）種（C）種   （D）種

答案B

【評析】該題不難，但是用符號而不用數值表示過多的限制了考試的思維，當年引起專家爭議。隨后的再實驗，用事實說明了“這種用符號表示的題要么太難，要么太易，還是以數值表示比較好！”

（1989年全國理22、文23）已知試求使方程有解的k的取值范圍

解：由對數函數的性質可知，原方程的解x應滿足

當（1），（2）同時成立時，（3）顯然成立，因此只需解

由（1）得

當k=0時，由a>0知（4）無解，因而原方程無解

當k≠0時，（4）的解是

把（5）代入（2），得

解得：

綜合得，當k在集合內取值時，原方程有解

【評析】該題從題本身而言是一個好題，但是該題在當年許多學校已經練習過，作為高考試題，照搬原題是不適當的。

（1989年上海14）兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座（每人一個座位），則不同的坐法種數為（   ）

A,CC    B,   C,    D,

答案：D

【評析】該題是對1988年全國214題的延續再實驗，事實說明 “排列組合問題結果這種用符號表示的題要么太難，要么太易，還是以數值表示比較好！而且這種命題從方式上也限制了學生的思維”

（1990年全國理科第9題、文科11題）設全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|, x、y∈R },N={(x,y)|y≠x+1, x、y∈R }，那么＝（    ）

A,     B,{(2,3)}       C,(2,3)       D,{(x,y)|y=x+1}

【答案】B

【評析】該題基本上照搬了1986年上海理科第20題：若全集U={(x,y)|x、y∈R},A={(x,y)|, x、y∈R },B={(x,y)|y=x+1, x、y∈R },則_UA∩B是（    ）A, _UA       B,B        C,      D,{(2,3)}，高考試題照搬應該不是件好事。

 （1991年全國理23題） 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點B到平面EFG的距離．

 解：如圖，連結EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O． 因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．

BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設矛盾．

由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．                                                  

∵ BD⊥AC，

∴ EF⊥HC．

∵ GC⊥平面ABCD，

∴ EF⊥GC，

∴ EF⊥平面HCG．

∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．              作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．                                          

∵ 正方形ABCD的邊長為4，GC=2，

∴ AC=4，HO=，HC=3．

∴ 在Rt△HCG中，HG=．

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．

∴ OK=．

即點B到平面EFG的距離為． 

   【評析】該題作輔助線太多，難度過大，是歷年立體幾何題少見的難度；但它的出現，將中學教學的“距離”引向以點面距為核心的研究上，就當年而言，此題與考查雙基的思想不符。         

（1991年全國理科25題）已知n為自然數，實數a>1，解關于x的不等式

log_ax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x²－a)

解：利用對數換底公式，原不等式左端化為

log_ax－4?＋12?＋…＋n(－2)^n－1 ? =[1－2＋4＋…＋(－2)^n－1] log_ax =log_ax故原不等式可化為log_ax>log_a(x²－a)．      ①

當n為奇數時，>0，不等式①等價于  log_ax>log_a(x²－a)．             ②

因為a>1，②式等價于                                

因為<0， >=，所以，不等式②的解集為{x|<x<}．                   

當n為偶數時，<0，不等式①等價于log_ax>log_a(x²－a)．           ③

因為a>1，③式等價于  或                  因為                  

所以，不等式③的解集為{x|x>}．

綜合得：當n為奇數時，原不等式的解集是{x|}；

當n為偶數時，原不等式的解集是{x|}

【評析】該題照搬了當年湖北黃岡、河北辛集中學及北京海淀區的模擬試題，包括數值都沒有變化。

（1991年三南高考數學第24題）設函數f(x)=x²+x+的定義域是[n,n+1]（n是自然數），那么在f(x)的值域中共有_____________個整數

【答案】2n+2

【評析】這是當年希望杯數學競賽的一道數學試題，在高考中出現而且仍然以填空題出現，有照抄之嫌。

（1992年三南第14題）設數列{a_n}是正數組成的等比數列，公比q=2,a₁a₂……a₃₀=2³⁰,那么a₃a₆a₉…a₃₀=（ ）

A,2¹⁰            B,2²⁰            C,2¹⁶             D,2¹⁵

【答】B

【評析】該題運算量比較大，也是希望杯競賽中一個非常類似的題，在還沒有將運算能力當作一種能力考查時，出此題顯然違背了考查“雙基”的初衷。

【說明】該階段，高考內容上以《考試說明》為準繩，目的逐步變化成“為大學選拔新生服務的選拔性能力考試”，命題的人員也逐步變化為以高校為主，出臺了許多量化指標，該階段的敗題，主要體現為預估難度（考試說明的規定難度）與實際難度（實際分數）不符，這一原因現在多數專家認為是高校教師不了解中學教學的實際所致。

（1994年全國理文23題）如圖，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中點．

(1)證明AB₁∥平面DBC₁；(2)假設AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數．

【解答】(1)證明：∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四邊形B₁BCC₁是矩形．連結B₁C交BC₁于E，則B₁E=EC．連結DE．在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足為F，則DF⊥面B₁BCC₁，連結EF，則EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．∵AB₁⊥BC₁，由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，則BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．設AC=1，則DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，

DF=DC?sinC=，CF=DC?cosC=．取BC中點G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF²=BF?GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF²=?，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．故二面角α為45°．

（1994年上海18）計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排列一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有（    ）種

A,     B,    C,      D,

【答】D

【評析】這種排列組合用符號表示的試題在全國1988年已經有了不宜出的結論，它再次重蹈了歷史覆轍。

（1996年全國理22、文23）如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁． (Ⅰ)求證：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數．

注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為(Ⅰ)的完整證明，并解答(Ⅱ)．(右下圖)

(Ⅰ)證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵                                     

∴EG⊥側面AC₁;取AC的中點F，連結BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵                            

∴BF⊥側面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FG．

③ ∵                      

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④ ∵                            

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵                    

∴，即

【解答】①∵面A₁EC⊥側面AC₁， ②∵面ABC⊥側面AC₁，   ③∵BE∥側面AC₁

④∵BE∥AA₁，                 ⑤∵AF=FC，   

(Ⅱ)解：分別延長CE、C₁B₁交于點D，連結A₁D．

∵∥，

∴∵∠B₁A₁C₁=∠B₁ C₁A₁=60°，

∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180°－∠D B₁A₁）=30°，

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90°，即⊥                     

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據三垂線定理得DA₁⊥A₁C，

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角．∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90°，

∴∠CA₁C₁=45°，即所求二面角為45°

【評析】以這種填空題形式出現，過多地限制了學生思維，出現了實際結果與預估難度非常大的反差。立體幾何試題這樣出不當；通過該題，也使近年立體幾何的研究開始了降溫。同時也使不少專家反省：高考試題與研究熱點及競賽試題還是當有區別的。同時，也確定了從1997年開始高考試題的進行量化評價。

（1997年全國理15）四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有(    ) (A) 150種      (B) 147種     (C) 144種    (D) 141種

【解答】D

【評析】該題無論從直接還是間接思路，都要進行三級分類討論，體現為試題很難。難度為0.18，按照當年《考試說明》，難度低于0.2的，應該算作廢題。結論：考查單一的知識與思想，層數不能超過三級。

（1997年全國理24）設二次函數f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的兩個根x₁,x₂滿足0<x₁<x₂<． I．當x(0, x₁)時，證明x<f (x)<x₁；

II．設函數f(x)的圖像關于直線x=x₀對稱，證明x₀<

【解析】證明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因為x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以

F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)．

當x∈(0，x₁)時，由于x₁<x₂，得(x－x₁)(x－x₂)>0，又a>0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)>0，

即x<f(x)．

因為所以x₁－x>0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂>1－ax₂>0．

得  x₁－f(x)>0．由此得f(x)<x₁．

(Ⅱ)依題意知

因為x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根．

∴，

因為ax₂<1，所以

【評析】該題就某一知識進行了加深，競賽味道過于濃厚。實際難度為0.09,也屬于廢題。

（1997年全國理25）設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

【解析】解法一:設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為│b│，  │a│．由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，知圓P截X軸所得的弦長為，故r²=2b²，又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r²=a²+1．

從而得2b²－a²=1．又點P(a，b)到直線x－2y=0的距離為

，所以5d²=│a－2b│² =a²+4b²－4ab ≥a²+4b²－2(a²+b²) =2b²－a²=1，

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²=1，從而d取得最小值．

由此有解此方程組得或由于r²=2b²知．

于是，所求圓的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

解法二:同解法一，得∴

得       ①將a²=2b²－1代入①式，整理得

       ②

把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d²－1)≥0，

得  5d²≥1．∴5d²有最小值1，從而d有最小值．

將其代入②式得2b²±4b+2=0．解得b=±1．將b=±1代入r²=2b²，得r²=2．由r²=a²+1得a=±1．綜上a=±1，b=±1，r²=2．由=1知a，b同號．

于是，所求圓的方程是(x－1) ²+(y－1) ²=2，或(x+1) ²+(y+1) ²=2．

【評析】該題就某一知識進行了加深，競賽味道過于濃厚。實際難度為0.20,屬于廢題。通過1997年高考數學試題，專家們得出這樣結論：競賽試題要對某一知識應用中強調技巧，高考試題不能過多地偏重于技巧。

.（1999年全國文理16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有___________種（用數字作答）

【解答】12

【評析】該題的愿意是選壟并種播，但是題目沒有明確敘述清楚，而只是籠統的說有多少種選法。

（1999年全國文理23，廣東20）右圖為一臺冷軋機的示意圖.冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出.

Ⅰ.輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對軋輥的減薄率不超過.問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？

Ⅱ.已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600若第對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為為了便于檢修，請計算、、并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

軋錕序號

1

2

3

4

疵點間距（單位：）

1600

【解答】Ⅰ.解：厚度為的帶鋼經過減薄率均為的對軋輥后厚度為

為使輸出帶鋼的厚度不超過，冷軋機的軋輥數（以對為單位）應滿足即 由于對比上式兩端取對數，得

由于所以因此，至少需要安裝不小于的整數對軋輥.

Ⅱ. 解法一：第對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積為寬度而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為寬度.因寬度相等，且無損耗，由體積相等得  即由此得填表如下

    軋錕序號                  1        2        3        4

疵點間距（單位：）       3125     2500     2000     1600

解法二：第3對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因寬度不變，有所以同理        

填表如下

軋錕序號                      1        2        3        4

疵點間距（單位：）       3125     2500     2000     1600

【評析】該題情景對多數學生而言太過陌生，當年爭議也非常大，“本身題是好題，但不適合學生作！”在當年的評價種，出現了“不同地域、不同背景的學生能夠看懂”的說法，同時從這一年開始，原來的評價報告改成了分析報告。并取消了知識點覆蓋率與難度低于0.2為廢題的說法，將試題的評價指標指引到“更應注重其區分度上”。

（2000年全國、江西文理22，廣東22）如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當時，求雙曲線離心率的取值范圍．

【解答】解：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xoy，則CD⊥y軸．因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于x軸對稱．依題意，記A(－c，0)，C(，h)，E(x₀, y₀)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由定比分點坐標公式得x₀== ，

．設雙曲線的方程為，則離心率.由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得，                      ①

．     ②             由①式得    ，                    ③將③式代入②式，整理得，故    ．  由題設得，．解得．所以雙曲線的離心率的取值范圍為．                       

【評析】該題是1999年后，取消“0.2之下為廢題”的說法，代之于“只要有一個辦法中學能解即可”政策下出現的試題，但預估難度為0.21而實際難度為理科0.09、區分度為0.332.，文科難度0.10,區分度0.370.應該說這次嘗試沒有成功。

（1999年上海文科理科12）在等差數列中，若，則有等式成立，類比上述性質，相就奪：在等此數列中，若，則有等式                 成立。

【解答】

【評析】這是第一次出類比數學思想的高考試題，是否得當，當年爭議頗大；結論是繼續實驗。

（2001年全國理3）設｛a_n｝是遞增等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是 (   )

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 6

【答案】B

【評析】該題太容易，基本上是白送分的題，當年的實際難度為0.96,區分度為0.174；沒有將學生成績區分出來

    （2001年全國理17、文19，廣東19，天津山西江西乙20）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S―ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

(Ⅰ)求四棱錐S―ABCD的體積；

    (Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

【解答】（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是M_底面，            

∴ 四棱錐S―ABCD的體積是 M_底面    ．            

（Ⅱ）延長BA、CD相交于點E，連結SE則SE是所求二面角的棱．

∵ AD∥BC，BC = 2AD，∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交線，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．                 

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tan∠BSC ．即所求二面角的正切值為．          

【評析】該題是一個好題，但是與1994年上海高考試題太過類似：如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=a，AD=3a，且∠ADC=arcsin,又PA⊥平面ABCD，PA=a,求

⑴二面角P-CD-A的大小（用反三角表示）⑵點A到平面PBC的距離。有抄襲之嫌，分析會議上，也說出了“誰說考過的就不能再考”的觀點。而文科實際難度為0.175,區分度為0.548.

   （2001年全國理20） 已知i，m，n是正整數，且1＜i≤m＜n．     (Ⅰ)證明；(Ⅱ)證明(1＋m) ⁿ＞ (1＋n) ^m．

【解答】（Ⅰ）證明： 對于1＜i≤m有= m?…?(m－i＋1)，           …，     同理 …，                     

    由于 m＜n，對整數k = 1，2…，i－1，有，

所以 ，即．                  

（Ⅱ）證明由二項式定理有，                           ，由 (Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n)，而 ，，                               所以， (1＜i≤m＜n)．因此，．

又 ，，．

∴ ．即 (1＋m)ⁿ＞(1＋n)^m．         

【評析】該題命題從排列組合二項式定理同時以大題形式出現，考了冷門，當年《考試說明》排列組合的證明只是了解層次，預估難度0.5，實際則是0.141,區分度為0.464.之后形成定格：排列組合二項式定理以小題形式考，而且一般出此不出彼的格局；同時，也臺出形成了“遵循考試說明（大綱），但有不拘泥于大綱的政策”。

（2001年理文科12,廣東12天津山西江西12，）如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相聯．連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量．現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞．則單位時間內傳遞的最大信息量為                                                     (    )

(A) 26

(B) 24

(C) 20

(D) 19

【解答】D

【評析】這一題，許多文科生沒有讀懂就下手做，預估文理課差不多的情況，但實際是文科難度為0.175,區分度為0.097.，大多數文科生不會。在分析報告種，再度強調了“要體現文理科的差異”。

（2001年上海11）已知兩個圓：x²+y²=1①與x²+(y－3)²=1②，則又①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為                   .

【解答】設圓方程(x－a)²+(y－b)²=r²  ①   (x－c)²+(y－d)²=r²  ②（a≠c或b≠d），由①－②，得兩圓的對稱軸方程.

  【解析】這是1999年類比的延續試驗，該題基本上白送分，沒有區分度。

（2002年北京理9）12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有

A．種B．種    C．種  D．種

【解答】A

【評析】這是重蹈歷史覆轍不該以這種形式出現的題。每換一幫人出題，總會出現這種重蹈歷史覆轍的情況。

【說明】該階段試題以省市為主的自主招生為主，并逐步向“高校自主招生試題”轉移，以《考試大綱》代替了原來的《考試說明》，這一階段的敗題主要體現為“不嚴密”或“考察意圖失落”

（2003年江蘇1）如果函數的圖象與軸有兩個交點，則點平面上的區域（不包含邊界）為（    ）

【答案】C

【評析】該題不嚴格，關鍵在于a≠0對應圖形中不應包含b軸；此題在當年爭論非常大，甚至有一部分全國知名院士參予說“題出錯”，搞得沸沸揚揚，甚至驚動國家領導人批示“妥善處理此”。現在看來，題出得不嚴格是個弱點，但對該題得選擇不產生致命影響。通過該題產生了“教師成長的關鍵是什么？”的全國性大討論。

（2003年江蘇5，天津理4文8）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足的軌跡一定通過的

       （A）外心               （B）內心               （C）重心               （D）垂心

【答案】B

【評析】當年《考試大綱》對于平面向量得基本定理是“了解”層次，當該題一致拔高到應用層次，屬于把握不當出現的命題失誤。

（2003年江蘇8，遼寧9，天津理7）設，曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為到曲線對稱軸距離的取值范圍為   （    ）

   （A）        （B）      （C）       （D）

【解答】B

【評析】該題需要多想多算，諸多能力聚于一題，突破了常規，單就題本身而言是一個好題，但突破常規的題一多，就顯得整體試卷太過艱難。說白了，沒有處理好研究與命題的關系。類似題有：（2003年遼寧11，全國理10文11，天津理10文11）已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂，P₃和P₄（入射角等于反射角）. 設P₄的坐標為（x₄，0），若_，

則的取值范圍是                    （    ）

   A．（，1）        B．        C．         D．

（2003年江蘇9，全國7，天津理8）已知方程的四個根組成一個首項為的的等差數列，

則（     ）   （A）1        （B）      （C）       （D）

【解答】C

【評析】該題非常活，活得基本上學生思考不到，從而做不出。競賽性質非常濃厚。引起人們對高考命題是該與競賽題一樣的“深挖洞”，還是“廣積糧”的思考。

   （2003年江蘇20，遼寧22，天津理21文22）已知常數經過原點O以為方向向量的直線與經過定點為方向向量的直線相交于P，其中試問：是否存在兩個定點E、F，使得為定值若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由

【解】（Ⅰ）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

（Ⅱ）當時，方程①表示橢圓，焦點

（Ⅲ）當方程①也表示橢圓，焦點為合乎題意的兩個定點.

【評析】該題將向量與解析幾何結合在一起，是當年“將向量當作工具使用”下的結構，但是無論向量還是解析幾何都考查了一定的深度。結論：如果用廣積糧的“串門”思路命題，不能每點都考查到一定深度！

（2003年江蘇21）已知為正整數

（Ⅰ）設，證明；

（Ⅱ）設，對任意，證明

【解答】證明：（Ⅰ）因為，

所以

（Ⅱ）對函數求導數:

∴

即對任意

【評析】該題特別新穎，命題者銳意創新，坡度設置也太陡，而忽略了求穩，過多的閃光點出現學生根本無法適應的結果。

（2003年上海春招16）關于函數，有下面四個結論：

(1) 是奇函數   (2)當時, 恒成立

(3) 的最大值是   (4) 的最小值是

其中正確結論的個數為(    ).

(A) 1個      (B)2個      (C)3個      (D)4個

【解答】A

【評析】該題抽象程度太高，以致于沒有幾個人答對，就算答對者，也是隨機成分比較大，此題沒有考慮到學生的實際。

 （2004年湖北理8）已知數列{}的前n項和其中a、b是非零常數，則存在數列{}、{}使得（    ）

       A．為等差數列，{}為等比數列

       B．和{}都為等差數列

       C．為等差數列，{}都為等比數列

D．和{}都為等比數列

【答案】C

（2004年湖北文12）設是某港口水的深度y（米）關于時間t（時）的函數，其中.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關系：

t

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y

12

15.1

12.1

9.1

11.9

14.9

11.9

8.9

12.1

       經長期觀觀察，函數的圖象可以近似地看成函數的圖象.在下面的函數中，最能近似表示表中數據間對應關系的函數（     ）

       A．      B．

       C．      D．

【解答】A

【評析】該題是課程標準中的一個例題，雖然方向是向課程標準傾斜，但并不是照抄課程標準。

（2004年全國Ⅰ（河北、河南、山東、山西、安徽、江西卷）理19）已知求函數的單調區間

【解答】函數f(x)的導數：

（I）當a=0時，若x<0，則<0，若x>0,則>0.

所以當a=0時，函數f(x)在區間（－∞，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數.

（II）當

 由

所以，當a>0時，函數f(x)在區間（－∞，－）內為增函數，在區間（－，0）內為減函數，在區間（0，+∞）內為增函數；

（III）當a<0時，由2x+ax²>0，解得0<x<－,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－.

所以當a<0時，函數f(x)在區間（－∞，0）內為減函數，在區間（0，－）內為增函數，在區間（－，+∞）內為減函數.

（2004年浙江理文12）若和g(x)都是定義在實數集R上的函數，且方程有實數解，則不可能是

  （A）   （B）    （C）   （D）

【解答】B

【評析】該題一般的用逆推加數形結合方法選出，這樣使從道理上說明的意圖失落。

（2005年北京理7）北京《財富》全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數為

    （A）      （B）  （C）  （D）

【解答】C

【評析】該題又是重蹈歷史覆轍的題目，類似有北京文8“五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（A）種    （B）種   （C）種  （D）種”，遼寧3“設袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（    ）

       A．           B．           C．           D．”

（2005年福建理12）是定義在R上的以3為周期的奇函數，且，則方程在區間（0，6）內解的個數的最小值是

       A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

【評析】解至少有1，1.5,2,3,4,4.5,5七個，該題是一個錯題，原答案為D。這是人們認識到“教師成長一靠專業化水平，二靠認真的態度”。

(2005年湖南理12)在（1＋x）＋（1＋x）²＋……＋（1＋x）⁶的展開式中，x ²項的系數是　　　　.（用數字作答）

【解答】35

【評析】該題是一個老題，而且多數參考資料上有此原題，抄襲原題對于高考而言不是一件好事。

（2006年清華大學自主招生數學試題8）在所有定周長的空間四邊形ABCD中，求對角線AC+BD的最大值，并證明

【評析】由于三角形ABD可以繞著對角線BD隨意旋轉，空間四邊形的周長都不變，對角線AC沒有最大值，故AC+BD也沒有最大值。該題是一個錯題。該題在國外引起的反響比較大，國內由于參加考試的人數比較少，沒有形成大的影響。這使近年“教師的成長一在于自己的水平，二在于認真的態度，但更側重于后者”的觀點再次得到驗證。

（2006年浙江文理17）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，， 底面，且，分別為、的中點。

（Ⅰ）求證：；

       （Ⅱ）求與平面所成的角。

【解答】方法一：

（Ⅰ）因為N是PB的中點，PA=AB,

所以AN⊥PB.

因為AD⊥面PAB,所以AD⊥PB.從而PB⊥平面ADMN.

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）連結DN，因為PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD與平面ADMN所成的角.

在中,故BD與平面ADMN所成的角是.

方法二：以A為坐標原點建立右手空間直角坐標系,設BC=1，則

（Ⅰ）因為

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）因為所以PB⊥AD.又PB⊥DM.因此的余角即是BD與平面ADMN.所成的角.因為所以=

因此BD與平面ADMN所成的角為.

【評析】該題是一個老題，1994年上海高考出過，2001年全國高考也出過，再次出現不太妥當。

（2006湖北文理第10題）關于的方程，給出下列四個命題：

①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；

②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；

③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；

④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根；

其中假命題的個數是

A．0    B．1    C．2    D．3

解：設|x²-1|=t,則k=-t²+t,作出二者的圖像如圖

k>時，t無解，對應的x無解；k=時，t=,對應的x有四個解；0<k<時，t有兩個大于0小于1的解，對應的x有四個解；k=0時，t=0或t=1,對應的x分別有兩個、三個解；k<0時，t有一個大于1的解，對應的x有兩個解。選B

該題當年出現爭議，爭議的核心是t=1時，有三個解還是四個解（四個解是一正、一負、再有兩個等解0），本身就是不嚴格的，因此這種題一般不選，或者加以改造，如改造為：“關于的方程，存在實數，使得方程恰有m個不同的實根；指出m的取值范圍集合”，以使無有異議。但有爭議的問題在高考試題中出現，怎么說也不能算作好題。

（2008年山東）函數y＝lncosx(-＜x＜的圖象是

（２００８山東）已知函數f(x)=log_a(2^x+b－1)(a＞0,a1)的圖象如圖所示，則a,b滿足的關系是

(A)0＜a^－1＜b＜1   (B)0＜b＜a^－1＜1   (C) 0＜b^－1＜a＜1     (D)       0＜a^－1＜b^－1＜1

【評析]】這兩個題與課程標準中復合函數限于f(ax+b)的要求相悖，而當年山東是新課程標準的實驗區之一

（2008廣東理）設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，，（…）．（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；

（3）若，，求的前項和．

（2008廣東文）設數列滿足，，（n = 3，4，…）。數列滿足， （n = 2，3，…）是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有－1≤…≤1。（1）求數列和的通項公式；（2）記（n = 1，2，…），求數列的前n項和。

【評析】遞推數列在新課標及教材中提都不提的內容，出現大的命題，不太妥當。而在此之前，廣東的考試說明也稱遞推數列限于a_n=αa_n-1+β的形式。

以上兩題引起廣泛爭議，促使課程標準的修訂重新出臺。