試卷類型：A
2009年廣東省廣州市普通高中畢業班綜合測試（二）
數 學（文科）
2009．4
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區、學校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式
， 其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
球的表面積公式
，其中
為球的半徑．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集
，集合
，
，則
A．
B．
C．
D．
2．如果復數
是純虛數，則實數
的值為
A．0 B．
3．已知函數
則函數
的零點個數為
A．1 B．2 C．3 D．4
4．命題“
，
”的否定是
A．，
≥0 B．，
C．
，≥0 D．，
5．在空間直角坐標系中，以點
，
，
為頂點的
是以
為底邊的等腰三角形，則實數
的值為
A．
B．2 C．6 D．2或6
6．如圖1所示的圖形是由若干個小正方體所疊成的幾何體的側（左）視圖與俯視圖，其中俯視圖的小正方形中的數字表示該幾何體在同一位置上疊放的小正方體的個數，則這個幾何體的正（主）視圖是
 |
|||||||
 |
 |
||||||
 |
|||||||
A． B. C. D.
7．曲線
在點
處的切線與軸及直線
所圍成的三角形的面積為
A．
B．
C．
D．
8．已知圓
與圓
關于直線
對稱，則直線的方程為
A．
B．
C．
D．
9．在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于的概率為
A．
B． C．
D．
10．在平面內有
≥
條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這條直線把平面分成
個平面區域，則
等于
A．18 B．22 C．24 D．32
（一）必做題（11～13題）
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
12．在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規定計算 參賽者比賽成績的規則如下：剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其他7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現有一位參賽者所獲9位評委一個最高分為86分、一個最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績為 ?? 分．
13．在中，已知
，則
的最大值為 ，此時角
的大小為 ? 
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形
中，
，
，則
的值為
．
15．（坐標系與參數方程選做題） 直線
被圓
（
為參數）所截得的弦長為
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知向量
，
，設函數
．
（1）求函數的值域；
（2）已知銳角的三個內角分別為
若
，
，求
的值．
17．（本小題滿分12分）
已知實數
，
．
（1）求直線
不經過第四象限的概率；
（2）求直線與圓
有公共點的概率．
18．（本小題滿分14分）
在長方體
中，
，過
、
、
三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖4所示的幾何體
，且這個幾何體的體積為
．
（1）證明：直線
平面
；
（2）求棱
的長；
（3）求經過
四點的球的表面積．
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓
：
的離心率
，且經過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是橢圓的左焦點，判斷以
為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由.
20．（本小題滿分14分）
已知等比數列
的前項和為
，若
，
，
成等差數列，試判斷
，
，
是否成等差數列，并證明你的結論．
21．（本小題滿分14分）
已知函數
，
，其中
．
（1）若是函數
的極值點，求實數的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
2009年廣州市普通高中畢業班綜合測試（二）
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
D
C
B
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．第13題第1個空3分,第2個空2分.
11．0
12．79
13．
，
14．1
15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
解：（1）
．
∵
R，
∴函數
的值域為
．
（2）∵
，
，
∴
，
．
∵
都是銳角，
∴
，
．
∴
∴
的值為
．
17．（本小題主要考查古典概型等基礎知識，考查化歸和轉化、分類與整合的數學思想方法，以及簡單的推理論證能力）
解：由于實數對
的所有取值為：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共16種．
設“直線
不經過第四象限”為事件
，“直線
與圓
有公共點”為事件
．
（1）若直線不經過第四象限，則必須滿足
即滿足條件的實數對
有，，，，共4種．
∴
．
故直線不經過第四象限的概率為
．
（2）若直線與圓有公共點，則必須滿足
≤1，即
≤
．
若
，則
符合要求，此時實數對（
）有4種不同取值；
若
，則
符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；
若
，則符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；
若
，則符合要求，此時實數對（）有4種不同取值．
∴滿足條件的實數對共有12種不同取值．
∴
．
故直線與圓有公共點的概率為
．
18．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力）
（1）證法1：如圖，連結
，
∵
是長方體，
∴
且
．
∴四邊形
是平行四邊形．
∴
．
∵
平面
，
平面，
∴
平面．
證法2：∵是長方體，
∴平面
平面．
∵
平面，平面，
∴平面．
（2）解：設
，∵幾何體
的體積為
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的長為4．
（3）如圖，連結
，設的中點為
，連
∵是長方體，∴
平面．
∵平面，∴
．
∴
．同理
．
∴
．
∴經過
，
，，
四點的球的球心為點．
∵
．
∴
．
故經過，，，四點的球的表面積為
．
19．（本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想，以及運算求解能力）
解：（1）∵橢圓
的離心率為
，且經過點
，
∴
即
解得
∴橢圓
的方程為
．
（2）∵
，
，∴
．
∴橢圓的左焦點坐標為
.
以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為
，圓心坐標是
，半徑為2.
以
為直徑的圓的方程為
，圓心坐標是
，半徑為
.
∵兩圓心之間的距離為
，
故以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切.
20．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前
項求和公式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設等比數列
的首項為
，公比為
，
若
，
，
成等差數列，
則
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
當時，∵
，
，
，
∴
．
∴當時，
，
，
不成等差數列．
當時，，
，
成等差數列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵
，
∴
．
∴當時，，，成等差數列．
證法2：∵
，
又
，
∴．
∴當時，，，成等差數列．
21．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定義域為
，
∴
．
∵
是函數
的極值點，
∴
，即
，
∵
，∴
．
經檢驗，當時，
=1是函數
的極值點，
∴． ?
解法2：∵，其定義域為，
∴．
令
，即
，整理得，
．
∵
，
∴的兩個實根
（舍去），
，
當變化時，，
的變化情況如下表：
同步練習冊答案
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com