對一道數學題的展開
賴友志
在數學復習教學中，選好一道例題。通過一題多思，一題多解，一題多講。可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野。
例題：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且
，求ｘ＋ｙ的最小值。
法一：均值不等式法
此題答案有誤。因為⑴，⑵式的等號不能同時成立，所以⑶式等號不能取。但事實上推導過程無誤，只不過擴大了ｘ＋ｙ的范圍。此種推導在選擇題時，其選擇項若是6，8，12，16，當可排除6，8，12得16。
此法作為例子強調使用重要不等式時等號成立條件的必不可少。
法2，1的妙用
法3，構造x+y不等式法
變式：已知x+xy+4y=5 （x,y∈R＋）求xy取值范圍
法4，換元后構造均值不等式法
法5，用判別式法
注意實根分布情況討論。
類似地，如2x+y=6,求
的范圍也可用判別式法。
法6，三角代換法
變：0<x<1,a>0,b>0，則
的最小值
法7，導數法
以上所涉及到的方法都是學生應掌握的。通過一道例題講解即可復習多種方法。
2005年1月
“能聽懂課，不會解題”的原因調查與分析
按：為了搞好高中數學教學，利用課余時間與職業高中同仁在兩校學生中作了抽樣調查，對學生反應的問題作了系統的分析，并在此基礎上提出自己的一些見解，省教研室評為二等獎。
內容摘要：本文在對中學生數學學習中普遍存在 “能聽懂課，不會解題” 原因的調查分析的基礎上，提出了改進教學方法、指導學生學習、學生如何學習的具體對策。
主 題 詞：聽課 解題 調查 分析
在數學教學中培養學生的創造性思維
在數學教學中培養學生的創造性思維是時代的要求。要培養學生的創造性思維，就應該有與之相適應的，能促進創造性思維培養的教學方式。當前，數學創新教學方式主要有以下幾種形式：
1 、開放式教學。
這種教學在通常情況下，由教師通過開放題的引進，在學生參與下解決，
使學生在問題解決的過程中體驗數學的本質，品嘗進行創造性數學活動的樂趣。開放式教學中的開放題一般有以下幾個特點。一是結果開放，一個問題可以有不同的結果；二是方法開放，學生可以用不同的方法解決這個問題；三是思路開放，強調學生解決問題時的不同思路。
2 、活動式教學。
這種教學模式主要是讓學生進行適合自己的數學活動，包括模型制作、
游戲、行動、調查研究等，使學生在活動中認識數學、理解數學、熱愛數學。
3 、探索式教學。
采用“發現式”，引導學生主動參與，探索知識的形成、規律的發現、
問題的解決等過程。
要培養學生的創造思維能力，應當在數學教學中充分有效地結合上述三種形式（但不限于這三種形式），通過逐步培養學生的以下各種能力來實現教學目標：
一 、培養學生的觀察力。敏銳的觀察力是創造思維的起步器。那么，在課堂中，怎樣培養學生的觀察力呢？第一，在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。第二，要在觀察中及時指導。比如要指導學生根據觀察的對象有順序地進行觀察，要指導學生選擇適當的觀察方法，要指導學生及時地對觀察的結果進行分析總結等。第三，要科學地運用直觀教具及現代教學技術，以支持學生對研究的問題做仔細、深入地觀察。第四，要努力培養學生濃厚的觀察興趣。
1993年全國高考數學科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，國家教委將“數學開放題”列為九五重點科研項目．相對于傳統的封閉題嚴密完整，開放題在構成問題的要素――條件、策略、結論中有一些是不明確的（分別稱為條件開放題、策略開放題、結論開放題）．當前數學開放題之所以引起我們中學數學教師的關注，我以為一是以實踐能力、創新意識的培養為核心的素質教育的深入的需要．數學開放題對培養學生思維的發散性（結論開放）、聚斂性(條件開放)、創造性（策略開放），不失為好載體．二是高考命題的導向作用，數學開放題走進高考試卷的需要．三是數學走向應用的需要．我們的數學教育不僅要讓學生學會繼續深造所必需的數學基本知識，基本方法，基本技能，更重要的是讓學生學會用數學的眼光看待世界，用數學的思維方式去觀察分析現實社會，去解決現實生活中的問題．
為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學．本文談對數學開放題教學的一些認識，不當之處，謹請多多指教．
１、砸破籬笆，讓學生展開想象的翅膀
青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代．開放題往往形式活潑，供學生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學生提供了一個展翅的舞臺．而封閉題往往形式單一，要求學生在特定的范圍內進行定向思維．長期作這類機械式的思維訓練，學生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學活動，不僅沒有促進學生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想．通過開放式教學，可以讓學生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發揮自身才華．
根據我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬：
開放題１ 我校準備在長
①每道跑道寬
本題有學生認為不能造出滿足要求的操場，他認為操場應由兩個半圓和一個矩形構成（如圖１），經計算，跑道內圈無論如何達不到
開放題2 用一塊長
)．
本題主要考察學生如何畫出橢圓，培養學生的動手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學生親手畫一畫，動手截一下．學生至少可從以下幾個角度去思考:①建立坐標系，寫出方程描點；②確定焦點，長軸長，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數方程的定義；④用橢圓規工作原理(P124)．
2、傳授定式，幫學生克服畏懼的心理
開放題引入課堂教學之初，學生的表現往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學生建立科學的思維定式．
⑴尋找充分條件型開放題．
開放題3 在直四棱柱
中（如圖５），當底面四邊形ABCD滿足條件 時，有
（填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．
這類題型，只需找到能使結論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結論成立的充要條件．這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點，學生一開始往往不習慣．
⑵“是否存在”型開放題．
開放題4
設{
}是由正數組成的等比數列,
是其前n項和.是否存在常數Ｃ>0,使得
成立？并證明你的結論（1995高考卷第25題）．
這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較小．若“存在”，就是具有適合條件的某種數學對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在．若“不存在”，一般需要有嚴格的推理論證．故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設存在滿足條件的數學對象，如果找出矛盾，說明假設不成立，進而否定假設，如果經過嚴格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可．
⑶猜想型開放題．
開放題5 已知數列{bn}是等差數列,b1＋b2＋……＋bｎ＝145， b1=1．①求數列{bn}的通項bn；②設數列{an}的通項an= 
其中a＞0且a≠1），sn是數列{an}的前n項和，試比較sn與
的大小(1998高考理科第25題)．
解答這類開放題，要求學生學會猜想．牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現．”美國數學教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測吧！”可我們在日常教學中，往往過分強調數學學科的嚴謹性和科學性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養，讓學生覺得數學枯燥、無趣、難學．
我們應該教會學生如何猜想．教學生通過實驗、觀察，進行猜想，教學生通過對特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規律（共性），教學生通過比較、概括得到猜想，教學生對具體問題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴密的數學證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學生體會到數學也是生動活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學科．不至于學生說“過了幾十年，還做學習數學的惡夢”（徐利治語，見文５）．
３、開展實驗，用計算機輔助開放式教學
利用計算機強大的計算功能和作圖功能輔助開放式教學，有利于改善課堂氣氛，激發學生的學習興趣；有利于“觀察（實驗）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運用，快捷方便地驗證學生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動的時間．
開放題6 （荒島尋寶）從前，有個年輕人在曾祖父的遺物中發現一張破羊皮紙，上面指明了一項寶藏，內容是這樣的：
“在北緯＊＊，西經＊＊，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架．從絞架走到橡樹，并記住所走的步數，到了橡樹向左拐一個直角，再走相同的步數并在那里打個樁．然后回到絞架再朝松樹走去，同時記住所走的步數，到了松樹向右拐一個直角，再走相同的步數并在那里也打個樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏．”
年輕人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了．長期的日曬雨淋，一切痕跡也不復存在．年輕人無從下手，只好空手而返．同學們，你能用數學方法幫助這位年輕人嗎？
本題，學生往往不知從何處入手．如果我們利用數學教學軟件幾何畫板制作圖６（設Ａ，Ｂ兩點為橡樹和松樹所在地，假設Ｃ為絞架所在地．依題意找到打樁處Ｄ，Ｅ）．不妨先讓我們做一個小實驗．拖動點C，我們將會發現，無論C在何處，DE中點H是不動的．我們問：這說明什么？寶藏是否就在中點Ｈ處？
這樣，學生將會積極地思索，不難從解析幾何，復數、向量、平面幾何角度尋求具體的解決方法．
學習“過拋物線
的頂點Ｏ作二條互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)則弦AB 恒過定點(2P ，O ) ”之后,引導學生探討：
開放題
7 過拋物線 上任一點C(
，
) 作二條互相垂直的弦CA 、CB(∠ACB = 9０°) 則弦AB有什么特性? 利用幾何畫板設計如圖 ；
探討過程為 ：
1 、雙擊移動按紐 “ 移 動C→O ” 顯示直角頂點在原點時，弦AB 恒過定點(2P ，0) .
2、直角頂點移回C 處，對AB作軌跡跟蹤，發現弦AB過一定點.
3、作出該定點D并顯示該點坐標.
4、尋找關系：⑴ 顯示C及點C關于X軸對稱點E的坐標，我們發現點D與點E的縱坐標相同.⑵ 作出線段ED并顯示長度，發現 ED = 2P.
5 、改變點C 的位置，或拖拉焦點F,變化P 的長度再作上述觀察.確認我們的結論正確,從而猜想弦AB恒過定點D(
，
) .
6 、用代數方法證明以上猜想.
參考資料
1、戴再平：數學習題理論，上海教育出版社．1991.4
2、張奠宙：數學教育的全球化，開放化、信息化、數學教育．1998.5
3、王珂：從高考的新題型―開放題引起的思考，數學通報． 1999.12
４、陳錫龍:設計開放性的數學教學初探,中學數學教學參考．1999.10
５、“現代數學及其對中小學數學課程的影響”數學家座談會紀要 數學通報． 1999,11.
例 談 情 境 教 育
內容提要：情境教育是素質教育的一種教育模式，它服務于素質教育，是實施素質教育的一條有效途徑。創設良好的教學情境，能使數學教學達到意想不到的效果。本文從兩個定理的教學情境的創設，以及達到的教學效果出發，論述情境教育在素質教育中的重要意義。
關鍵詞：情境教育；情境教學；素質教育
一 情境教育
情境教育是由情境教學發展而來的。近半個世紀來，中國的教育受凱烙夫教育思想的影響極深，注重認知，忽略情感，學校成為單一傳授知識的場所。這就導致了教育的狹隘性、封閉性，影響了人才素質的全面提高，尤其是影響了情感意志及創造性的培養和發展。情境教學則針對我國傳統的注入式教學造成的中學數學教學的弊端而提出的，這些弊端是：呆板、繁瑣、片面、低效，以及壓抑學生興趣、特長、態度、志向等素質發展。情境教學開辟了一條促進學生主動發展，人格素質全面發展的有效途徑。
情境教育反映在數學教學中，就是要求教師注重數學的文化價值，創設有利于當今素質教育的問題情境。在數學課中加入數學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發現定理的經過，課堂氣氛會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關的典故和趣事。學生開闊了眼界，知道一個定理的發現過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多方面去思考問題。教師可以給予一定的物質條件，讓學生自己動手實踐，自主探索與合作交流。
二 兩個定理的教學
在初二幾何的勾股定理的教學中，如果教師講授新課時，照本宣科地將知識程式化地交給學生，學生即使知其然，卻不知其所以然。失去了對知識、技能、方法的領悟過程。不如先給學生講“勾股定理”的歷史及其一些著名的證明方法，把學生帶入勾股定理的教學情境。
教師可介紹：《九章算術》記載：今有勾三尺，股四尺，問為弦幾何。答曰：五尺[1]。
我國古代稱直角三角形的短直角邊為勾，長直角邊為股，斜邊為弦[2]。又如《周髀算經》稱：“勾廣三，股修四，徑隅五。”課本表述為：勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理，國外稱為：畢達哥拉斯定理。勾股定理作為幾何學中一條重要的定理，古往今來，有無數人探索它的證明方法。同學們能否猜出有幾種證法？怎么證？
這個問題一提出，就讓學生倍感新鮮、有趣。當教師告訴學生它的證明方法有500來種，更讓他們吃驚。接著教師可以向學生介紹歷史上幾種著名的證法。如果學校教學條件允許的話，教師可發揮信息技術的優勢，利用現代教育媒體，配合教學課件，為學生展現證明的過程，使學生印象更深刻。
（課件演示）
（一） 劉徽以割補術論證這一定理（圖1）
（二）
2ab+(b-a)2=c2 化簡為 a2+b2=c2
（三） 利用相似三角形的性質的證法 （圖3）
直角三角形ABC，AD為斜邊BC上的高。
利用相似三角形的性質可得：
AB∶BC=BD∶AB 即 AB2=BD×BC
AC∶BC=DC∶AC AC2=DC×BC
兩式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）BC=BC2
在復習平行線等分線段定理的推論2后，結合圖形（圖5）分清定理的條件是AD=BD，DE∥BC。結論是AE=CE。
提出問題后，學生可能證明結論有些困難，這時可稍作引導，提醒學生：“我們現有幾種判定平行的方法？”學生容易聯想到同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補等方法，可提醒學生還有：平行四邊形來判定對邊平行。并注意條件是AD=BD，AE=CE。這時同學們經思考有些已找到思路。通常能找到兩種證明方法。
，
（方法一） （方法二） （方法三）
錯解 如圖, 對于平面
，直線AB是垂線，垂足B是點A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．
平面ABC，
是兩個不重合的平面，
，平面
①連BD，由題設
=
，
=
，
=
=
F
平面BCD，且E1∈E1P，
BD=P(∵在△ABD中，
則A1E=D1E=
a．又 A1D1=a，
=
=
a, OE=
AB=
D1OE中, tan∠D1EO=
=
,
例5 已知，AB是半徑為R的⊙O的直徑，
=
=
,
=
R2
=
.