立體幾何中二面角的平面角的定位
空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學中發(fā)現(xiàn)，學生往往把握不住其定位的基本思路而導致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學中體會。
一、 重溫二面角的平面角的定義
如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC
α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α―ι―β的平面角，從中不難得到下列特征：
淺論數(shù)學直覺思維及培養(yǎng)
中學數(shù)學教學大綱(試驗修訂本)將培養(yǎng)學生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力"，雖然只是去掉兩個字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現(xiàn)了認識上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數(shù)學的本質(zhì)容易造成誤解，認為數(shù)學是枯燥乏味的；同時對數(shù)學的學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學學習的興趣。過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。
一、數(shù)學直覺概念的界定
簡單的說，數(shù)學直覺是具有意識的人腦對數(shù)學對象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。
對于直覺作以下說明：
(1)直覺與直觀、直感的區(qū)別
直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說："這些富有創(chuàng)造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所謂'直覺'……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"
(2)直覺與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來看，此話不無道理，但側(cè)重并不等于完全，數(shù)學邏輯中是否會有直覺成分?數(shù)學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數(shù)學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現(xiàn)象與世界運行的秩序直覺的體現(xiàn)，再以數(shù)學的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學最初的概念都是基于直覺，數(shù)學在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數(shù)學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個數(shù)學證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數(shù)學證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實上，出發(fā)不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數(shù)學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數(shù)學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產(chǎn)生的一種直覺。
在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學習的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學學習的興趣"，這種現(xiàn)象應該引起數(shù)學教育者的重視與反思。
二、直覺思維的主要特點
直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點，從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：
(1)簡約性
直覺思維是對思維對象從整體上考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質(zhì)"。
(2)創(chuàng)造性
現(xiàn)代社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認知結(jié)構(gòu)向外無限擴展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。
伊恩．斯圖加特說："直覺是真正的數(shù)學家賴以生存的東西"，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設(shè)都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范。
(3)自信力
學生對數(shù)學產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數(shù)學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數(shù)學本身。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力
高斯在小學時就能解決問題"1+2+ …… +99+100＝?"，這是基于他對數(shù)的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。
三、直覺思維的培養(yǎng)
一個人的數(shù)學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。
(!)扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉
直覺不是靠"機遇"，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底，是不會進發(fā)出思維的火花的。阿提雅說："一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個問題的足夠多的經(jīng)驗．對此你就會產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應該是正確的直覺。"阿達瑪曾風趣的說："難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?"
(2)滲透數(shù)學的哲學觀點及審美觀念
直覺的產(chǎn)生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學觀點包括數(shù)學中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化、對稱性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?/p>
美感和美的意識是數(shù)學直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數(shù)學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數(shù)學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質(zhì)的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說，如果一個物理方程在數(shù)學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。
(3)重視解題教學
教學中選擇適當?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學生的直覺思維。
例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性問題教學，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。
(4)設(shè)置直覺思維的意境和動機誘導
這就要求教師轉(zhuǎn)變教學觀念，把主動權(quán)還給學生。對于學生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發(fā)性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。
"跟著感覺走"是教師經(jīng)常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征；重視數(shù)學思維方法的教學，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發(fā)展大有稗益。
四、結(jié)束語
直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話，"數(shù)學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。"受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學的魅力所在，也是數(shù)學教育者努力的方向。
如何激發(fā)學生的數(shù)學學習動機
學習動機是指個人的意圖愿望、心理需求或企圖達到目標的一種動因、內(nèi)在力量。只有極大地激發(fā)學生學習的動機，才能調(diào)動學生學習的積極性，才能提高學習質(zhì)量。那么，怎樣才能激發(fā)學生的學習動機呢？
一、使學生對學習有一個正確的認識，是激發(fā)學習動機的前提
１．使學生認識到學習是現(xiàn)代人生存的需要。聯(lián)合國教科文組織提出：未來的文盲不是不識字的人，也不是識字很少的人，而是不會學習的人。從本世紀２０年代開始，隨著科學技術(shù)的迅猛發(fā)展，把人類帶進了信息時代，新知識的巨增和舊知識的快速老化，要求人們善于學習、終身不斷地進行學習。
２．使學生認識到自己是學習過程中的主人。使學生明白只有自己親自參與新知識的發(fā)現(xiàn)、獨立解決問題、善于思辯、習慣于歸納整理，才能真正鍛煉自己的思維、開發(fā)自己的智力、發(fā)展自己的能力。否則，僅僅知曉一個個問題的現(xiàn)成答案，自己的思維沒有得到任何的鍛煉，就失去了“數(shù)學是鍛煉思維的體操”的作用。久而久之，定會兩手空空無所收獲！
二、應用恰當?shù)姆椒ǎぐl(fā)學生的學習動機
１．巧設(shè)懸念，激發(fā)學生學習的欲望
欲望是一種傾向于認識、研究、獲得某種事物的心理特征。在學習過程中，可以通過巧設(shè)懸念，使學生對某種知識產(chǎn)生一種急于了解的心理，這樣能夠激起學生學習的欲望。例如：在講“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”一課時，先給學生講個小故事：一天，小明去小李家看他，當時小李正在做解一元二次方程的習題，小明一看就告訴小李哪道題做錯了。小李非常驚訝，問小明有什么“判斷的秘法”？此時，我問學生“你們想不想知道這種秘法？”。同生們異口同聲地說“想！”，于是同學們非常有興趣地上完了這節(jié)課。
２．引起認知沖突，引起學生的注意
認知沖突是人的已有知識和經(jīng)驗與所面臨的情境之間的沖突或差異。這種認知沖突會引起學生的新奇和驚訝，并引起學生的注意和關(guān)心，從而調(diào)動學生的學習的積極性。例如：“圓的定義”的教學，學生日常生活中對圓形的實物接觸得也較多，小學又學過一些與圓有關(guān)的知識，對圓具有一定的感性和理性的認識。然而，他們還無法揭示圓的本質(zhì)特征。如果教師此時問學生“究竟什么叫做圓？”，他們很難回答上來。不過，他們對“圓的定義”已經(jīng)產(chǎn)生了想知道的急切心情，這時再進行教學則事半功倍。
３．給予成功的滿足
興趣是帶有情緒色彩的認識傾向。在學習中，學生如果獲得成功，就會產(chǎn)生愉快的心情。這種情緒反復發(fā)生，學習和愉快的情緒就會建立起較為穩(wěn)定的聯(lián)系，學生對學習就有了一定的興趣。正如原蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所說：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進兒童好好學習的愿望。請你注意無論如何不要使這種內(nèi)在力量消失。”（《給教師的建議》）。
４．進行情感交流，增強學習興趣
“感人心者莫先乎于情”，教師應加強與學生感情的交流，增進與學生的友誼，關(guān)心他們、愛護他們，熱情地幫助他們解決學習和生活中的困難。作學生的知心朋友，使學生對老師有較強的信任感、友好感、親近感，那么學生自然而然地過渡到喜愛你所教的數(shù)學學科上了。達到“尊其師，信其道”的效果。
和學生進行情感交流的另一個方面是：教師通過數(shù)學或數(shù)學史學的故事等，來讓學生了解數(shù)學的發(fā)展、演變及其作用，了解數(shù)學家們是如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學原理及他們的治學態(tài)度等。比如：筆者給學生講“數(shù)學之王──高斯”、“幾何學之父──歐幾里德”、“代數(shù)學之父──韋達”、“數(shù)學之神──阿基米德”等數(shù)學家的故事，不僅使學生對數(shù)學有了極大的興趣，同時從中也受到了教育。起到了“動之以情，曉之以理，引之以悟，導之以行”的作用。
５．適當開展競賽，提高學生學習的積極性
適當開展競賽是激發(fā)學生學習積極性和爭取優(yōu)異成績的一種有效手段。通過競賽，學生的好勝心和求知欲更加強烈，學習興趣和克服困難的毅力會大大加強，所以在課堂上，尤其是活動課上一般采取競賽的形式來組織教學。
６．及時反饋，不斷深化學習動機
從信息論和控制論角度看，沒有信息反饋就沒有控制。學生學習的情況怎樣，這需要教師給予恰當?shù)卦u價，以深化學生已有的學習動機，矯正學習中的偏差。教師既要注意課堂上的及時反饋，也要注意及時對作業(yè)、測試、活動等情況給予反饋。使反饋與評價相結(jié)合，使評價與指導相結(jié)合，充分發(fā)揮信息反饋的診斷作用、導向作用和激勵作用，深化學生學習數(shù)學的動機。
當通過反饋，了解到一個小的教學目標已達到后，要再次“立障”、“設(shè)疑”深化學生學習動機，使學生始終充滿了學習動力。比如：“提公因式法因式分解”教學中，當學生對形如：am+an,a(m+n)+b(m+n)的多項式會分解以后，再提出新問題，形如：a(m-n)+b(n-m)的多項式如何利用提公因式的方法因式分解呢？只有這樣才能使學生的思維始終處于積極參與學習過程的狀態(tài)，才能真正地深化學生的學習動機。
總之，要激發(fā)學生學習的動機，首先是使學生對學習有一個正確的認識，這是學習動力的源泉。爾后，是激發(fā)學習動機的技術(shù)性問題，即如何激發(fā)學生的學習動機。一句話，抓住學生的興趣特點：他們常常對新穎的東西感興趣，對運動變化的東西感興趣，對相互矛盾的東西感興趣，對笑話、幽默故事感興趣，對美的東西感興趣，對實驗、操作感興趣，對競賽和游戲等感興趣。以培養(yǎng)學習興趣為核心，全方位激發(fā)學生的學習動機。
什么是數(shù)學思想？它們的作用是什么？
所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數(shù)學思想則是體現(xiàn)或應該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。
“數(shù)學思想”比一般的“數(shù)學概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。“數(shù)學思想”是與其相應的“數(shù)學方法”的精神實質(zhì)與理論基礎(chǔ)，“數(shù)學方法”則是實施有關(guān)的“數(shù)學思想”的技術(shù)與操作程式中。中學數(shù)學用到的各種數(shù)學方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。數(shù)學思想屬于科學思想，但科學思想未必就是數(shù)學思想。有的數(shù)學思想（例如“一分為二”的思想和“轉(zhuǎn)化”思想）和邏輯思想（例如完全歸納的思想）由于其在數(shù)學中的運用而被“數(shù)學化”了，也可以稱之為數(shù)學思想。
基本數(shù)學思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想，函數(shù)與方程的思想，整體思想，極限思想，抽樣統(tǒng)計思想等。當我們按照空間形式和數(shù)量關(guān)系將研究對象進行分類時，把分類思想也看作基本數(shù)學思想。基本數(shù)學思想有兩大基石――符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大支柱――對應思想和公理化結(jié)構(gòu)思想。基本數(shù)學思想及其衍生的其他數(shù)學思想，形成了一個結(jié)構(gòu)性很強的網(wǎng)絡。
數(shù)學中滲透著基本數(shù)學思想，它們是基礎(chǔ)知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學習和應用數(shù)學中去，那么我們的得到的是很多的。
數(shù)學教學雜談
中國的數(shù)學教育正在從“應試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)軌。改革開放的步伐，社會主義市場經(jīng)濟的大潮，正向缺乏活力的數(shù)學教育提出新的要求。“面向世界，面向末來，面向現(xiàn)代化”，再也不能停留在口頭上或紙面上了。以改革的精神，把充滿活力的小學教育帶進21世紀，已是擺在我們面前的迫切任務。
在我們的教育界中經(jīng)常能聽到有關(guān)“素質(zhì)教育”方面的事情，但真正能做到實在是太難，更多的是表面的文章，如果再這樣下去的話，只有百害而無一益，我們時時刻刻在教育孩子們要誠實，大膽敢于創(chuàng)新，為什么我們卻不能大膽的去承認錯誤，放開腳步去改革。
首先，必須改變教育觀。在當前的各類學校中，不管教學者還是管理者、還是學生、還是家長，心中都把考第一，成績看成唯一的衡量學生好壞的標準。使得教師和學生都圍繞分數(shù)進行著教學。尤其是小學，學生整天為了學習，已經(jīng)把兒童天生的“好奇心”快要埋沒了，變在太多的“好勝心”，變成了沿著“一條有規(guī)律”的路走著，這樣使他們形成 我們平時所講的“書呆子”。而我們所需要的卻要是能夠探索自然奧秘，發(fā)現(xiàn)大自然規(guī)律，為人類做貢獻的人才，這才是我們所追求最高的教育境界。
其次，要改變數(shù)學觀。數(shù)學不等于計算，也不等于邏輯。我們的數(shù)學太注重機械的機能要求，抽象的邏輯推理。我想我們學習數(shù)學的目的不外是讓學生能在生活中能運用數(shù)學的知識和技能來解決實際問題。例如我們的數(shù)學中包括許多用處不大的東西，過量的計算速度，矯揉造作的應用題正在無情地吞噬孩子們的寶貴時間，讓那些“相向而行”、“相對而行”之類的所謂應用題走遠些，別再折騰孩子了。所以我們必須想盡辦法來使書本的知識和學生的生活聯(lián)系起來，讓學生把知識用活。
再次，應改革數(shù)學教材。現(xiàn)行的九年制義務教材有些東西應該讓它走遠些。例如有關(guān)計算的題目如四步的遞等式，還有多位數(shù)的加減或乘除（數(shù)字比較大的），以及要求學生對此類計算題目要做到又對又快，又有何用呢？無非是數(shù)學雜技而已。21世紀的末來社會是計算機的時代，象過多過大的計算就讓計算機去做。美國的學生要求在12歲時都能上網(wǎng)，我們到今還沒有用上電腦，甚至有的連什么是電腦也不知道。這樣的學生怎能適應末來的社會呢？所以教材應多放一些情景題、開放題、動手題。至于一些生編硬造，故弄玄虛的小學應用題，還是少一些吧！再比如一定讓學生分清乘數(shù)和被乘數(shù)，而且必須把被乘數(shù)放在前面，連交換律都不成立了，真是何苦呢？講了這么多，也不是說我們現(xiàn)行的教材一點也沒有，它已經(jīng)在這方面有所發(fā)展，我們并不能把它極端化。
最后，我們要改革課堂。把學習的主動權(quán)交給學生。漢字“學習”的象形意義是雛鳥模仿飛行動作，以模仿為主要含義。西方的學習“study",就有學習和研究的兩重意思。確實，數(shù)學教師不能充當數(shù)學知識施舍者的角色。教師不該是至高無上的權(quán)威。事實上，學生的數(shù)學素質(zhì)是通過數(shù)學活動而得到，即學生自己通過研究、比較、建構(gòu)，逐步形成自己的知識框架。所以，我自己認為應多設(shè)計一些數(shù)學活動課，讓學生真正動起來，也許非常必要。
在這里我想說說自己在這方面的想法。
1、布魯納說過，學習的最好刺激是對教學材料的興趣。例如：小數(shù)的加減法，這一教學內(nèi)容對五年級學生較為抽象，而學生對生活中商品的價格卻是極為熟悉，因此在教學小數(shù)的加減法時，設(shè)置生活模擬場景，由學生做營業(yè)員和顧客，用自制的紙幣進行商品交易。營業(yè)員們仔細地用“元”作單位為商品標價，熱情地接待顧客，認真地收錢，找錢。顧客們則興高采烈地選購商品、看價、付錢。在活動中，同學們初步認識了小數(shù)的加減法，并對其產(chǎn)生極大的興趣。這樣可使學生感到數(shù)學并不枯燥，它是那么地有趣，富有吸引力，離我們又是那么地近。
2、在生活中交流是一種最平常而最有效的社會能力。我們所培養(yǎng)的學生將來必將走向社會，因此我們可以在課堂上設(shè)立一些有關(guān)這方面的活動。例如：可以把一些尋求規(guī)律的問題等讓學生分同桌互說、小組討論、集休交流等形式來進行，這樣使那些不敢發(fā)言的學生也有了一次能說說自己發(fā)自內(nèi)心的話，也使教師想解決各種層次不同學生心中的疑難問題這個任務輕輕松松的在各種形式的討論交流中迎刃而解，這樣就使學生解決了學習的任務，又鍛煉了學生自己的能力。同樣使教師順利的完成了本節(jié)課的內(nèi)容。例如：在講解商中間有零的除法時，教師費盡心機的想講清楚在此寫上零這個難點時，還不如讓全班學生經(jīng)過討論，教師再來歸納好。
3、上面提到過的學生的“好奇心”乃是小學生重要的心理特征之一，常言道：“學起于思，思源于疑”。教學中若平鋪直敘地講解，只能是教師講得口干舌燥，而學生卻對此毫無興趣，因此在教學中適當?shù)卦O(shè)置懸念，使學生在心理上產(chǎn)生疑問和要求質(zhì)疑的心態(tài)，才能使之產(chǎn)生強烈的求知欲，激發(fā)起對數(shù)學學習的興趣。例如：教學用簡便方法計算時，我先示題：25X72X4，99X99......接著讓學生進行計算、打草稿、抄答案，足足忙了一陣子，有的還算錯了。這時我卻輕松地將各題的答案寫在等號后面，學生們一臉的疑惑，猜不透老師是怎樣“神機妙算”的。我告訴學生要以新方法：運用“乘法的運算定律”對這些題目進行簡便運算。這一課以一懸念開始新課的教學，使學生一開始就產(chǎn)生探求新知識的欲望，調(diào)動了學習積極性。
總之，要把學生吸引到我們的數(shù)學課堂上來，使他們愿意學，積極學。我想作為一名普通的教師可以在如何調(diào)動學生的興趣和積極性上去探索和嘗試一下。
談張思明的“導學探索，自主解決”教學模式
正向我們走來的二十一世紀是知識經(jīng)濟和高科技的時代。為了適應時代的要求，科學院系統(tǒng)已經(jīng)提出建設(shè)國家創(chuàng)新體系，并開始實施知識創(chuàng)新工程；教育系統(tǒng)也提出了創(chuàng)新教育及培養(yǎng)具有高素質(zhì)的創(chuàng)新人才的目標。作為基礎(chǔ)教育的中學，為培養(yǎng)具有高系質(zhì)的創(chuàng)新人才打好基礎(chǔ)，全面實施素質(zhì)教育，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，已逐漸成為大家的共識。培養(yǎng)目標及任務的變化，必然導致教學模式的改革。這就需要從單純傳授知識的傳統(tǒng)教學模式，轉(zhuǎn)變到在傳授知識的同時，更要重視學生能力。特別是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的新教學模式。在這方面，北大附中副校長、特級教師張思明對“導學探索，自主解決”的教學模式進行了有益的嘗試，工取得了可歷史意義的成果。本文就張思明“導學探索、知主解決”教學模式的基本內(nèi)容、特點及其對我們的啟示進行簡要分析。
一、“導學探索、自主解決”教學模式的基本內(nèi)容及其效果
張思明在他從事多年的高中數(shù)學教學中，逐漸摸索并總結(jié)出“導學探索、自主解決”教學模式的五個環(huán)節(jié)：
1、A環(huán)節(jié)��引導創(chuàng)設(shè)問題環(huán)境
根據(jù)教學內(nèi)容，可以采用多種方式引導學生提出或設(shè)置問題。如：讓學生通過自學課本提出和發(fā)現(xiàn)問題；根據(jù)學生作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤設(shè)置問題；根據(jù)學生在學習討論、研究中的發(fā)現(xiàn)引出問題；從上課開始的10分鐘，自行設(shè)計相關(guān)的問題。
問題是思考的起點。教師引導學生圍繞教材或課本內(nèi)容提出或設(shè)置需要解決問題，實際上，就是教師引導學生認真讀書，積極思級，激發(fā)探索問題的主動性，使學生明確本節(jié)課重點要解決的問題，此導啟發(fā)學生進行思考。
2、B��環(huán)節(jié)師生平等探索討論
對（A）提出或設(shè)置的問題，教師要通過引導、類比、對比、聯(lián)想、觀察、實驗、歸納、化歸，形成更數(shù)學化、更抽象化的問題；或形成引入探索、有希望成立的猜想；事項分解成更小、更具體、更可操作、更熟悉、更清晰并表現(xiàn)出遞進層次的問題，從而使嚳一的思考更科學化，為培養(yǎng)創(chuàng)造性思維作好必要的思考準備。
3、C環(huán)節(jié)��學生自主解決問題
在（B）的基礎(chǔ)上，教師要引導學生應用學過的知識自己解決問題。特別要鼓勵學生在自主解決問題中的獨創(chuàng)性和創(chuàng)新精神。解決問題的方式，可以是“各自為戰(zhàn)”，也可以“分組分群”，還可以“你一言、我一語”討論式進行。對于一時“迷路”的學生，不要馬上否定，而要盡可能地肯定學生思維中的合理成分。要激勵學生，爭取給更多的學生創(chuàng)設(shè)參與機會，使全們得到自主解決的訓練和感受成功的體驗。
4、D環(huán)節(jié)��評價總結(jié)鞏固成果
教師引導學生對（B）、（C）中探索發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程與成果進行自我評價，自我總結(jié)。比如，讓學生來評價：探索發(fā)現(xiàn)的是否充分，問題解決的是否有效、徹底、簡潔，得到的主法和結(jié)果有何意義，有何應用價值等等。對于某一學生的評價或小結(jié)，教師還可以讓另一個學生再作“評價”的評價，也可以讓學生構(gòu)作一些練習來鞏固學習成果。
5、E環(huán)節(jié)��求異探新形成（知識和問題）周轉(zhuǎn)
課的結(jié)尾，教師要引導學生變維（改變問題的維度）、變序（改變問題的條件、結(jié)論）等方式來發(fā)散式提出新問題，并將新問題鏈引向課外或后繼課程。需要指出的是，這里引導學生提問題的主要目的是培養(yǎng)學生設(shè)問、疑問、想問題的思維方法和習慣。能否最終解決問題，由于受多種條件的限制，已不是最重要的了。最后教師布置三類作業(yè)：A類��不限定格式、主式的作業(yè)，如閱讀參考書的相關(guān)章節(jié)，預習或在教科書的白邊處寫批注，作略解等；B類��有指定要求的常規(guī)書面作業(yè)，要“少而精”；C類��選作性作業(yè)，或探索性作業(yè)，或微科研小課題等。
上面由5個環(huán)節(jié)組成的“導學探索、自主解決”教學模式，在具體實施或操作時，時間上不受單一課時的限制。可以是一個教學單元（如連排兩節(jié)課），也可以是一節(jié)課的局部環(huán)節(jié)，甚至可以延伸到果外活動和寒暑假的作業(yè)中去。
張思明通過上述環(huán)節(jié)，運用“導學探索、自主解決”教學模式，進行高中數(shù)學教學，不僅使果堂活躍，大大調(diào)動學生學習和積極性，激發(fā)起學生的探索欲望，而且在探索中發(fā)現(xiàn)問題、分析歸納問題、嘗試解決問題、評價解決問題成果和進一步探索新問題的過程中，學生思維方式得到科學引導，創(chuàng)新能力得到培養(yǎng)。許多學生反映：上一堂
二、“導學探索、自主解決”教學模式的基本特點和目標
1、它是一種努力實現(xiàn)教學過程“兩主”作用有機結(jié)合的開放式教學模式
“導學探索、自主解決”教學模式，實際上是試圖體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法、問題解決、引疑法、嘗試指導效果回授等諸多教學模式的共同優(yōu)點；試圖努力實現(xiàn)教學過程“兩主”作用的有機結(jié)合。教師的主導作用體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境，激發(fā)學生自主地探索解決問題的積極性和創(chuàng)造性；學生的主體作用體現(xiàn)在問題的探索、發(fā)現(xiàn)、解決上，而且問題的提出和解決程度和方式，由學生自主控制來完成。這種“兩主”作用的有機結(jié)合，不僅體現(xiàn)在當堂課上，而且和課前后問題的銜接、擴展、延伸是緊密結(jié)合的，并構(gòu)成了問題鏈。這種把課前、課中、課后知識及問題組合成類類似于食物鏈的問題鏈，就是一種不局限于單純課堂教學的開放教學模式。
2、它體現(xiàn)了教學過程由教為主到以學為主的重心轉(zhuǎn)移
教師要從培養(yǎng)學生能力，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目標來組織教學，就不能單純地在課堂上只傳授知識，課堂教學的主要活動也不是簡單地只由教師來講授，而是要通過學生自主地自學探索，教師平等地參與學生的探索和學習活動來完成，并實現(xiàn)教學過程從以教為主到以學為主的重心轉(zhuǎn)移。在這里，教師不應只是“講演者”，不應“總是正確的指導導者”，而應不時扮演下列角色：“模特”��他不僅演示正確的，也表現(xiàn)正常的失誤及糾正失誤的思維技能；“參謀”��提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學生做出決斷；“詢問者”��故作不知，問原因，找漏洞，督促學生完成進度；“仲裁者”��評判學生工作及成果的價值、意義，鼓勵學生有創(chuàng)造性的想法和作法。教師按這樣的不同角色的組織教學，就可以真正做到把教和學融為一體。
3、它是由他律向自律方向方向發(fā)展教學模式
學生的自學能力、探索精神、創(chuàng)新總識、解決實際問題的能力的形成需要一個由量變到質(zhì)變的積累過程，而這個過程正是把教師的外部控制轉(zhuǎn)變成學生的自我控制的過程，也就是由他律向自律轉(zhuǎn)變的過程。“導學探索、自主解決”的“導學”是為學生提供一種學習的“模本”或“示范”，是學生完成自學的體驗和準備。而學生在“導學”啟示下進行探索，學會自學，掌握學習過程和自主解決問題的方法，使嚳一接受成功與挫折的體驗，這增強學生學好的自信心，培養(yǎng)意志品質(zhì)、交往能力都是十分有益的，進而使學生學會“求知”，學會“做人”，學會“合作”，學會“生存”，為“可持續(xù)發(fā)展”和“終生教育”打下良好基礎(chǔ)。這正是“導學”的最終目標，也是這種教學模式的目標和歸宿。
以激勵學習為特征，以學生為中心的“導學探索、自主解決”教學模式，較好地突破了單純傳授知識的傳統(tǒng)教學模式，深化了課堂教學的改革，提高了課堂教學效益，使學生的自主學習、獨立思考、個性特長及創(chuàng)新能力等方面得到提高發(fā)展。這種教學方法，為重點中學適應新形勢要求，全面實施素質(zhì)教育，為培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才打下良好基礎(chǔ)，提供了一種可操作的教學實踐模式。
三、“導學探索、自主解決”教學模式給我們的啟示
1、教師轉(zhuǎn)變教育思想和觀念是提出和實踐這種教學模式的基礎(chǔ)
張思明之所以在多年高中數(shù)學教學的基礎(chǔ)上提出和實踐這種教學模式，是由于他在教學實踐中認識到，傳統(tǒng)的教學模式把重點放在培養(yǎng)學生的認知能力上，甚至有的還把學生當成“知識容器”，認為教學過程就是從教師這個“缸”里把知識一瓢一瓢地裝在學生“桶”中。這種模式是難以培養(yǎng)出具有個性特長和創(chuàng)造精神、創(chuàng)新能力的人才來的。他認為數(shù)學是“做”出來的，不是“教”出來的。一個學生只在課堂上“聽”課，沒有活動，沒有“做”，就不能形成真正的學習。他還認為，數(shù)學教學過程必須重視讓學生親身感受，動手操作，動口交流。在教師的指導下，學生有目標的探索和高度自主解決問題的過程，正是形成學生良好認識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。所以他提出數(shù)學教學的目標不僅僅局限于發(fā)展學生的認知能力，而更關(guān)注學生作為“社會中人”的發(fā)展，特別是學生個性和創(chuàng)造力的發(fā)展。他說：“數(shù)學教學不再是教師單純地為學生的付出，而教師創(chuàng)造性生活一部分。數(shù)學教學的過程是師生雙方實現(xiàn)自己生命價值和自身發(fā)展的舞臺。”正是在這種全新教育思想和觀念的指導下，張思明才逐步總結(jié)并提出了“導學探索、自主解決”的教學模式。同樣，要實踐這種教學模式，也要求必須建立起新的、符合時代要求的教育思想和觀念。
2、教師的高素質(zhì)和高能力是提出和實踐這種教學模式的重要條件
“導學探索、自主解決”教學模式最終的目標是培養(yǎng)高素質(zhì)和高能力的學生，為培養(yǎng)創(chuàng)新人才打下良好的基礎(chǔ)。這種高目標勢必要求教師也應具有高素質(zhì)和高能力。張思明本人從一個晉通高中畢業(yè)生，通過艱苦的自學成才之路，成長為一名在教育、教學上都作出突出成績的優(yōu)秀教師，無論是業(yè)務功底，獨立思考、創(chuàng)造思維能力及敬業(yè)奉獻精神都達到校的程度。正是這種切身的體驗和感受，這種自身對高素質(zhì)和高能力的追求，才使他可能提出這種新的教學模式。正如張思明所說：“只有教師的創(chuàng)造力，才可能激發(fā)學生的創(chuàng)造欲；只有教師自己不斷學習，自主地鉆研探索教學規(guī)律，才有可能影響學生自主的學習和鉆研；只有在充滿生命力與和諧氣氛的教學環(huán)境中，師生共同參與，相互作用，才能摩擦出智慧的火花，結(jié)出創(chuàng)造之果。”同樣，要實踐這種教學模式，其重要條件是教師必須對自己的素質(zhì)和能力方面有高的要求，并達到高的境界。
3、學校領(lǐng)導要為推廣和完善這種教學模式創(chuàng)造良好環(huán)境
“導學探索、自主解決”教學實踐模式要求高、難度大，要真正推廣和進一步完善，不僅需要廣大教師轉(zhuǎn)變教育思想和觀念，而且要求教師本身具有高的素質(zhì)和能力，這樣勢必帶來困難。作為學校領(lǐng)導，要高瞻遠矚，從迎接二十一世紀挑戰(zhàn)的培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才高度來認識這種模式的重要意義，需要果斷地采取有效措施來支持、推廣和進一步完善這種及其他教學模式，為這種或其他教學模式的推廣創(chuàng)造良好的空間的環(huán)境。這里特別需要提到的是，在實踐這種教學模式過程中，由于學生、教師及其他條件的原因，可能一時出現(xiàn)這樣或那樣的問題時，作為學校領(lǐng)導，一定要以一種積極的態(tài)度對待。在實踐這種模式時，對于某些教師暫時存在的“怕影響學習成績”、“怕達不到要求”等，也要正確引導，由點到面達逐步擴展。推廣這種教學模式過程，實際上就是深化教學改革的過程。在這主面，學校領(lǐng)導投入較大精力是值得的。
專題訓練（十二）
題號
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答案
1．函數(shù) 的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)直線 ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)是函數(shù)f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果雙曲線上一點P到右焦點的距離為, 那么點P到右準線的距離是（ ）
A． B．13 C．5 D．
5．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當A、B C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務等情況，記這項調(diào)查為②.則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為 （ ）
A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法
C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法
7．若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是（ ）
A． B． C．（0，1） D．
8．已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（ ）
A． B． C．16，0 D．4，0
9．若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f /(x)的圖象是（ ）
10．從正方體的八個頂點中任取三個點作為三角形，直角三角形的個數(shù)為（ ）
A．56 B．52 C．48 D．40
11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元), 預計該地區(qū)自2004年起的5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元
C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
12．設(shè)集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么點P（2，3）的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
專題訓練(十一)
題號
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答案
1．若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 則（ ）
(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2}
2．直線y=2與直線x+y―2=0的夾角是（ ）
(A) (B) (C) (D)
３．已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列, 則=（ ）
(A) ?4 (B) ?6 (C) ?8 (D) ?10
４．已知向量且∥，則=
(A) (B) (C) (D)
５．點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為（ ）
(A)（ (B)（ (C)（ (D)（
６．曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是（ ）
(A)y2=8-4x (B)y2=4x-8 (C)y2=16-4x (D)y2=4x-16
７．若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是（ ）
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12
８．“”“A=30º”的（ ）
(A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件
９．若函數(shù)的定義域和值域
都是[0，1]，則a=（ ）
(A) (B) (C) (D)2
10．如圖，在正三棱柱ABC―A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則=
(A) (B) (C) (D)
11．橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被點（，0）分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為 （ ）
(A) (B) (C) (D)
12．若和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
專題訓練（九）
題號
1
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答案
1．設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，則M∩（CU N）=（ ）
A．{5} B．{0，3} C．{0，2，3，5} D． {0，1，3，4，5}
2．函數(shù)的反函數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
3．正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
4． 函數(shù)在處的導數(shù)等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移3個單位長度 B．向右平移3個單位長度
C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度
6．等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前20項和等于
A．160 B．180 C．200 D．220
7．已知函數(shù)的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知圓C的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（ ）
A．210種 B．420種 C．630種 D．840種
10．函數(shù)的最小值等于（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．－
11．已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=BC=2，則球心到平面ABC的距離為（ ）
A．1 B． C． D．2
12．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=（ ）
A． B． C． D．
題號
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12
答案
1、設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、函數(shù)的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3、記函數(shù)的反函數(shù)為，則（ ）
A． 2 B． C． 3 D．
4、等比數(shù)列中， ，則的前4項和為（ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
5、圓在點處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
6、展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． 15 B． C． 20 D．
7、若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，則角A的取值范圍是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，p ）
8、設(shè)雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則雙曲線的離心率（ ）
A． 5 B． C． D．
9、不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
10、正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11、在中，，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
12、4名教師分配到3所中學任教，每所中學至少1名教師，則不同的分配方案共有（ ）
A． 12 種 B． 24 種 C 36 種 D． 48 種
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