中學生物教學走出低谷的有效舉措―看綜合理科的實施
從教材情況看
新中國成立以來，多次教育改革的嘗試，均未觸及初中理科以分科方式進行教學的體系。現在浙江省初中教材采用綜合理科形式的自然科學課程取代物理、化學、生物、自然、地理等分科課程，無疑是我國初中理科教育迄今為止最為重大的改革。許多心理學家認為不同學科之間的概念、法則之間存在著遷移，尤其是鄰近的學科。因此，把自然科學各分支學科綜合在一起，有利于學生對這些概念、原理和法則的理解和掌握。從教育學觀點看，把自然科學的共同原理和方法分散到各門學科中講授，既不利于教師的教，也不利于學生的學。由于各門學科不可避免地會產生重復，不僅增加了學生的學習負擔，還容易給學生造成一種錯誤認識，以為這些知識只適合于某一門學科的范圍。綜合理科可有效地避免這種傾向。
我省綜合理科――《自然科學》教材無論是內容，還是形式上，都具有突破性進展。教材以“人與自然”作為中心概念，以“人類認識自然，認識自身，利用自然，改造自然，保護自然，保護自身”作為認識展開的線索，來構建學科知識體系。教材注重思想教育和德育滲透，無疑是當今教書育人的最好教材。同時，還充分體現培養學生科學的技能方法和態度。
與舊教材相比，《自然科學》課本版面設計科學得體，文字簡潔明了，插圖色彩亮麗，圖文并茂，并在多處以圖代文或用圖設疑，只問不答，給學生以無限思維的余地。課后設計“閱讀材料”、“探索與研究”等輔助欄目，滿足不同層次學生的求知欲。整套教材中生物學知識比例不小。第六冊還有A、B兩種版本，對初三學生進行分流教學，注重面向全體學生，充分體現出注重素質的教育。
《自然科學》被有識之士稱為“有見地、有膽量”的產物，編者被贊為“了不起”的人。
從學生角度看
中學生物教學處于低谷的主要原因是廣大中學生為了升學，只能跟著高考指揮棒轉，并非學生不喜愛生物學，而是因為取消了考試使他們的學習積極性受到打擊。講究實惠，又使他們不得不把精力花在考試的主要科目上，不能在生物學上花費時間和精力。
我們實施綜合理科――《自然科學》以來，發現教材符合初中學生的心理、生理特點，其知識深度、廣度、難易適中，負擔合理，學生學習興趣盎然。例如，第一冊第一章豐富多彩的自然界，4幅彩圖加上優美的文字，學生學習興趣油然而生。相對而言，學生對動物學內容更感興趣。如第三章動物世界，學生們學習熱情高漲。特別是做魚鰭功能實驗時，課堂氣氛活躍非凡。又如，第二冊人的青春期發育的生理學知識，95%的學生認為非學不可，因為他們體會能學以致用，有利于自己身心健康。
另外，《自然科學》配套的音像教材，內容豐富，形式多樣，更令學生們喜愛。從學生反饋信息中得知，最喜歡《自然科學》的學生人數占76%。
從教師角度看
《自然科學》在浙江全省實施，擺在教師面前的任務是重新學習，自我完善。生物教師除了從生物學老教材框架中擺脫出來之外，還得學習新教材中有關物理、化學等方面的內容。生物教師的地位不僅沒有降低，相對而言，因《自然科學》在初中升高中的升學考試中占150分反而有所提高。
生物教師每天忙于鉆研教材，相互聽課，取人之長，補己之短；思考如何上好實驗課，培養學生各種能力；思考如何運用電教設備，增強課堂教學效果；思考如何正確使用新教材，把握教學目標；如何摸索一套新教法。教研氣氛濃郁，生物教師人心空前穩定。
綜上所述，綜合理科――《自然科學》的實施是中學生物教學走出低谷的有效舉措。然而，一花獨放不是春，萬紫千紅才是春。我衷心希望綜合理科能在全國全面鋪開，我們全體生物教師將以嶄新的姿態去迎接光輝燦爛的21世紀――生命科學世紀的到來！
重視實驗教學培養學生能力
在實施素質教育的今天，教育的目的不僅是傳授學生知識，更主要的是培養學生的素質和能力。即不僅要學生知道是什么，而且要知道為什么，更重要的是知道怎么做；不僅要使學生學會已有知識，而且要學會動手動腦收集、加工知識，學會自我增長知識和生產知識。生物學是以實驗為基礎的自然科學，實驗是培養學生這方面能力的十分重要的途徑，因此，應重視生物學中的實驗教學。
1培養學生積極參與的意識
在以往的學生實驗中，實驗材料、試劑都是書本上指定的，課前由教師準備好的。實驗時，學生完全按規定的步驟進行。在這過程中，學生完全成了不用思考的機械操作者，甚至到結束都沒留下完整的印象。這種教學沒有給學生留下積極思維的空間和余地，也不允許他們有任何意義上的標新立異，抑制了學生的主動性和思考的獨立性。而現代教育就是要引導學生積極參與。因此，教師可結合具體實驗，教會學生一些基本的實驗研究方法，然后讓他們自己去主動查找資料，弄清實驗原理，選擇合適的實驗材料和實驗方法。這樣，就可使學生加深對實驗全過程的認識，提高實驗課的效率，也可培養他們的興趣和特長。例如高中生物必修課本中有好幾個實驗都要用到洋蔥根，這樣洋蔥根的培養就可由學生自己來完成。除了按書上的方法培養外，也可嘗試其它的培養方法，如“沙培法”等。在這過程中，學生能體會到培養洋蔥根過程中應注意哪些問題。又如，在做“滲透作用”這一實驗前，“半透膜”的材料也可由學生自己尋找。課本上用的是動物膀胱膜，要大量獲得膀胱膜并不十分容易。那么，能否采用其他材料作半透膜呢？這時，有人可能會想到用雞蛋膜、玻璃紙或魚嫖等，那么不妨把這些材料都找出來，逐個試驗，結果會發現雞蛋膜和魚鰾是較為理想的實驗材料。這樣不僅可使學生獲得某種程度上的成就感，也培養了學生的動手能力。
2讓驗證性實驗上升為探索性實驗
教育家布魯納指出，教學不應該“奉送真理”，而應該“教人發現真理”。傳統的生物實驗只是驗證課本上的知識，學生在整個教學過程中處于從屬的、被動的地位，他們關注的是實驗結果，而對實驗的理論背景和實驗設計的方法不加思索。這種重結果輕過程，重接受輕參與的做法不利于能力的培養。因此，在實驗過程中，要有意識地培養他們的逆向思維能力，鼓勵他們大膽設想，讓驗證性實驗上升為探索性實驗，并且要為他們創造條件，去探索、實施他們想要做的實驗，把注意力從注重實驗結果轉移到實驗方案的設計思路及方案的優缺點及改進方法等方面上來，從而培養他們的觀察、思維及創造能力。有時，有的學生可能會“異想天開”。此時，教師應倍加關注那些愛標新立異的學生，充分挖掘其“異想天開”中的合理因素，使他們敢想敢說。就象蘇霍姆林斯基講的要像對待荷葉上露珠一樣去呵護學生幼小的創造的心靈。例如“觀察植物細胞質壁分離和復原”這一實驗，課本上要求用30％的蔗糖溶液，可能會有學生提出可不可以改用不同濃度的蔗糖溶液或同濃度的其他溶液（如KC130％）來替代？如果有了這樣的疑問，就要鼓勵他們通過實驗來解答，同時學生也會自然而然聯想到同種方法來測定植物細胞液的濃度。如果學生有興趣的話，就要鼓勵他們試一一試。通過這一探索過程，一方面滿足了學生的好奇心和求知欲，另一方面也培養了學生的主體意識和科學思維的能力。
3培養學生收集和處理生物學信息的能力
有時，實驗不一定會取得令人滿意的結果。此時，要鼓勵學生通過討論、分析實驗中出現的現象，并通過思考找出解決問題的方法。例如“葉綠體中色素的提取和分離”這一實驗，有同學就有可能得不到清晰的四條色素帶，那么就要分析是丙酮加得太多？還是研磨不充分？或是濾液細線劃得太細等問題。這樣一來，雖然沒有得到滿意的實驗結果，但對知識的引用能力和領悟能力卻得到了發展，同時也培養了自己綜合處理生物學信息的能力。
4培養學生設計簡單實驗方案的能力
在教學中，教師要精心設置情境，鼓勵學生設計簡單的實驗方案，這有助于培養學生的探究能力和思維能力。在學生掌握了一定的生物學知識后，可讓他們親自設計實驗。例如在了解酶的特性后，可設計實驗驗證酶的活性受哪些因素影響及測定唾液淀粉酶分解淀粉需多少時間。在學習了“生長素的生理作用”后，可設計能使植物彎向一側生長的實驗方案（不包括人工修剪和使用藥劑）。利用書本知識結合實際，可設計實驗檢測附近的河水污染及空氣污染情況等，在實驗條件許可的情況下，都可讓他們去試一試。學生自己設計實驗和按書用做的感覺和效果是不太一樣的，通過這些過程，既能培養他們獨立且科學地思考問題的能力，又能培養他們觀察、實驗、思維、自學等能力，從而提高學生的科學素質。
初論數學思想的教學功能
中學數學教學過程，實質上是運用各種教學理論進行數學知識教學的過程。在這個過程中，必然要涉及數學思想的問題。因為數學思想是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓，它對數學教育具有決定性的指導意義。本文對這個概念的意義及在教學中的作用作一探討。希望能再引起廣大數學教育工作者的關注。
一、對中學數學思想的基本認識
“數學思想”作為數學課程論的一個重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關于這個概念的內涵，我們認為：數學思想是人們對數學科學研究的本質及規律的理性認識。這種認識的主體是人類歷史上過去、現在以及將來有名與無名的數學家；而認識的客體，則包括數學科學的對象及其特性，研究途徑與方法的特點，研究成就的精神文化價值及對物質世界的實際作用，內部各種成果或結論之間的互相關聯和相互支持的關系等。可見，這些思想是歷代與當代數學家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學材料之中，有著豐富的內容。
通常認為數學思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數學活動經驗通過概括而獲得的認識成果。既然是認識就會有不同的見解，不同的看法。實際上也確實如此，例如，有人認為中學數學教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認為以函數思想貫穿中學數學內容更有利于提高數學教學效果，還有人認為中學數學內容應運用數學結構思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學材料的基礎上來論述數學思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學數學教材中起到積極的促進作用的。
關于這個概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數學觀(數學的起源與發展、數學的本能和特征、數學與現實世界的關系)，數學在科學中的文化地位，數學方法的認識論、方法論價值等；屬于中觀的，有關于數學內部各個部門之間的分流的原因與結果，各個分支發展過程中積淀下來的內容上的對立與統一的相克相生的關系等；屬于微觀結構的，則包含著對各個分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，包括對所創立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。
從質的方面說，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態認識與動態認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數學思想的特性和作用
數學思想是在數學的發展史上形成和發展的，它是人類對數學及其研究對象，對數學知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數學方法的本質性的認識。它表現在對數學對象的開拓之中，表現在對數學概念、命題和數學模型的分析與概括之中，還表現在新的數學方法的產生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數學思想凝聚成數學概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學模型和數學結構，從而構成數學的知識系統與結構。在這個系統與結構中，數學思想起著統帥的作用。
(二)數學思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學思想，是從眾多的具體的個性中抽取出來且對個性具有普遍指導意義的共性。它比某個具體的數學問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現實生活中普遍存在的運動和變化、相輔相成、對立統一等“事實”，都可作為數學思想進行哲學概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學的世界觀和方法論。
(三)數學思想富有創造性
借助于分析與歸納、類比與聯想、猜想與驗證等手段，可以使本來較抽象的結構獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉化成極具規律的數學模型。從而將一種關系結構變成或映射成另一種關系結構，又可反演回來，于是復雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉化成一筆畫問題，便是典型的一例。當時，數學家們在作這些探討時是很難的，是零零碎碎的，有時為了一個模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會到創造的艱辛，發展頑強奮戰的個性，培養創造的精神。
三、數學思想的教學功能
我國《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數學的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想和方法”。根據這一要求，在中學數學教學中必須大力加強對數學思想和方法的教學與研究。
(一)數學思想是教材體系的靈魂?
從教材的構成體系來看，整個初中數學教材所涉及的數學知識點匯成了數學結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點構成的易于被發現的“明河流”，它是構成數學教材的“骨架”；另一條是由數學思想方法構成的具有潛在價值的“暗河流”，它是構成數學教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學思想作靈魂，各種具體的數學知識點才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學思想能將“游離”狀態的知識點(塊)凝結成優化的知識結構，有了它，數學概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個有機的整體。可見，數學思想是數學的內在形式，是學生獲得數學知識、發展思維能力的動力和工具。教師在教學中如能抓住數學思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進行再創造，才能使教學見效快，收益大。
(二)數學思想是我們進行教學設計的指導思想
筆者認為，數學課堂教學設計應分三個層次進行，這便是宏觀設計、微觀設計和情境設計。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發展真理性認識的數學活動過程中去。這種設計不能只是數學認識過程中的“還原”，一定要有數學思想的飛躍和創造。這就是說，一個好的教學設計，應當是歷史上數學思想發生、發展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數概念，便是概括了變量之間關系的簡縮，也應當是滲透現代數學思想、使用現代手段實現的新的認識過程。又如高中階段的函數概念，便滲透了集合關系的思想，還可以是在現實數學基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進行預測和創造，而要順利地完成這一任務，必須依靠數學思想作為指導。有了深刻的數學思想作指導，才能做出智慧熠爍的創新設計來，才能引發起學生的創造性的思維活動來。這樣的教學設計，才能適應瞬息萬變的技術革命的要求。靠一貫如此設計的課堂教學培養出來的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數學思想是課堂教學質量的重要保證
數學思想性高的教學設計，是高質量進行教學的基本保證。在數學課堂教學中，教師面對的是幾十個學生，這幾十個智慧的頭腦會提出各種各樣的問題。隨著新技術手段的現代化，學生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學生所提的問題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時地運用類比聯想，給出生動的陳述，把抽象的問題形象化，復雜的問題簡單化；才能敏銳地發現學生的思想火花，找到閃光點并及時加以提煉升華，鼓勵學生大膽地進行創造，把眾多學生牢牢地吸引住，并能積極主動地參與到教學活動中來，真正成為教學過程的主體；也才能使有一定思想的教學設計，真正變成高質量的數學教學活動過程。
有人把數學課堂教學質量理解為學生思維活動的質和量，就是學生知識結構，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個方面來衡量一堂數學課的教學效果。“新”指學生的思維活動要有新意，“高”指學生通過學習能形成一定高度的數學思想，“深”則指學生參與到教學活動的程度。
有思想深度的課，能給學生留下長久的思想激動和對知識的深刻理解，在以后的學習和工作中，他們可能把具體的數學知識忘了，但數學地思考問題的方法將永存。我們進行數學教學的根本目的，是通過數學知識和觀念的培養，通過一些數學思想的傳授，要讓學生形成一種“數學頭腦”，使他們在觀察問題和提出問題、解決問題的每一個過程中，都帶有鮮明的“數學色彩”，這樣的數學一定會有真正的實效和長效，真正提高人的素質。
數學課堂教學是教師“主體表演”的過程，是語言、動作、板書演示、語言交流、情感交流等融于一體的過程。在這種過程中，往往既能反映出教師專業基礎知識的情況，又能反映出教師對教學理論的掌握情況，同時還可反映出教師的數學思想的有關情況。實踐證明，在數學教學中，數學思想、方法已經越來越多地得到人們的重視，特別是在數學教學中，如何使學生較快地理解和掌握數學思想、方法，更是我們廣大中學數學教師所關心的問題。
初中生數學學習分化的原因及教學對策
初中階段學生數學學習成績兩極分化呈現出比小學階段更嚴重的趨勢，后進生聽占的比例較大，特別在初中二年級表現得尤為明顯。這種狀況直接影響著大面積提高數學教學質量。那么，造成兩極分化比較嚴重的原因是什么？如何預防嚴重分化？本文結合自己的教學實踐作一些粗淺的探討。
一、造成分化的原因
（一）缺乏學習數學的興趣和學習意志薄弱是造成分化的主要內在心理因素。
對于初中學生來說，學習的積極性主要取決于學習興趣和克服學習困難的毅力。筆者對四處初中的抽樣調查表明，284名被調查學生中，對學習數學有興趣的占51％，其中有直接興趣的47人，占15％；有間接興趣的85人，占30％；原來不感興趣，后因更換老師等原因而產主興趣的17人，占6％；對數學不感興趣或興趣軟弱的占49％，其中直接不感興趣的20人，占7％，原來有興趣，后來興趣減退的118人，占42％。調查中還發現，學習數學興趣比較淡薄的學生數學學習成績也比較差，學習成績與學習興趣有著密切的聯系。
學習意志是為了實現學習目標而努力克服困難的心理活動，是學習能動性的重要體現。學習活動總是與不斷克服學習困難相聯系的，與小學階段的學習相比，初中數學難度加深，教學方式的變化也比較大，教師輔導減少，學生學習的獨立性增強。在中小銜接過程中有的學生適應性強，有的學生適應性差，表現出學習情感脆弱、意志不夠堅強，在學習中，一遇到困難和挫折就退縮，甚至喪失信心，導致學習成績下降。
（二）掌握知識、技能不系統，沒有形成較好的數學認知結構，不能為連續學習提供必要的認知基礎。
相比小學數學而言，初中數學教材結構的邏輯性、系統性更強。首先表現在教材知識的銜接上，前面所學的知識往往是后邊學習的基礎；其次還表現在掌握數學知識的技能技巧上，新的技能技巧形成都必須借助于已有的技能技巧。因此，如果學生對前面所學的內容達不到規定的要求，不能及時掌握知識，形成技能，就造成了連續學習過程中的薄弱環節，跟不上集體學習的進程，導致學習分化。
（三）思維方式和學習方法不適應數學學習要求。
初二階段是數學學習分化最明顯的階段。一個重要原因是初中階段數學課程對學生抽象邏輯思維能力要求有了明顯提高。而初二學生正處于由直觀形象思維為主向以抽象邏輯思維為主過渡的又一個關鍵期，沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式，而且學生個體差異也比較大，有的抽象邏輯思維能力發展快一些，有的則慢一些，因此表現出數學學習接受能力的差異。除了年齡特征因素以外，更重要的是教師沒有很好地根據學生的實際和教學要求去組織教學活動，指導學生掌握有效的學習方法，促進學生抽象邏輯思維的發展，提高學習能力和學習適應性。
二、減少學習分化的教學對策
（一）培養學生學習數學的興趣
興趣是推動學生學習的動力，學生如果能在學習數學中產生興趣，就會形成較強的求知欲，就能積極主動地學習。培養學生數學學習興趣的途徑很多，如讓學生積極參與教學活動，并讓其體驗到成功的愉悅；創設一個適度的學習競賽環境；發揮趣味數學的作用；提高教師自身的教學藝術等等。
（二）教會學生學習
有一部分后進生在數學上費工夫不少，但學習成績總不理想，這是學習不適應性的重要表現之一。教師要加強對學生的學習指導，一方面要有意識地培養學生正確的數學學習觀念；另一方面是在教學過程中加強學法指導和學習心理輔導。
（三）在數學教學過程中加強抽象邏輯思維的訓練和培養。
要針對后進生抽象邏輯思維能力不適應數學學習的問題，從初一代數教學開始就加強抽象邏輯能力訓練，始終把教學過程設計成學生在教師指導下主動探求知識的過程。這樣學生不僅學會了知識，還學到了數學的基本思想和基本方法，培養了學生邏輯思維能力，為進一步學習奠定較好的基礎。
（四）建立和諧的師生關系
心理學認為，人的情感與認識過程是相聯系的，任何認識過程都伴隨著情感。初中生對某一學科的學習興趣與學習情感密不可分，他們往往不是從理性上認為某學科重要而去學好它，常常因為不喜歡某課
從函角度看某些方程、不等式的解
中學數學里的方程、不等式與函數間的聯系是雙向的：一方面函數的整體性認識要得到議程、不等式以指導。但就目前教材的安排以及其中的例題與習題的配備來看，這后一方面的聯系，顯得不足。下面就本人對高一教材所做過的補充和延伸，舉例談談關于某些方程、不等式的解，可以從六個方面考慮。
一 從函數定義域考慮
例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1
解 設f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,則f(x)的定義域取決于
下面不等式組的解：
二 從函數值域考慮
例2 解方程
(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2= 4-2x2+x4.
解 設f(x)= (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2
g(x)= 4-2x2+x4
因為f(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5；
g(x)= 5-（x2-1）2+x4≤5。
僅當x-1=x3-1=x2-1=0時, f (x)= + g(x)，從而推出原方程的解為x=1。
例3 解方
x+1/x=sinx+31/33cosx.
解 令=x+1/x,
g(x)=sinx+31/3cosx
易證:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|≥2;
|g(x)|=| 2sina(x+π/3|≤2
但是當|f(±1)|=2時,但是當| g (±1)|≠2時.所以原方程沒有解.
三 結合函數定義域、值域考慮
例4 解方程
（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4
解 令f(x)= （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2,
g(x)= 2x-4.
∵f(x)≥0,∴g(x)= 2x-4≥0.于是x≥2.
又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;
2x2-x-6=(x-2)(2x+3)≥0
所以, f(x)、g(x)的定義域是x≥2。在此條件下原方程又可化
為：
(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解為下列方二程
之解：
x-2=0； （1）
(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2 (2)
解（1）得x=2；而（2）沒有解，事實上，將（2）式移項得
(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到
(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2
當x≥2時，上式左邊函數值為正，右邊的函數值為負。得出矛盾。
經檢驗原方程僅有一解x=2。
四 結合函數性質考慮
例5 解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2
解 設f(x)= (2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它們共
同的定義域里，f(x)嚴格遞增，g(x)嚴格遞減且原方程與方程f(x)=- g(x)同解.顯然 f(1)=g(1),并且x>/時,時,f(x)>f(1)=g(1)>g(x);
x<1時,f(x) 這就是說f(x)=g(x)僅有一解`x=1.
例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.
解 設不等式左邊為f(x),不難確定其定義域是[-1/2,0)∪
(0,1/2].當02)1/2],容易看出,它的分子不超過2,分母總是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1/2]
五 結合函數的幾何意義考慮
例7 解方程
[x+3-4(x-1)1/2]1/2+[x+8-6(x-1)1/2]1/2=1
解原方x-1)程可變形為
{[( 1/2-2]2}1/2+{[(x-1)1/2-3]2}1/2=1
令 (x-1)1/2=u,則有
│u-2│+錯誤！鏈接無效。=1。
這個不等式的幾何意義是；在u軸上，點u到點2與點頭的距離
之和等于1。
不難得到2≤u≤3,即2≤(x-1)1/2≤3從而解得5≤x≤10
例8 求證:妝a (x-b)(x-d)=0必有實根.
證 令f(x)=(x-a)(x-c)+λ(x-b)(x-d),從幾何意義考慮,本題
要討論對任何實數λ,函數f(x)的圖象與x輕于某一點;
(2)當λ>-1時,
f(x)=(1+λ)x2-[(a+c)+λ(b+d)]x-(ac+λbd),因為這時(1+λ)
>0,所以f(x)代表了一個開口向上的拋物線.倘能說明函數f(x)的圖象在x軸下方有點,再據二次函數圖象的性質:連續向上無限伸展,可知它的圖象必與x軸有二交點.事實上,由f(b)= (b-a)(b-c+)λ(b-b)(b-d)<(b-c)<0可知點(b,f(b))在x軸下方:
(3) λ<-1時,拋物線f(x)這時開口向下,又f(c)=λ(c-b)(c-d)>0,可知點(c,f(c))在x軸上方,因此,拋物線f(x)必與x軸有二個交點.
綜上所述,得知原題結論成立.
六 結合函數與反函數考慮
例9 解方程組
y=10x (1)
y-1ga=-(x-a) (2)
解 將(1)看作是指數函數的圖象;而(2)的幾何解釋是一條斜率
等于-1的直線.不難證明這條直線垂直于直線y=x,并經過y=1gx圖象上一點(a,1ga)。解此方程組就是求曲線(1)與直線(2)的交點。
因為y=10x與y=1ogx互為相反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱。而直線（2）又與對稱軸相垂，根據平面幾何對稱的知識，曲線（1）與直線（2）的交點，必是點（a,1ga）關于直線y=x為對稱的點，所以這點坐標為（1ga，a）。于是原方程的解是x=1ga.y=a
實踐表明，補充一些從函數整體性認識出發，兼顧到方程和不等式各部分間關系的練習，對于鞏固并加深函數性質的認訓，對于提高解方程、解不等式的能力都有較好的效果。
對現行高中數學教材中幾個問題的探討
隨著教育體制改革的逐步深入，我國在教材建設方面形成了自己的特色，從新中國成立時的“學蘇聯”，到文革期間與“生產勞動相結合”而各省市自編教材，幾經風雨，到現在已形成了自己的特色，這是值得肯定的。然而一個不容忽視的問題是，現行教材中還存在不少問題。本文以現行高中數學教材為例提出一些問題，供教材研究專家及教材編寫者參考。
問題之一：代數與幾何內容不同步。
為普及九年制義務教育及減輕學生的學習負擔，近年來對中學數學教材作了一些刪減，并調整了一些內容的順序，例如，將以前在初中的二次函數及一元二次不等式放到了高中代數第一章《集合 冪函數 指數函數和對數函數》中，而將以前在初三代數中的《解斜三角形》移到了高中代數第三章中。而另一個被教材編寫者忽視了的問題是代數與幾何在內容上不同步，例如將《解斜三角形》放到代數第三章第二大節后，學生要在高一第二學期期末前夕才第一次學習到《正弦定理和余弦定理》，而作為余弦定理在立幾中的一個應用――關于求異面直線上兩點間的距離公式，即推導異面直線上兩點間的距離公式時，在高一第一學期中段考后不久便用到余弦定理（見《立體幾何》教材P44），學生在立體幾何中用到余弦定理時也只是“在三角形AFG中，FG2=m2+n2―2mncosθ”，而無任何說明，學生第一次接觸余弦定理，根本不知道余弦定理及其內容，更不用說運用了。因而筆者認為，仍可將解斜三角形的內容放在初中或放到高一代數第一章中，此外還可考慮是否可以將其放到高中代數第二章的三角函數中，或者是為降低立體幾何的難度，可否刪去立體幾何教材中P44的例子。
問題之二：將立體幾何與解析幾何對調對教學更有利。
高一學生學立體幾何，高二學生學解析幾何，成為人們的常識，然而據筆者對高中師生的調查及自己多年的教學實踐可知，在高一學習解析幾何，高二學習立體幾何對教學更有利。原因是，高一代數一開始便是集合與函數，而解析幾何的一大特征便是數形結合，即在坐標系中研究幾何問題（平面解析幾何主要研究平面坐標系內的直線及曲線的性質），顯然，函數內容與解析幾何知識更能迅速地找到結合點，有利于教學及學生對知識的理解和掌握。而立體幾何的一大特征便是空間感強，抽象思維要求高，然而高一新生在這一點上表現為薄弱環節。高一學生學立體幾何，一開始便打擊了學生學習的積極性，使很多學生對數學產生厭倦情緒。就算在高一學過立體幾何后，經過一年的時間，在高三高考前有立體幾何復習時，學生和教師都有上新課的感覺，學生在高二時將立體幾何幾乎全忘記了。筆者調查過一些高中數學教師，都肯定了這一點，即高三給學生復習立體幾何時學生的反應和上新課一樣。筆者在教學中作過這樣的嘗試，高一學習解析幾何，高二學習立體幾何，收到了較好的效果，即在高三復習解析幾何及立體幾何學生和教師都輕松很多，完全沒有上新課之感，而且學生經過高一代數及解析幾何的學習，有助于學生空間概念的形成。
問題之三：現行教材的編排與高考嚴重脫節。
一個眾所周知的事實是，數學高考試卷第一卷選擇題達54分之多，超過全卷的三分之一，填空題占15分，占全卷的十分之一，兩者共69分，占全卷的46%。與此形成的反差是，教材中的例題、練習、習題及復習參考題中沒有一道試題是選擇題，也基本上沒有填空題，最多只是填一點圖表，也是微乎其微的。當然，可能有人會說，教材并不是專為應付高考，只要理解教材中的內容便會解高考題中的選擇題及填空題，然而事實并非如此簡單。在高考仍然作為指揮棒指揮著高中教學（不管人們口頭上是否承認這一點）的情況下，這種教材編排方式給師生造成極大的額外負擔，從而也進一步導致其他各種教學資料的泛濫：高考考選擇題及填空題，而教材中沒有選擇題和填空題，師生好求助于其他資料。很多既有教學經驗，教學又有成效的數學教師都對我說過同樣的話：“數學教師備課便是在重新編寫數學教材，因為現行教材根本無法和高考對號”。全國無數的高中數學教師都在做這項工作，可見對教師精力和時間的浪費。因此，筆者建議在高中數學教材的例習題及復習參考題中，可適量地增加一些選擇題和填空題，使教材建設能盡快地與高考要求接軌，從而減輕師生的額外負擔和一些無效的重復勞動。
筆者對現行高中數學教材提出了以上三個問題，這些問題正確與否，有待專家的進一步的研究與試驗。筆者撰寫此文的目的，意在引起更多的專家學者對教材建設的關注。
高中數學分層教學的實踐與體會
1． 問題的提出
隨著素質教育的實施，培養全面發展的合格人才的呼聲越來越高。中學教育是基礎教育，中學階段所學的知識也屬于基礎知識，因此，要求學生掌握中學階段的內容顯得極為重要。在我國現有的國情下，既要實施素質教育，同時又不能回避學生的升學問題，這是擺在廣大教育工作者面前的一個尖銳的矛盾。在高中數學學習中，兩級分化的問題極為突出，要改變這種狀況，因材施教顯得極為必要。然而，因材施教一直是一個喊得很時髦的口號，鑒于各種主觀及客觀的原因，不少教師的因材施教只是停留在口頭上，并沒有落到實處。對學生進行分層教學，是使全體學生共同進步的一個有效措施，也是使因材施教落到實處的一種有效的方式。
2． 分層教學的實施
根據學生的個性差異及接受能力不同的特點，筆者近年來在教學中采用了分層教學的教改實驗，收到了較好的教學效果。要對學生進行分層教學，必須做好以下幾個方面的工作。
2.1對學生進行分組
要對學生進行分層教學，教師首先必須對每個學生的學習現狀了然于胸，這樣才能在教學中有的放矢。我在接手一個新班的時候，便用一套難易適中的題目對所教班級進行測驗，然后按照學生的測驗成績將各班的學生按照學習成績分為A、B、C三個學習小組，其中A組為最基礎的小組，B組為中等成績組，C組為成績優秀組。為保護學生的自尊心，在分組的過程中一定要避免使用差生這樣的詞語，我在分組時便是這樣對學生講的，A組為基礎組，B組為提高組，C組為競賽組，同時我還用了另一種說法，就是A組為銅牌組，B組為銀牌組，C組為金牌組。這樣學生即使分在了A組也不會有什么自卑感。同時我對學生說，我們的分組只是暫時的，每一次測驗我們都會對學生進行重新分組，并且在學習中途學生可以按照自己的情況參加高一級小組的學習。
2.2分層備課
對學生進行分組后，教師在備課時便應根據學生的實際情況進行分層備課，在備課的過程中，對A、B、C組的同學分別提出不同的要求，這必須在備課時體現出來。這樣在實際的教學中才能做到有的放矢，不至于使分層教學留于形式。哪些內容對各個組是必須掌握的，哪些內容是只作了解的，對不同小組在作業上有些什么不同的要求等，這些都必須在備課時充分考慮。
2.3分層授課
進行分層教學中極為重要的一個環節便是對學生實行分層授課。在實際的操作過程中，有點象復式教學。限于客觀條件，不可能在同一堂課里將不同組的學生在不同的課室上課，因此，課堂教學時如何進行便是一個問題。以高二代數《指數不等式和對數不等式的解法》為例，我在課堂教學中是這樣處理教材的：在給全班學生復習了指數函數和對數函數的單調性之后，我便給學生講解指數不等式和對數不等式的解題策略，便是將不等式進行轉化，然后用通過具體的例子進行講解，這時，我對不同小組的同學提出了如下不同的要求。
我對全班同學說，在今天的例子中，例1和例2是教材中的例題，對A組的同學必須作出要求，用另外的話說，也就是A組的同學對例1和例2必須切實掌握：
例1 解不等式 （見數學教材P23例3）。
例2 解不等式 （見教材P23例4）。
通過對例1和例2的解答，我給A組的學生指出，對于指數不等式，我們首先要看能否將它們化為底數相同的不等式，然后由指數函數的單調性得出指數間的關系。對于對數不等式，特別地給學生強調，對數的真數為正數這一條件，然后再根據對數函數的單調性將其轉化。
對于B組的同學，我除要求它們掌握A組的例題外，還要求它們掌握例3這種較為復雜一點的指數不等式問題。
例3 解不等式 。
我首先引導B組的同學分析例3中數字間的關系，9=32，4=22，6=2×3，這有利于培養學生對數字的敏感性。在講例3的過程中，引導學生先將其變形為 ，然后可以假定A= 用換元法將 解出，最后由指數函數的單調性得出原不等式的解集為 。
對C組的同學我除了要求他們掌握B組的問題外，對C組學生的綜合能力我提出了更高的要求，于是我講了例4，要求C組的同學切實掌握例4的解題思路及能力要求。
例4 解不等式 。
在解這個不等式的過程中，用到了指數函數和對數函數的單調性，還用到了數學方法中的換元法，更為重要的是，例4中含有參數a，在解題的過程中必須對參數進行分類討論，例4是培養優秀學生綜合能力的一個好例題。
由于我在教學過程中強調了對各組同學的具體要求，因此學生在學習的過程中便根據自己的基礎掌握不同的內容，學生便不會出現因聽不懂例題的內容而在課課上睡覺現象。
2.4分層作業
為了使學生學有所獲，我在對學生實施分層上課后對作業的要求也是不同的，還是以《解指數不等式和對數不等式》為例，我是這樣對學生布置作業的：
A組作業：解下列不等式:
(1)
(2) .
(3)
(4) .
B組作業：
1解下列不等式:
(1)
(2) .
(3) .
(4)
2.求不等式 在(0,1)上的解集.
3.求函數 的定義域.
C組作業：
1. 同B組1(1);
2. 同B組2題;
3. 同B組3題;
4. 解不等式
5. 解不等式
2.5分層輔導
在教學中對學生的學習輔導是學生鞏固和掌握知識的一個重要環節。在課堂上我對學生實行分層授課后，在課外的輔導方面我采用了讓學生之間相互輔導的辦法進行學習輔導，即通過對口扶貧的方式進行輔導，收到了較好的效果。我的辦法是，我課外直接對C組的同學進行輔導，B組的同學由C組的同學進行輔導，A組的同學由B組的同學進行輔導，這樣，將全體同學的積極性都調動了起來。我對學生說，自己會做題還不表示你真正弄懂了一道題，只有你能講解后別人能聽懂則說明你自己真正懂了。另外，我給學生說，你們
2.6分層測驗
為了檢查學生學習的效果，測驗是用得最多的一種方式。我自從采用分層教學后，對學生的測驗采用A、B、C三套不同的試卷，以使不同的學生在考試的過程中都能將自己的水平發揮出來。在測驗的過程中，學生可以根據自己的實際情況自己選擇不同的試卷，即A組的同學可以選擇B組的試卷，同樣，B組的同學也可以選擇C組的試卷。每次測驗后各個組進步較大的同學可以上升一個小組，而退步的同學則的降到下一個小組。
2． 收獲與體會
我們學校是一個有近1500名學生，100多名教師，31個教學班的大校，我是學校辦公室副主任，擔任學校辦公室的全部工作，同時擔任高中兩個班的數學教學工作,此外還擔任學校會計的工作。工作之多可想而知，自從我采用分層教學之后，我教得極為輕松，學生也學得愉快，教學效果在全年級的六個教學班中名列前茅。我是在高一上學期中期考試后由于原數學教師的工作原因而接手的，我接手的是高一(3)、(4)班兩個班的數學課。當時年級學生在學校中期考試中的情況如下表所示（考試由學校交叉命題，交叉閱卷，任課教師在學生分數出來前均不接觸本級學生的試卷）：
班 級 一 二 三 四 五 六
平均分 52.2 48.5 45.7 48.3 50.2 53.9
及格率 55% 50% 47% 49.5% 52% 58%
優秀率 19% 15% 10% 12% 17% 20%
綜合名次 2 4 6 5 3 1
從上表可以看出，在我接手前學生的成績分別為年級的第四名及第六名。
之后又通過半年多的教學，在高一學年結束時由市教委教研室統一命題，全市統一考試及閱卷，學生的考試成績為：
班 級 一 二 三 四 五 六
平均分 54.1 50.0 55.2 58.4 47.4 49.7
及格率 52% 48% 54% 60% 40% 42%
優秀率 30% 29% 33% 40% 20% 23%
綜合名次 3 4 2 1 6 5
通過以上的統計不難看出，盡管我采用分層教學的時間還不到一年，但是學生的進步是顯著的,此外,在全國希望杯數學邀請賽中,我所教班級有一個學生獲全年級唯一一個全國三等獎。我在學校擔任的工作相當于三個人的工作量(并沒有多拿一分錢的工資和獎金），有老師和我開玩笑說我是能者多勞，其實真正使我受益的是我對學生采用了分層教學，并且很多工作都由學生幫我完成了。
總結分層教學中的一些得失，我有如下一些體會：
(1)因為對學生進行了分組，并對不同的學生實行不同的要求，真正使因材實教落到了實處。
(2)對不同的學生提出不同的要求，這樣能使每個學生都在課堂上學有所獲，兼顧了低差生，學生在課堂上學得懂，聽得明，作業做得會，這便是學習上的一種良性循環。
(3)在分組的過程中以A、B、C組出現，而不出現差生等詞語，保護了學生的自尊心。此外，在課堂上，某些A組的同學能聽懂一些B組的內容，B組的一些同學能聽懂一些C組的內容，這增強了學生的自信心。
(4)在輔導的過程中，讓C組的同學輔導B組同學，B組同學輔導A組同學，既培養了學生的參與意識，提高了學生學習的主動性，同時又減輕了教師的負責，使教師有更多的時間和精力做其它教學方面的工作。
(5)使用分層教學，在測驗時學生可以自主選擇試卷，學生不會因為自己的測驗成績過低而抬不起頭，不少同學都愿意選擇上一個小組的試題以顯示自己在學習上的進步，這增強了學生學習的主動性。
(6)由于分組的情況將隨時因學生的成績而改變，C組的同學不愿降到B、A組去，同時A、B組的同學又希望能升到C組來，這樣便將競爭機制引入到了教學之中，學生學習的主動性增強，因而學習的提高也較快。
在實施應試教育向素質教育轉軌的今天，要使因材施教落到實處，使全體學生都能得到不同程度的最大限度的發展，實施分層教學不失為一種好方法。當然，筆者對分層教學的有關理論及實踐仍在探索之中，希望有更多的同行能加入到分層教學的實驗中來。
高中生數學成績分化的原因與對策
數學作為衡量一個人能力的重要學科，從小學到高中絕大多數同學對它情有獨鐘，投入了大量的時間與精力．然而并非人人都是成功者，許多小學、初中數學學科成績的佼佼者，進入高中階段，第一個跟頭就栽在數學上．據統計我現在所授課的高三兩個班１３１名同學中有８６人來自重點初中．其余雖來自普通中學，但數學成績也居上游．就是這些經過選拔而來的上等生，在高一學年的幾次大考中，數學不及格的人數竟占１／３．
一、學習狀態的分析
面對眾多初中學習的成功者淪為高中學習的失敗者，我對他們的學習狀態進行了研究，調查表明，造成成績滑坡的主要原因有以下幾個方面．
１．被動學習．許多同學進入高中后，還像初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習主動權．表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”．
２．學不得法．老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法．而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，只是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背．也有的晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微．
３．不重視基礎．一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基本知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高鶩遠，重“量”輕“質”，陷入題海．到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”．
４．進一步學習條件不具備．高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍．這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備．高中數學很多地方難度大、方法新、分析能力要求高．如二次函數在閉區間上的最值問題，函數值域的求法，實根分布與參變量方程，三角公式的變形與靈活運用，空間概念的形成，排列組合應用題及實際應用問題等．客觀上這些觀點就是分化點，有的內容還是高初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，分化是不可避免的．
二、對策
高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動為主動．針對學生學習中出現的上述情況，我采取了以加強學法指導為主，化解分化點為輔的對策，收到了一定的效果．
１．加強學法指導，培養良好學習習慣反復使用的方法將變成人們的習慣行為．什么是良好的學習習慣？我向學生做了如下具體解釋，它包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面．
制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩扎穩打，它是推動學生主動學習和克服困難的內在動力．但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志．
課前自學是學生上好新課，取得較好學習效果的基礎．課前自學不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習主動權．自學不能搞走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講課的思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上．
上課是理解和掌握基本知識、基本技能和基本方法的關鍵環節．“學然后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可略；什么地方該精雕細刻，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼．
及時復習是高效率學習的重要一環，通過反復閱讀教材，多方查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識聯系起來，進行分析比較，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記上，使對所學的新知識由“懂”到“會”．
獨立作業是學生通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程．這一過程是對學生意志毅力的考驗，通過運用使學生對所學知識由“會”到“熟”．
解決疑難是指對獨立完成作業過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程．解決疑難一定要有鍥而不舍的精神，做錯的作業再做一遍．對錯誤的地方沒弄清楚要反復思考，實在解決不了的要請教老師和同學，并要經常把易錯的地方拿出來復習強化，作適當的重復性練習，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，長期堅持使對所學知識由“熟”到“活”．
系統小結是學生通過積極思考，達到全面系統深刻地掌握知識和發展認識能力的重要環節．小結要在系統復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與有關資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在聯系．以達到對所學知識融會貫通的目的．經常進行多層次小結，能對所學知識由“活”到“悟”．
課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等．課外學習是課內學習的補充和繼續，它不僅能豐富學生的文化科學知識，加深和鞏固課內所學的知識，而且能滿足和發展他們的興趣愛好，培養獨立學習和工作能力，激發求知欲與學習熱情．
２．循序漸進，防止急躁
由于年齡較小，閱歷有限，為數不少的高中學生容易急躁，有的同學貪多求快，囫圇吞棗，有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就，有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振．針對這些情況，我們讓學生懂得學習是一個長期的鞏固舊知、發現新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成，為什么高中要上三年而不是三天！許多優秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度．
３．研究學科特點，尋找最佳學習方法
數學學科擔負著培養學生運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任．它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高．學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，埋頭做題不總結積累不行，對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來。
關鍵是創設問題情境――引導學生自主學習的教學體會點滴
主體性是素質教育的核心和靈魂．在教學中要真正體現學生的主體性，就必須使認知過程是一個再創造的過程，使學生在自覺、主動、深層次的參與過程中，實現發現、理解、創造與應用，在學習中學會學習．而創設問題情境，使學生產生明顯的意識傾向和情感共鳴，乃是主體參與的條件和關鍵．本文就此問題談幾點體會和認識．
1 創設問題情境的主要方式
1．1 創設應用性問題情境，引導學生自己發現數學命題（公理、定理、性質、公式）
案例1 在“均值不等式”一節的教學中，可設計如下兩個實際應用問題，引導學生從中發現關于均值不等式的定理及其推論．
①某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動，擬分兩次降價．有三種降價方案：甲方案是第一次打ｐ折銷售，第二次打ｑ折銷售；乙方案是第一次打ｑ折銷售，第二次找ｐ折銷售；丙方案是兩次都打（ｐ＋ｑ）／2折銷售．請問：哪一種方案降價較多？
②今有一臺天平兩臂之長略有差異，其他均精確．有人要用它稱量物體的重量，只須將物體放在左、右兩個托盤中各稱一次，再將稱量結果相加后除以2就是物體的真實重量．你認為這種做法對不對？如果不對的話，你能否找到一種用這臺天平稱量物體重量的正確方法？
學生通過審題、分析、討論，對于問題①，大都能歸結為比較ｐｑ與（（ｐ＋ｑ）／2）2大小的問題，進而用特殊值法猜測出ｐｑ≤（（ｐ＋ｑ）／2）2，即可得ｐ2＋ｑ2≥2ｐｑ．對于問題②，可安排一名學生上臺講述：設物體真實重量為Ｇ，天平兩臂長分別為ｌ1、ｌ2，兩次稱量結果分別為ａ、ｂ，由力矩平衡原理，得ｌ1Ｇ＝ｌ2ａ，ｌ2Ｇ＝ｌ1ｂ，兩式相乘，得Ｇ2＝ａｂ，由問題①的結論知ａｂ≤（（ａ＋ｂ）／2）2，即得（ａ＋ｂ）／2≥，從而回答了實際問題．此時，給出均值不等式的兩個定理，已是水到渠成，其證明過程完全可以由學生自己完成．
以上兩個應用問題，一個是經濟生活中的問題，一個是物理中的問題，貼近生活，貼近實際，給學生創設了一個觀察、聯想、抽象、概括、數學化的過程．在這樣的問題情境下，再注意給學生動手、動腦的空間和時間，學生一定會想學、樂學、主動學．
1．2 創設趣味性問題情境，引發學生自主學習的興趣
案例2 在“等比數列”一節的教學時，可創設如下有趣的問題情境引入等比數列的概念：
阿基里斯（希臘神話中的善跑英雄）和烏龜賽跑，烏龜在前方1里處，阿基里斯的速度是烏龜的10倍，當它追到1里處時，烏龜前進了1／10里，當他追到1／10里，烏龜前進了1／100里；當他追到1／100里時，烏龜又前進了1／1000里……
①分別寫出相同的各段時間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上烏龜？
讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義，學生興趣十分濃厚，很快就進入了主動學習的狀態．
1．3 創設開放性問題情境，引導學生積極思考
案例3 直線ｙ＝2ｘ＋ｍ與拋物線ｙ＝ｘ2相交于Ａ、Ｂ兩點，________ ，求直線ＡＢ的方程．（需要補充恰當的條件，使直線方程得以確定）
此題一出示，學生的思維便很活躍，補充的條件形形色色．例如：
①｜ＡＢ｜＝；
②若Ｏ為原點，∠ＡＯＢ＝90°；
③ＡＢ中點的縱坐標為6；
④ＡＢ過拋物線的焦點Ｆ．
涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、拋物線的焦點坐標，兩直線相互垂直的充要條件等等，學生實實在在地進入了“狀態”．
1．4 創設直觀性圖形情境，引導學生深刻理解數學概念
案例4 “充要條件”是高中數學中的一個重要概念，并且是教與學的一個難點．若設計如下四個電路圖，視“開關Ａ的閉合”為條件Ａ，“燈泡Ｂ亮”為結論Ｂ，給充分不必要條件、充分必要條件、必要不充分條件、既不充分又不必要條件以十分貼切、形象的詮釋，則使學生興趣盎然，對“充要條件”的概念理解得入木三分．
1．5 創設新異懸念情境，引導學生自主探究
案例5 在“拋物線及其標準方程”一節的教學中，引出拋物線定義“平面上與一個定點F和一條定直線ｌ的距離相等的點的軌跡叫做拋物線”之后，設置這樣的問題情境：初中已學過的一元二次函數的圖象就是拋物線，而今定義的拋物線與初中已學的拋物線從字面上看不一致，它們之間一定有某種內在聯系，你能找出這種內在的聯系嗎？
此問題問得新奇，問題的結論應該是肯定的，而課本中又無解釋，這自然會引起學生探索其中奧秘的欲望．此時，教師注意點撥：我們應該由ｙ＝ｘ2入手推導出曲線上的動點到某定點和某定直線的距離相等，即可導出形如動點Ｐ（ｘ，ｙ）到定點Ｆ（ｘ0，ｙ0）的距離等于動點Ｐ（ｘ，ｙ）到定直線ｌ的距離．大家試試看!學生紛紛動筆變形、拚湊，教師巡視后可安排一學生板演并進行講述：
ｘ2＝ｙ
?ｘ2＋ｙ2＝ｙ＋ｙ2
?ｘ2＋ｙ2－（1／2）ｙ＝ｙ2＋（1／2）ｙ
?ｘ2＋（ｙ－1／4）2＝（ｙ＋1／4）2
?＝｜ｙ＋14｜．
它表示平面上動點Ｐ（ｘ，ｙ）到定點Ｆ（0，1／4）的距離正好等于它到直線ｙ＝－1／4的距離，完全符合現在的定義．
這個教學環節對訓練學生的自主探究能力，無疑是非常珍貴的．
1．6 創設疑惑陷阱情境，引導學生主動參與討論
案例6 雙曲線ｘ2／25－ｙ2／144＝1上一點Ｐ到右焦點的距離是5，則下面結論正確的是（ ）．
?Ａ．Ｐ到左焦點的距離為8
?Ｂ．Ｐ到左焦點的距離為15
?Ｃ．Ｐ到左焦點的距離不確定
?Ｄ．這樣的點Ｐ不存在
?
教學時，根據學生平時練習的反饋信息，有意識地出示如下兩種錯誤解法：
?
錯解1．設雙曲線的左、右焦點分別為Ｆ1、Ｆ2，由雙曲線的定義得
? ｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜＝±10．
? ∵｜ＰＦ2｜＝5，
? ∴｜ＰＦ1｜＝｜ＰＦ2｜＋10＝15，故正確的結論為Ｂ．
?
錯解2．設Ｐ（ｘ0，ｙ0）為雙曲線右支上一點，則
?｜ＰＦ2｜?＝ｅｘ0－ａ，由ａ＝5，｜ＰＦ2｜＝5，得ｅｘ0＝10，
? ∴｜ＰＦ1｜＝ｅｘ0＋ａ＝15，故正確結論為Ｂ．
?
然后引導學生進行討論辨析：若｜ＰＦ2｜＝5，｜ＰＦ1｜＝15，則｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＝20，而｜Ｆ1Ｆ2｜＝2ｃ＝26，即有｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜＜｜Ｆ1Ｆ2｜，這與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，可見這樣的點Ｐ是不存在的．因此，正確的結論應為Ｄ．
進行上述引導，讓學生比較定義，找出了產生錯誤的在原因即是忽視了雙曲線定義中的限制條件，所以除了考慮條件｜｜ＰＦ1｜－｜ＰＦ2｜｜＝2ａ，還要注意條件ａ＜ｃ和｜ＰＦ1｜＋｜ＰＦ2｜≥｜Ｆ1Ｆ2｜．
? 通過上述問題的辨析，不僅使學生從“陷阱”中跳出來，增強了防御“陷阱”的經驗，更主要地是能使學生參與討論，在討論中自覺地辨析正誤，取得學習的主動權．
1．7 創設已有知識的問題序列，引導學生自己獲取新知識的生長點
至此，學生對“曲線”與“方程”的關系已有了一些初步的認識，在此基礎上指導學生閱讀課本，學生就能夠理解曲線和方程的“純粹性”及“完備性”的含義，也就理解了什么是“曲線的方程”和“方程的曲線”．
? 1．8 編擬讀書提綱，引導學生閱讀自學
? 案例8 在《立體幾何》（必修本）“平面的基本性質”一節，可擬以下閱讀提綱，讓學生閱讀自學：
? ①三個定理的主要作用分別是什么？
? ②定理中的“有且只有”說明了事物的什么性？
? ③定理3的推論1證明分幾步？
? ④定理3的推論2及推論3你會證明嗎？
? ⑤平面幾何中的公理、定理等，在空間圖形中是否仍然成立？你能試舉一例嗎？
? 通過學生對課文的閱讀，既加深了學生對課文的理解，又提高了學生的學習能力．
? 2 創設問題情境的原則
? 創設情境的方法很多，但必須做到科學、適度，具體地說，有以下幾個原則：
? ①要有難度，但須在學生的“最近發現區”內，使學生可以“跳一跳，摘桃子”．
? ②要考慮到大多數學生的認知水平，應面向全體學生，切忌專為少數人設置．
? ③要簡潔明確，有針對性、目的性，表達簡明扼要和清晰，不要含糊不清，使學生盲目應付，思維混亂．
? ④要注意時機，情境的設置時間要恰當，尋求學生思維的最佳突破口．
? ⑤要少而精，做到教者提問少而精，學生質疑多且深．
?
3 幾點體會與認識
?
3．1 要充分重視“問題情境”在課堂教學中的作用
? 問題情境的設置不僅在教學的引入階段要格外注意，而且應當隨著教學過程的展開要成為一個連續的過程，并形成幾個高潮．通過精心設計問題情境，不斷激發學習動機，使學生經常處于“憤悱”的狀態中，給學生提供學習的目標和思維的空間，學生自主學習才能真正成為可能．
?
3．2 在引導學生自主學習中加強學法指導
為了在課堂教學中推進素質教育，從發展性的要求來看，不僅要讓學生“學會”數學，而更重要的是“會學”數學，學會學習，具備在未來的工作中，科學地提出問題、探索問題、創造性地解決問題的能力．要結合教學實際，因勢利導，適時地進行學法指導，使學生在自主學習中，逐漸領會和掌握科學的學習方法．當然，學生自主學習也離不開教師的主導作用，這種作用主要在問題情境設置和學法指導兩個方面．學法指導有利于提高學生自主學習的效益，使他們在學習中把摸索體會到的觀念、方法盡快地上升到理論的高度．
3．3 注重情感因素是啟動學生自主學習的關鍵
要引導學生自主學習，動機、興趣、情感、意志、性格等非智力因素起著關鍵的作用．只有把智力因素與非智力因素有機地結合起來，充分調動學生認知的、心理的、生理的、情感的、行為的、價值的等方面的因素，讓學生進入一種全新的境界，學生自主學習才能達到比較好的效果．這就需要在課堂教學中，做到師生融洽，感情交流，充分尊重學生人格，關心學生的發展，營造一個民主、平等、和諧的氛圍，在認知和情意兩個領域的有機結合上，促進學生的全面發展．
關于提高數學教學開放度的探索和思考
實施素質教育、進行考試的改革和創新、減輕學生的負擔是當前教育界急需解決的一個重大課題。開放式數學教學就是對素質教育的一種探索，是當前數學教育的一個發展潮流。近幾年數學教育工作者對開放式數學教學作了積極的探索，并取得了一定成績，但是，由于種種原因，還沒有提高到開放性教學應有的高度來認識，使得數學教學的開放性程度仍然不能滿足教育改革的需要。因此，探討如何切實提高數學教學的開放性程度，全面提高教學質量，具有十分重要意義，我就此談些粗淺的認識。
一、提高認識，充分認清開放式數學教學的內涵及意義
所謂“開放”，包括數學教學內容、學生數學活動和學生與教學內容之間相互作用等幾個方面的開放。結合現代認知心理學對數學學習過程的要求及已有研究成果，筆者認為開放式數學教學的目標應是：充分尊重學生的主體地位，通過數學教學，在獲取數學知識的同時，讓學生主動學習自行獲取數學知識的方法，學習主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學能力、創造能力和社會活動能力，在教學中，讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣選擇不同的教學并得到發展，能力較強者能夠積極參與數學活動，有進一步的發展機會；能力較低者也能參與數學活動，完成幾項特殊的任務。在這個過程中，可以：（1）培養和捉進學生的好奇心和求知欲；（2）促進學生積極探索的態度和探索的策略；（3）鼓勵學生參考已有的知識和技能，提出新問題，探索新問題；（4）刺激學生提高數學智力；（5）鼓勵學生彼此討論交流與合作。這種教學模式也體現了數學教學是為了所有的學生。
二、發揮學生的主體作用，引導學生積極主動參與教學的過程
由于數學教學的本質是數學思維活動的展開，因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。教師不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發揮和發展，才能不斷提高數學活動的開放度。這就要求我們在教學過程中為學生創造良好的主動參與條件，提供充分的參與機會，具體應注意以下幾點：
1、 巧創激趣情境，激發學生的學習興趣
教學實踐證明，精心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。
2、運用探究式教學，使學生主動參與
教學中，在教師的主導下，堅持學生是探究的主體，根據教材提供的學習材料，伴隨知識的發生、形成、發展全過程進行探究活動，教師著力引導多思考、多探索，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題以及親身參與問題的真實活動之中，只有這樣，才能使學生親身品嘗到自己發現的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創造欲。只有達到這樣的境地、才會真正實現主動參與。
3、運用變式教學，確保其參與教學活動的持續的熱情
變式教學是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的
變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法。通過
變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。
三、強化交流和合作，倡導開放的教學活動方式
相對而言，傳統課堂教學較為重視師生之間的聯系、溝通，而忽略學生之間的相互聯系，忽視發揮學生群體在教學中的作用，現代教學論認為，數學教學過程應是學生主動學習的過程，它不僅是一個認識過程，而且也是一個交流和合作的過程。交流和合作的互利過程，為學生主動學習提供了開放的活動方式，提供了寬松和民主的環境，更有利于發展學生的主體性，促進學生智力、情感和社會技能的發展及創造能力的發展，為此，我們以強化小組交流與合作學習為核心，徹底改變課堂教學中“教師主講，學生主聽”的單一的教學組織形式，促進各個層次學生的共同發展。
具體應做好以下幾點：
１、改革課堂教學的空間形式
小組交流與合作學習的空間形式多種多樣，比較常見的有：T型、馬蹄型、蜂窩型等。這些形式都以打亂原有的秧田座位排列方式為基本模式，遵循“組內異質，組間同質”的原則而構成，小組一般由5人或7人組成，也有4人、6人小組等等。小組的這種排列縮短了學生與學生之間的距離，增強了學生間相互交往的機會，有利于小組內成員的交流和合作學習。
2、小組學習任務的布置
小組內的交流與合作學習主要以協同活動為中介實現的，因此教師在組織小組交流與合作學習活動中，應把需要討論、互相啟發、反復推敲的問題布置給學習小組，讓小組圍繞問題進行交流和合作學習。教師不僅要指導組內交往，而且要引導組際交流，不僅要交流學習結果，更要重視交流學習方法。
3、注意培養學生的合作意識，訓練學生的合作技能
教育學生樹立集體主義觀念和互幫互學的合作意識，使每個人都能為集體目標的實現盡心盡力。不斷向學生傳授合作的基本技能，使他們學會既善于積極主動地表現自己的意見，敢于說出不同的看法，又善于傾聽別人的意見，相互啟迪，并能夠綜合吸收各種不同的觀點，共同尋找解決問題的思路。在具體實施過程中，教師要及時地有針對性地予以指導，訓練學生養成良好的合作學習習慣。
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