題目列表(包括答案和解析)
18．
(本小題滿分14分)
請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六
棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右
圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心
的距離
為多少時(shí)，帳篷的體積最大？
[考點(diǎn)分析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力]
解：設(shè)
，則
。
由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：
，(單位：
)
故底面正六邊形的面積為：
=
，(單位：
)
帳篷的體積為：
(單位：
)
求導(dǎo)得
。
令
，解得
(不合題意，舍去)或
。
當(dāng)
時(shí)，
，
為增函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，
，為減函數(shù)。
∴當(dāng)時(shí)，最大。
答：當(dāng)
時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為
。
17．(本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分)
已知三點(diǎn)P(5，2)、
(－6，0)、
(6，0)。
(Ⅰ)求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)分別為
、
、
，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
[考點(diǎn)分析：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力]
[解](I)由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
+
，其半焦距
。
， ∴
，
，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
+
；
(II)點(diǎn)P(5，2)、(－6，0)、(6，0)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)分別為：
、
(0，-6)、
(0，6)
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
-
，由題意知半焦距
，
， ∴
，
，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
-
。
(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝ ▲
解：利用正弦定理
點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用
(12)設(shè)變量x、y滿足約束條件
，則
的最大值為 ▲
解：根據(jù)線性約束條件畫出可行域(圖略)，顯然在(3，4)處取得最大值18
點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識。
(13)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 ▲ 種不同的方法(用數(shù)字作答)。
解：由題意，
點(diǎn)評：本題主要考查不全相異元素的全排列
(14)
＝ ▲
解
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的畫簡與求值
(15)對正整數(shù)n，設(shè)曲線
在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
，則數(shù)列
的前n項(xiàng)和的公式是 ▲
解：
，令x=0，求出切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
，所以
，則數(shù)列的前n項(xiàng)和
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，再與數(shù)列知識結(jié)合起來，解決相關(guān)問題。
(16)不等式
的解集為 ▲
解：
綜上：
點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法
(1)已知
，函數(shù)
為奇函數(shù)，則a＝
(A)0 (B)1 (C)－1 (D)±1
解：法一：由函數(shù)
是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則
， 即
，則a＝0，選A
法二：
得：，則a＝0，選A
點(diǎn)評：主要考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)
(2)圓
的切線方程中有一個(gè)是
(A)x－y＝0 (B)x+y＝0 (C)x＝0 (D)y＝0
解：圓心為(1，
)，半徑為1，故此圓必與y軸(x=0)相切，選C
點(diǎn)評：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系
(3)某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解： 由平均數(shù)公式為10，得
則
；又由于方差為2，則
得
，所以有
，故選(D)
點(diǎn)評：本題主要考查平均數(shù)與方差的定義等統(tǒng)計(jì)方面的基礎(chǔ)知識
(4)為了得到函數(shù)
的圖像，只需把函數(shù)
的圖像上所有的點(diǎn)
(A)向左平移
個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍(縱坐標(biāo)不變)
(B)向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
(C)向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
(D)向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
解：根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換法則易得：把向左平移個(gè)單位長度得
，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)故選(C)
點(diǎn)評：本題主要考查形如
的三角函數(shù)圖像的變換
(5)
的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解：展開式通項(xiàng)為
，若展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪，即
所以
，選(B)
點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的相關(guān)知識
(6)已知兩點(diǎn)M(－2，0)、N(2，0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足
＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由題意 
，所以有
即：，故選(B)
點(diǎn)評：本題主要考查點(diǎn)的軌跡方程的求法
(7)若A、B、C為三個(gè)集合，
，則一定有
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由
知，
，故選(A)
點(diǎn)評：本題主要考查集合間關(guān)系的運(yùn)算
(8)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
解：因?yàn)?sub>
，所以(A)恒成立；
在(B)兩側(cè)同時(shí)乘以
得
所以(B)恒成立；
(C)中，當(dāng)a>b時(shí)，恒成立，a<b時(shí)，不成立；
(D)中，分子有理化得
恒成立，故選(C)
點(diǎn)評：本題主要考查不等式的相關(guān)知識
|
|
|
|
(9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有
|
(C)3個(gè) (D)無窮多個(gè)
解：法一：本題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方形可以有多少個(gè)內(nèi)接正方形，顯然有無窮多個(gè)
法二：通過計(jì)算，顯然兩個(gè)正四棱錐的高均為
，考查放入正方體后，面ABCD所在的截面，顯然其面積是不固定的，取值范圍是
，所以該幾何體的體積取值范圍是
點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生能否迅速構(gòu)造出一些常見的幾何模型，并不是以計(jì)算為主
(10)右圖中有一個(gè)信號源和五個(gè)接收器。接收器與信號源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號的概率是
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由題意，左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組有
種分法，同理右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組有種分法；要五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號，則需五個(gè)接收器與信號源串聯(lián)在同一個(gè)線路中，即五個(gè)接收器的一個(gè)全排列，再將排列后的第一個(gè)元素與信號源左端連接，最后一個(gè)元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有
種，所求的概率是
，故選(D)
點(diǎn)評：本題要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用排列組合知識解決計(jì)數(shù)問題，并進(jìn)一步求得概率問題，其中隱含著平均分組問題。
21. (本小題滿分14分)
已知橢圓C1:
,拋物線C2:
,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)AB⊥
軸時(shí),求
、
的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.
2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)
20. (本小題滿分14分)
對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:
)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?sub>
(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是
(
),用
質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是
,其中
是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及
時(shí)方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響.
19. (本小題滿分14分)
已知函數(shù)
,數(shù)列{
}滿足:
證明:(ⅰ)
;(ⅱ)
.
18. (本小題滿分14分)
如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.
17.(本小題滿分12分)
某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計(jì)算(結(jié)果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.
16.
(本小題滿分12分)
如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=
,∠ABC=
.
(Ⅰ)證明 
;
(Ⅱ)若AC=
DC,求的值.
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