題目列表(包括答案和解析)
=
=sin(2x+
.
∴f(x)的最小正周期T=
=π.
由題意得2kπ-
≤2x+
,k∈Z,
∴f(x)的單調增區間為［kπ-
］,k∈Z.
(2)方法一：
先把y=sin 2x圖象上所有的點向左平移
個單位長度，得到y=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位年度，就得到y=sin(2x+)+的圖象.
方法二：
把y=sin 2x圖象上所有的點按向量a=(-
)平移，就得到y=sin(2x+)+的圖象.
(18)本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.
方法一:
(1)證明：連結OC.
∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=
.
而AC=2,
∴AO2+CO2=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∴AB
平面BCD.
(Ⅱ)解：取AC的中點M,連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB,OE∥DC.
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.
在△OME中，
是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴
∴
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
(Ⅲ)解：設點E到平面ACD的距離為h.
,
∴
·S△ACD =
·AO·S△CDE.
在△ACD中，CA=CD=2,AD=
,
∴S△ACD=
而AO=1, S△CDE=
∴h=
∴點E到平面ACD的距離為
.
方法二：
(Ⅰ)同方法一：
(Ⅱ)解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，
C(0，，0)，A(0,0,1),E(
,
,0),
∴
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
(Ⅲ)解：設平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則
∴
令y=1，得n=(-
)是平面ACD的一個法向量.
又
∴點E到平面ACD的距離
h=
(19)本小題主要考查函數，導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力.滿分12分.
解: (1)當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了
小時,
要耗油(
.
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.
(2)當速度為x千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了
設耗油量為h(x)升，衣題意得
h(x)=(
)·
,
h’(x)=
(0＜x≤120＝
令h’(x)=0，得x=80.
當x∈(0,80)時，h’(x)＜0,h(x)是減函數;
當x∈(80,120)時，h’(x)＞0,h(x)是增函數.
∴當x=80時，h(x)取到極小值h(80)=11.25.
因為h(x)在(0,120)上只有一個極值，所以它是最小值.
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.
(20)本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，
考查運算能力和綜合能力.滿分12分.
解(1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圓過點O、F.
∴圓心M在直線x=-
設M(-
),則圓半徑
r=|(-)-(-2)|=.
由|OM|=r,得
解得t=±,
∴所求圓的方程為(x+)2+(y±) 2=
.
(2)設直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),
代入
+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直線AB過橢圓的左焦點F,
∴方程有兩個不等實根.
記A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
則x1+x1=-
x0=
AB垂直平分線NG的方程為
令y=0，得
∵
∴點G橫坐標的取值范圍為(
)。
(21)本小題主要考查函數的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查運算能力，考查函數與方程、數形結合、分類與整合等數學思想方法和分析問題、解決問題的能力。滿分12分。
解：(I)f(x)=－x2+8x=－(x－4)2+16,
當t+1<4，即t<3時，f(x)在[t，t+1]上單調遞增，
h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t2+6t+7;
當t≤4≤t+1時,即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16;
當t>4時，f(x)在[t，t+1]上單調遞減，
h(t)=f(x)=－t2+8t .
綜上，h(t)=
(II)函數y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數
j(x)=g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點。
∴j(x)=x2－8x+16ln x+m,
∵j′(x)=2x－8+
當x∈(0,1)時，j′(x)>0，j(x)是增函數；
當x∈(1,3)時，j′(x)<0，j(x)是減函數；
當x∈(3,+∞)時，j′(x)>0，j(x)是增函數；
當x=1，或x=3時， j′(x)=0；
∴j(x)極大值=j(1)=m－7, j(x)極小值=j(3)=m+6ln 3－15.
∵當x充分接近0時，j(x)<0，當x充分大時，j(x)>0.
∴要使j(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須
既7<m<－6ln 3.
所以存在實數m，使得函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7，15-6ln 3).
(22)本小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力。滿分14分。
(I)解：∵an+1=2 an+1(n∈N),
∴an+1+1=2(an+1),
∴| an+1| 是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列。
∴an+1=2n，
既an=2n－1(n∈N)。
(II)證法一：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn，
∵4k1+k2+…+kn =2nk, ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nb, ① 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nb, 即 (n-1)bn+1-nbn+2=0. ③ nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③，得nbn+2-2nbn+1-nbn=0,
即 bn+2-2bn+1+b=0,
∴bn-2-bn+1=bn(n∈N*),
∴{bn}是等差數列.
證法二：同證法一，得
(n-1)bn+1=nbn+2=0
令n=1，得b1=2.
設b2=2+d(d∈R),，下面用數學歸納法證明 bn=2+(n-1)d.
(1)當n=1,得b1=2.
(2)假設當n=k(k≥2)時，b1=2+(k-1)d,那么
bk+1=
這就是說，當n=k+1時，等式也成立.
根據(1)和(2)，可知bn=2(n-1)d對任何n∈N*都成立.
∵bn+1-bn=d,
∴{bn}是等差數列.
(3)證明：∵
∴
∵
≥
(
),k=1,2,…,n,
數 學(文史類)
第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. (1)已知兩條直線y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，則a等于
A.2
B.1
C.0
D.-1
(2)在等差數列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于
A.40
B.42
C.43
D.45
(3)“tan a=1”是“a=
”的
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
(17)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,x
R.
(I)求函數f(x)的最小正周期和單調增區間；
(Ⅱ)函數f(x)的圖象可以由函數y=sin2x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得到？
(18)(本小題滿分12分)
如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2
(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD；
(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小；
(Ⅲ)求點E到平面的距離.
(19)(本小題滿分12分)
統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/小時)的函數解析式可以表示為：y=
(0<x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米。
(Ⅰ)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
(Ⅱ)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
(20)(本小題滿分12分)
已知橢圓
的左焦點為F，O為坐標原點。
(Ⅰ)求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
(Ⅱ)設過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.
(21)(本小題滿分12分)
已知函數f(x)=－x
+8x,g(x)=6lnx+m
(Ⅰ)求f(x)在區間[t,t+1]上的最大值h(t);
(Ⅱ)是否存在實數m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。
(22)(本小題滿分14分)
已知數列{a
}滿足a
=1,a
=2a+1(n∈N
)
(Ⅰ)求數列{a}的通項公式；
(Ⅱ)若數列{bn}滿足4k1-14k2-1…4k-1=(an+1)km(n∈N*),證明:{bn}是等差數列;
(Ⅲ)證明:
(n∈N*).
數學試題(理工農醫類)參考答案
一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算，每小題5分，滿分60分.
(1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A
(7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.
(13)10
(14)
(15)
(16)(
)
(13)(x－
)展開式中x的系數是
(用數字作答)
(14)已知直線x－y－1=0與拋物線y=ax相切，則a=
(15)一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1,一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的數學期望是
(16)如圖，連結△ABC的各邊中點得到一個新的△A1B1C1，又連結的△A1B1C1各邊中點得到，如此無限繼續下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，這一系列三角形趨向于一個點M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，則點M的坐標是 .
(1)設a、b、c、d∈R，則復數(a+bi)(c+di)為實數的充要條件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差數列{a}中，已知a=2,a
+a
=13，則a
+a
+a
等于
A.40 B.42 C.43 D.45
(3)已知
∈(,
)，sin=
,則tan(
)等于
A.
B.7
C.－ D.－7
(4)已知全集U=R,且A={x︱︱x－1︱>2},B={x︱x－6x+8<0}，則(
A)∩等于
A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4)
(5)已知正方體外接球的體積是
，那么正方體的棱長等于
A.2
B.
C.
D.
(6)在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于
A.
B.
C.
D.
(7)對于平面和共面的直線m、n，下列命題中真命題是
A.若m⊥，m⊥n，則n∥ B.若m∥，n∥，則m∥n
C.若m
，n∥，則m∥n
D.若m、n與所成的角相等，則n∥m
(8)函數y=㏒
(x﹥1)的反函數是
A.y=
(x>0)
B.y= (x<0)
C.y=
(x>0) D. .y= (x<0)
(9)已知函數f(x)=2sin
x(>0)在區間[
,]上的最小值是－2，則的最小值等于
A.
B.
C.2 D.3
(10)已知雙曲線
(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱
︱=1，︱
︱=,
=0,點C在∠AOB內，且∠AOC=30°，設
=m+n(m、n∈R)，則
等于
A.
B.3
C.
D.
(12)對于直角坐標平面內的任意兩點A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.
給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命題的個數為
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
案填在題中橫線上。
(9)
的值等于
.
(10)在
的展開式中, 
的系數是.(用數字作答)
(11)若三點 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(0 ,b)(ab
0)共線，則,
的值等于
(12)在△ABC 中，若 C B A sin A: sinB: sinC =5:7:8. 則∠B 的大小是
(13)已知點 P(x，y)的坐標滿足條件
點O為坐標原點，那么|PO |的最小值
等于,最大值等于.
(14)已知A、B、C三點在球心為 O，半徑為R 的球面上，AC⊥BC，且 AB=R，那么 A、B 兩點間的球面距離為 球心到平面 ABC 的距離為.
. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
(15)(本小題共 12 分)
已知函數
.
(Ⅰ)求
的定義域；
(Ⅱ)設
的第四象限的角，且
，求
的值
(16)(本小題共 13 分)
已知函數
在點
處取得極大值5，其導函數
的圖象經過點(1，0)，(2，0)，如圖所示，求：
(Ⅰ)的值； (Ⅱ)a，b，c 的值.
(17)(本小題共 14 分)
如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐 P-ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且
PA=PB，點 E 是 PD 的中點.
(Ⅰ)求證：AC⊥PB；
(Ⅱ)求證：PB//平面 AEC；
(Ⅲ)求二面角 E-AC-B 的大小.
(18)(本小題共 13 分)
某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是 a，b，c，且三門課程考
試是否及格相互之間沒有影響. 求：
(Ⅰ)分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；
(Ⅱ)試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)
(19)(本小題共 14 分)
已知點 M(－2，0)，N(2，0)，動點 P滿足條件|PM |－|PN |=
，記動點 P的軌
跡為 W.
(Ⅰ)求 W 的方程；
(Ⅱ)若 A，B 是W上的不同兩點，O 是坐標原點，求
、
的最小值.
(20)(本小題共 14 分)
在數列
中，若 a1，a2 是正整數，且
,
3，4，5，…，則稱
為“絕對差數列”.
(Ⅰ)舉出一個前五項不為零的“絕對差數列”(只要求寫出前十項)；
(Ⅱ)若“絕對差數列”中，
,
，數列
滿足
n=1，2，3，…，分雖判斷當
時, 與
的極限是否存在，如果存在，求出其極
限值；
(Ⅲ)證明：任何“絕對差數列”中總含有無窮多個為零的項.
(1)在復平面內，復數
對應的點位于
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
(2)若 a 與 b－c 都是非零向量，則“a·b=a·c”是“a⊥(b－c)”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
(3)在 1，2，3，4,5 這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中,各位數字之和為
(A)36 個 (B)24 個
(C)18 個 (D)6 個
(4)平面
的斜線 AB 交于點 B，過定點 A 的動直線
與 AB 垂直，且交
于點 C，則動 點 C 的軌跡是
(A)一條直線 (B)一個圓
(C)一個橢圓 (D)雙曲線的一支
(5)已知
是
上的增函數，那么 a 的取值范
圍是
(A)(0，1) (B)(0，
)
(C)
,
(D)
(6)在下列四個函數中，滿足性質：“對于區間(1，2)上的任意
,
(
).
恒成立”的只有
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)設
,則
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)下圖為某三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口 A、B、
C 的機動車輛數如圖所示，圖中
分別表示該時段單位時間通過路段 
,
的機動車輛數(假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等)，則
(A) 
(B) 
(C)
(D)
普通高等學校招生全國統一考試
數 學(文史類) (北京卷)
第 II 卷(共 110 分)
(17)(本大題滿分12分)已知
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值。
解：(Ⅰ)由
得
，即
，又
，所以
為所求。
(Ⅱ)=
=
=
=
。
(18)(本大題滿分12分)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用
表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。
(Ⅰ)寫出的分布列；(以列表的形式給出結論，不必寫計算過程)
(Ⅱ)求的數學期望
。(要求寫出計算過程或說明道理)
解：(Ⅰ)
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
P |
 |
|
 |
|
 |
|
|
|
|
(Ⅱ)
(19)(本大題滿分12分)如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，
，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。
(Ⅰ)證明
⊥
；
(Ⅱ)求面
與面
所成二面角的大小。
解：(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中，
為等腰三角形，
∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內的射影；∵O為BF中點，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴
，
，
。
過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以
為所求二面角平面角。
在
中，OH=
，
=
。
在
中，
；
而
(Ⅱ)以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0,0，1)，A(0，
,0)，B(
，0,0)，D(0,2，0)，∴
，
，
設平面PAB的法向量為
，則
，
，得
，
；
設平面PDB的法向量為
，則
，
，得
，
；
(20)(本大題滿分12分)已知函數
在R上有定義，對任何實數
和任何實數
，都有
(Ⅰ)證明
；(Ⅱ)證明
其中
和
均為常數；
(Ⅲ)當(Ⅱ)中的
時，設
，討論
在
內的單調性并求極值。
證明(Ⅰ)令
，則
，∵，∴。
(Ⅱ)①令
，∵，∴
，則
。
假設
時，
，則
，而
，∴，即成立。
②令
，∵，∴
，
假設時，
，則
，而
，∴，即成立。∴成立。
(Ⅲ)當時，
，
令
，得
；
當
時，
，∴
是單調遞減函數；
當
時，
，∴是單調遞增函數；
所以當
時，函數在內取得極小值，極小值為
(21)(本大題滿分12分)數列
的前
項和為
，已知
(Ⅰ)寫出與
的遞推關系式
，并求關于的表達式；
(Ⅱ)設
，求數列
的前項和
。
解：由
得：
，即
，所以
，對
成立。
由，
，…，
相加得：
，又
，所以
，當
時，也成立。
(Ⅱ)由
，得
。
而
，
，
(22)(本大題滿分14分)如圖，F為雙曲線C：
的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，
為坐標原點。已知四邊形
為平行四邊形，
。
(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率
與
的關系式；
(Ⅱ)當
時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若
，求此時的雙曲線方程。
解：∵四邊形是
，∴
，作雙曲線的右準線交PM于H，則
，又
，
。
(Ⅱ)當時，
，
，
，雙曲線為
四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為
，則直線AB的方程為
，代入到雙曲線方程得：
，
又，由
得：
，解得
，則
，所以
為所求。
(13)設常數，
展開式中
的系數為
，則
_____。
解：
，由
，所以
，所以為1。
(14)在
中，
，M為BC的中點，則
_______。(用
表示)
解：
，
，所以
。
(15)函數對于任意實數滿足條件
，若
則
__________。
解：由得
，所以
，則
。
(16)多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面
內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上結論正確的為______________。(寫出所有正確結論的編號)
解：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的距離為
，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點到平面的距離為
，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點，所以選①③④⑤。
(1)復數
等于( )
A．
B．
C．
D．
解：
故選A
(2)設集合
，
，則
等于( )
A．
B．
C．
D．
解：
，
，所以
，故選B。
(3)若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則
的值為( )
A．
B．
C．
D．
解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則
，故選D。
(4)設
，已知命題
；命題
，則是
成立的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解：命題是命題等號成立的條件，故選B。
(5)函數
的反函數是( )
A．
B．
C．
D．
解：有關分段函數的反函數的求法，選C。
(6)將函數
的圖象按向量
平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應函數的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
解：將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應的解析式為
，由圖象知，
，所以
，因此選C。
(7)若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則的方程為( )
A．
B．
C．
D．
解：與直線垂直的直線為
，即在某一點的導數為4，而
，所以在(1，1)處導數為4，此點的切線為，故選A
(8)設，對于函數
，下列結論正確的是( )
A．有最大值而無最小值 B．有最小值而無最大值
C．有最大值且有最小值 D．既無最大值又無最小值
解：令
，則函數的值域為函數
的值域，又，所以是一個減函減，故選B。
(9)表面積為
的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為
A．
B．
C．
D．
解：此正八面體是每個面的邊長均為
的正三角形，所以由
知，
，則此球的直徑為
，故選A。
(10)如果實數
滿足條件
，那么
的最大值為( )
A．
B．
C．
D．
解：當直線
過點(0，-1)時，
最大，故選B。
(11)如果
的三個內角的余弦值分別等于
的三個內角的正弦值，則( )
A．和都是銳角三角形 B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解：的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由
，得
，那么，
，所以是鈍角三角形。故選D。
(12)在正方體上任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為( )
A．
B．
C．
D．
解：在正方體上任選3個頂點連成三角形可得
個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線)，共有24個，得
，所以選C。
2006年普通高等學校招生全國統一考試(安徽卷)理科數學
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。
(17)、(本大題滿分12分)
已知
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值。
(18)、(本大題滿分12分)
在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。
(Ⅰ)寫出的分布列；(以列表的形式給出結論，不必寫計算過程)
(Ⅱ)求的數學期望。(要求寫出計算過程或說明道理)
(19)、(本大題滿分12分)
如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。
(Ⅰ)證明⊥；
(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。
(20)、(本大題滿分12分)
已知函數在R上有定義，對任何實數和任何實數，都有
(Ⅰ)證明；
，
(Ⅱ)證明
其中和均為常數；
，
(Ⅲ)當(Ⅱ)中的時，設，討論在內的單調性并求極值。
(21)、(本大題滿分12分)
數列的前項和為，已知
(Ⅰ)寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；
(Ⅱ)設，求數列的前項和。
(22)、(本大題滿分14分)
如圖，F為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。
(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率與的關系式；
(Ⅱ)當時，經過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。
普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
參考公式：
如果時間A、B互斥，那么
如果時間A、B相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
球的表面積公式
，其中R表示球的半徑
球的體積公式
，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
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