4.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)=40Q-
Q2，則總利潤L(Q)的最大值是 萬元.
答案 2 500
例1如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b<a),在AB，AD，CD，CB上分別截取AE，AH，CG，CF都等于x，當x為何值時，四邊形EFGH的面積最大？并求出最大面積.
解 設四邊形EFGH的面積為S，
則S△AEH=S△CFG=
x2,
S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x)，
∴S=ab-2［
2+(a-x)(b-x)］
=-2x2+(a+b)x=-2(x-
2+
由圖形知函數(shù)的定義域為{x|0<x≤b}.
又0<b<a,∴0<b<
,若
≤b,即a≤3b時，
則當x=時，S有最大值
;
若>b,即a>3b時，
S(x)在(0,b］上是增函數(shù)，
此時當x=b時，S有最大值為
-2(b-)2+=ab-b2,
綜上可知，當a≤3b，x=時，
四邊形面積Smax=,
當a>3b，x=b時，四邊形面積Smax=ab-b2.
例2據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度
v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t，0)作橫軸
的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過
的路程s(km).
(1)當t=4時，求s的值；
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由.
解 (1)由圖象可知：
當t=4時，v=3×4=12,
∴s=×4×12=24.
(2)當0≤t≤10時，s=·t·3t=
t2，
當10<t≤20時，s=×10×30+30(t-10)=30t-150；
當20<t≤35時，s=×10×30+10×30+(t-20)×30-×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550.
綜上可知s=
(3)∵t∈［0，10］時，smax=×102=150<650.
t∈(10，20］時，smax=30×20-150=450<650.
∴當t∈(20，35］時，令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,∵20<t≤35,
∴t=30，所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.
例3(12分)1999年10月12日“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前.
(1)世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？
(2)我國人口在1998年底達到12.48億，若將人口平均增長率控制在1%以內(nèi)，我國人口在2008年底至多有多少億？
以下數(shù)據(jù)供計算時使用：
|
l
數(shù)N |
l
1.010 |
l
1.015 |
l
1.017 |
l
1.310 |
l
2.000 |
|
l
對數(shù)lgN |
l
0.004 3 |
l
0.006 5 |
l
0.007 3 |
l
0.117 3 |
l
0.301 0 |
|
l
數(shù)N |
l
3.000 |
l
5.000 |
l
12.48 |
l
13.11 |
l
13.78 |
|
l
對數(shù)lgN |
l
0.477 1 |
l
0.699 0 |
l
1.096 2 |
l
1.117 6 |
l
1.139 2 |
解 (1)設每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，
則y·(1+x)n=60，則當n=40時，y=30，
即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 4分
兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，
則lg(1+x)=
=0.007 525，
∴1+x≈1.017，得x=1.7%. 8分
(2)依題意，y≤12.48(1+1%)10?，
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,
∴y≤13.78，故人口至多有13.78億. 11分
答 每年人口平均增長率為1.7%，2008年底人口至多有13.78億. 12分
3.已知光線每通過一塊玻璃板，光線的強度要損失10%，要使通過玻璃板的光線的強度減弱到原來強度的
以下，則至少需要重疊玻璃板數(shù)為 (
)
A.8塊 B.9塊 C.10塊 D.11塊
答案 D
2.我國為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調控，除了應征稅外還要征收附加稅，已知某種酒每瓶售價為70元，不收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶，若每銷售100元國家要征附加稅為x元(稅率x%)，則每年銷售量減少10x萬瓶，為了要使每年在此項經(jīng)營中收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值為 ( )
A.2 B.6 C.8 D.10
答案?A?
1.一等腰三角形的周長是20，底邊y是關于腰長x的函數(shù)，它的解析式為 ( )
A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x＜10)
C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5＜x＜10)
答案?D
12.已知a、b是不全為0的實數(shù)，求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0在(0，1)內(nèi)一定有實根.
證明 若a=0時，則b≠0，
此時方程的根為x=，滿足題意.
當a≠0時，令f(x)=3ax2+2bx-(a+b).
(1)若a(a+b)<0,
則f(0)·f()=-(a+b)·(-
a)=a(a+b)<0，
所以f(x)在區(qū)間(0,
內(nèi)有一實根.
(2)若a(a+b)≥0，
則f(f(1)=(-
)(2a+b)
=-a2-a(a+b)<0，
所以f(x)在區(qū)間(，1)內(nèi)有一實根.
綜上所述，方程3ax2+2bx-(a+b)=0在(0，1)內(nèi)一定有實根.
§2.8 函數(shù)模型及其應用
基礎自測
11.關于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在區(qū)間［0，2］上有解，求實數(shù)m的取值范圍.
解 設f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在區(qū)間［0，2］上有一解，
∵f(0)=1>0,則應有f(2)≤0,
又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤-.
②若f(x)=0在區(qū)間［0,2］上有兩解,則
由①②可知m≤-1.
10.若關于x的方程3x2-5x+a=0的一個根在(-2，0)內(nèi)，另一個根在(1，3)內(nèi)，求a的取值范圍.
解 設f(x)=3x2-5x+a,則f(x)為開口向上的拋物線(如圖所示).
∵f(x)=0的兩根分別在區(qū)間(-2，0)，(1，3)內(nèi)，
∴
即
解得-12<a<0.所求a的取值范圍是(-12，0).
9.已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間［-1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍.
解 二次函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0的否定是對于區(qū)間［-1，1］內(nèi)的任意一個x都有f(x)≤0,
∴
即
整理得：
解得：p
或p
.
∴二次函數(shù)在區(qū)間［-1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0的實數(shù)p的取值范圍是(-3,
8.關于x的實系數(shù)方程x2-ax+2b=0的一根在區(qū)間［0，1］上，另一根在區(qū)間［1，2］上，則2a+3b的最大
值為 .
答案 9
7.若函數(shù)f(x)=x2-ax-b的兩個零點是2和3,則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點是 .
答案 -，-
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