學習指導與練習基礎模塊
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（一）填空題
1. 方程$x^{2}+6x+9=0$的解集中的元素有______.
答案：-3
方程$x^{2}+6x+9=0$可化為$(x+3)^{2}=0$，解得$x=-3$，故解集中的元素為$-3$。
2. 設集合A是由所有的矩形組成的集合，則正方形______A(用符號“∈”或“?”填空).
答案：∈
正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性質，所以正方形屬于集合A。
（二）選擇題
1. 下列說法正確的有( ).
①$2∈N$;②$\frac {1}{4}∈Q$;③$\sqrt {2}+1∈Q$;④$-3?Z$;⑤$\frac {\sqrt {9}}{3}∈N^{*}$.
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
答案：B
①$N$為自然數集，$2$是自然數，所以$2∈N$，正確；②$Q$為有理數集，$\frac{1}{4}$是有理數，所以$\frac{1}{4}∈Q$，正確；③$\sqrt{2}$是無理數，所以$\sqrt{2}+1$是無理數，$?Q$，錯誤；④$Z$為整數集，$-3$是整數，所以$-3∈Z$，錯誤；⑤$\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$，$N^{*}$為正整數集，$1∈N^{*}$，正確。綜上，正確的有①②⑤，共3個，答案選C。
2. 若集合A中的元素y滿足關系式$y=2k+1$,其中$k∈Z$,則下列選項正確的是( ).
A. $-1∈A$
B. $0∈A$
C. $2∈A$
D. $\frac {1}{3}∈A$
答案：A
A. 令$2k+1=-1$，解得$k=-1$，$-1∈Z$，所以$-1∈A$，正確；B. 令$2k+1=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}?Z$，所以$0?A$，錯誤；C. 令$2k+1=2$，解得$k=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}?Z$，所以$2?A$，錯誤；D. $\frac{1}{3}$不是整數，且令$2k+1=\frac{1}{3}$，解得$k=-\frac{1}{3}$，$-\frac{1}{3}?Z$，所以$\frac{1}{3}?A$，錯誤。答案選A。
（三）解答題
設方程$2x^{2}+x-1=0$的解集為集合A,判斷集合A中元素的個數,并寫出A中的元素.
答案：集合A中有2個元素，分別為$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-1$。
對于方程$2x^{2}+x-1=0$，判別式$\Delta=1^{2}-4×2×(-1)=1 + 8=9＞0$，所以方程有兩個不相等的實數根。
由求根公式可得$x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2×2}=\frac{-1\pm3}{4}$，即$x_1=\frac{-1 + 3}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{-1 - 3}{4}=-1$，所以集合A中有2個元素，$A=\{\frac{1}{2},-1\}$。
四、拓展延伸
設集合A是方程$x^{2}-2x+a=0$所有的解組成的集合.
(1) 若$1∈A$,求實數a的值;
答案：1
因為$1∈A$，所以將$x=1$代入方程$x^{2}-2x+a=0$，得$1 - 2 + a=0$，解得$a=1$。
(2) 若A為?,求實數a的取值范圍;
答案：$a＞1$
集合A為空集，即方程$x^{2}-2x+a=0$無實數解，判別式$\Delta=(-2)^{2}-4×1× a=4 - 4a＜0$，解得$a＞1$。
(3) 若A中有兩個不同的元素,求實數a的取值范圍.
答案：$a＜1$
集合A中有兩個不同元素，即方程$x^{2}-2x+a=0$有兩個不相等的實數解，判別式$\Delta=4 - 4a＞0$，解得$a＜1$。
