同步解析與測評學考練高中數學人教版
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1.若$ a,b \in \mathbf{R} $，且$ a^2 + b^2 \neq 0 $，則①$ a,b $全為零；②$ a,b $不全為零；③$ a,b $全不為零；④$ a,b $至少有一個不為零。其中真命題的個數為（
C
）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：②④為真，①③為假。
2.下列語句不是全稱量詞命題的是（
C
）
A.任何一個實數乘以零都等于零
B.自然數都是正整數
C.高二(1)班絕大多數同學是團員
D.每一個三角形的內角和都等于$ 180° $
答案：C
解析：“絕大多數”不是全稱量詞。
3.下列存在量詞命題中：①有的實數是無限不循環小數；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形，假命題的個數是（
A
）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
解析：①②③均為真命題。
4.若命題“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ 2x^2 + (2a - 1)x + \frac{1}{2}a^2 ＞ 0 $”是真命題，則實數$ a $的取值范圍是
$\left( \frac{1}{4}, +\infty \right)$
。
答案：$ \left( \frac{1}{4}, +\infty \right) $
解析：$ \Delta = (2a - 1)^2 - 4 × 2 × \frac{1}{2}a^2 = -4a + 1 ＜ 0 \Rightarrow a ＞ \frac{1}{4} $。
5.用量詞符號“$ \forall $”“$ \exists $”表達下列命題：
(1)
$ \forall x \in \mathbf{Q} $，$ \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbf{Q} $
；
(2)
$ \exists \alpha,\beta \in \mathbf{R} $，$ \alpha + \beta = \alpha\beta $
；
(3)
$ \exists x,y \in \mathbf{Z} $，$ 3x - 2y = 10 $
；
(4)
$ \forall a,b \in \mathbf{R} $，方程$ ax + b = 0 $恰有一個解
。
答案：解：(1)$ \forall x \in \mathbf{Q} $，$ \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 \in \mathbf{Q} $。
(2)$ \exists \alpha,\beta \in \mathbf{R} $，$ \alpha + \beta = \alpha\beta $。
(3)$ \exists x,y \in \mathbf{Z} $，$ 3x - 2y = 10 $。
(4)$ \forall a,b \in \mathbf{R} $，方程$ ax + b = 0 $恰有一個解。
6.下列四個命題：
①沒有一個無理數不是實數；
②任何一個非空集合的真子集都不包含它本身；
③至少存在一個整數$ x $，使得$ x^2 - x + 1 $是整數；
④對任意的實數$ x $，都有$ x^2 + 2x + 3 ＞ 0 $。
其中是真命題的為（
A
）
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
答案：A
解析：①無理數是實數；②真子集不包含本身；③$ x = 1 $時成立；④$ \Delta = -8 ＜0 $。
7.若“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^2 + 2x + m ＞ 0 $”是真命題，則實數$ m $的取值范圍是
$(1, +\infty)$
.
答案：$ (1, +\infty) $
解析：$ \Delta = 4 - 4m ＜ 0 \Rightarrow m ＞ 1 $。
8.判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：
(1)凸多邊形的外角和等于$ 360° $；
(2)有的字母不能表示一個未知數；
(3)有一個函數是一次函數，且它的圖像過原點；
(4)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直。
答案：解：(1)全稱量詞命題。
(2)存在量詞命題。
(3)存在量詞命題。
(4)全稱量詞命題（隱含“所有”）。
9.多選題 有下列四個命題，其中為真命題的是（
ACD
）
A.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ 2x^2 - 3x + 4 ＞ 0 $
B.$ \forall x \in \{1, -1, 0\} $，$ 2x + 1 ＞ 0 $
C.$ \exists x \in \mathbf{N} $，$ x^2 \leq x $
D.$ \exists x \in \mathbf{N}^* $，使$ x $為$ 29 $的因數
答案：ACD
解析：A.$ \Delta = 9 - 32 ＜0 $；B.$ x = -1 $時$ 2x + 1 = -1 ＜0 $；C.$ x = 0 $或$ 1 $；D.$ x = 1 $或$ 29 $。
