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1、了解函數模型的含義及建立函數模型的總體思路

2、掌握建立函數模型的方法及應用的步驟

【教學重點】利用數學模型解決實際問題。

【教學難點】分析實際問題的數量關系，建立合適的函數模型。

【教學流程】

解：【方法一】（26-14.1）÷0.7×100＝1700（米）

答：山高1700米

說明：這一方法實質是用的小學的算術方法

【方法二】設山高為x米，則×0.7=26-14.1,x=1700     答：山高1700米

說明：這一方法是通過方程求解。

【方法三】設x米處溫度為f(x),則f(x)=26-×0.7(x>0)  f(x)=14.1,x=1700答：山高1700米

說明：這一方法是通過函數求解。

總體說明：1、由于所以將不等式、方程、函數統稱函數模型。這樣解答應用題的具體步驟及思路為：

（用函數模型思路解題步驟是：設??列??解??答）

2、以上直接通過設未知量得到關系式再求解，稱直接法

練習1、某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不超過，若初時含雜質，每過濾一次可使雜質含量減少，問至少應過濾幾次才能使產品達到市場需求？

(已知)

（解：每過濾一次可使雜質含量減少，則雜質含量降為原來的，那么過濾次后雜質含量為，結合按市場要求雜質含量不能超過， 則有即則故，

   又，故，即至少要過濾次才能達到市場要求。）

練習2、某商人進貨已經按原價a扣去25%,他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利20％銷售后仍然能獲得售價25％的純利，則此商人經營這種貨物的件數x與按新價讓利總額y的關系式是什么？

解：設新價為t,則，t=,y=20%tx=(x>0)

例2、國家收購某種農副產品的價格是120元/擔，征稅標準為8％，計劃可以收購m萬擔。為了減輕農民負擔，決定調節稅率降低x%，預計收購量可以增加2x%

(1)寫出稅收y（萬元）與x的函數關系式；（2）使此項稅收在稅率調節后等于元計劃的78％，請確定x的值

分析：由于給出的信息比較多，建一個表格，將基本信息列出，有：

時間段

征稅

收購（萬擔）

收購價（元/擔）

調節前

8％

m

120

調節后

(8-x)%

m(1+2x%)

120

于是

解：（1）y=(8-x)%m(1+2x%)120=(100+2x)(8-x)  (0<x≤8)

（2）y=120×8％m×78％(8-x)%m(1+2x%)120=120×8％m×78％x²+42x-88=0,0<x≤8，x=2

說明：對于信息量比較大又有對比度的情況，列表來建立各數量關系，稱列表法

例3、張先生買了一部手機，欲使用“神州行”卡或“中國聯通130網” 各種收費標準如下

類別

月租（元）

本地費用（元/分）

長話（元/6分）

中國聯通130網

12

0.36

0.06

神州行

0

0.6

0.07

若張先生每月撥打本地話費的時間是長途話費的5倍，且每月通話時間在(40,50)分鐘之間，則他選擇哪種比較合算？

解：設本地為x分，則長話時間為5x，中國聯通130網話費為f(x),神州行為g(x),則f(x)=12+0.36x+0.06×＝x+12,g(x)=0.6x+0.07×＝，x+5x∈(40,50),<x<,作出圖象（或計算可知g(x)<f(x)）故他宜選用神州行卡

說明：可以通過圖象來反應函數關系稱圖象法

2、函數模型包括函數本身，還包括方程與不等式

3、建立函數模型的具體技巧有：直接法、列表法、圖象法

【補充作業】

1、某家報刊售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.50元，賣不掉的報紙還可以每份0.08元的價格退回報社。在一個月(30天)里，有20天每天可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份。設每天從報社買進的報紙的數量相同，則應該每天從報社買進_______份，才能使每月所獲的利潤最大,最多可賺得_______元？

2、節日某商場舉行“買100送20連環送”活動，即：顧客購物每滿100元，就可以獲增商場20元的購物卷。若某人有680元現金在活動區間到此商場購物，最多可以獲得商場購物卷使用累計___________元。

3、某電腦用戶不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買兩盒，則不同的選購方式有________種。

4、甲乙兩種商品，甲商品供不應求，連續兩次提價10％；乙商品滯銷連續兩次降價10％，最后甲乙都以9801元售出，則與總原價比較，________（填“多”或“少”）賺了_______元

5、某地的物價從1967年的100增加到2006年的500，則年平均增長率為________(精確到小數點后兩位，參考數據及式子：ln(x+1)≈x,lg2≈0.3,ln10≈2.3)

6、為了保護環境，某廠投資50萬元建成一個處理系統，把污染環境的廢料變為有用的生產原料。如果每月用2萬元的成本進行生產，那么生產收入(單位：萬元)與生產時間t(單位：月)的關系為，問： (1)最少需經過幾個月，生產收入與總投入基本平衡？()； (2)經過幾個月可獲得最大利潤？

7、某租賃公司擁有汽車100輛，當每月的月租金為3000元時，可以全部租出；當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車輛會增加一輛。租出的車輛每月需要維護費150元，未租出的車輛每月需要維護費50元。（1）當每月月租金為3600元時，能租出多少輛？（2）每月月租金為多少元時，租賃公司月收益最大？最大月收益是多少？

8*、某企來生產一種機器的固定成本(即固定投入)為萬元，但每生產1百臺時，又需可變成本(即另增加投入)萬元，市場對此商品的年需求量為5百臺，銷售的收入(單位:萬元)函數為，其中是產品生產的數量

(單位：百臺) (1)求利潤表示為產量的函數； (2)年產量是多少時，企業所得的利潤最大？ (3)年產量是多少時，企業才不虧本？

   【解答】

1、設每天應從報社買進份，易知。設每月賺元，得

＝0.3x+1150↑所以，可知每天應從報社買進400份報紙，獲得利潤最大，每月可賺1170元

2、160

3、7

4、9801×2－（＋）＝－598，少，598

5、100(1+x)⁴⁰=500,40ln(1+x)=ln5,lg5=,40x=ln10lg5=2.3(1-lg2),x≈0.04=4%

6、解：設生產t個月可得利潤為

  設，則

(1)要使生產收入與總投入基本平衡，即使，令得，

解得(舍去)由得即最少要經過4個月，生產收入與總投入基本平衡。

(2)由知，時，，由時，即經過個月，可獲得最大利潤萬元。

7、（1）100－＝88（輛）

（2）設租金為x元，則未租出的為輛，月收益y=（100－）（x-150）-×50＝－(x-4050)²+307050,x=4050時，y_max=307050

答：當每月月租金為3600元時，能租出88輛？（2）每月月租金為4050元時，租賃公司月收益最大，最大月收益是307050元

8*、解：(1)利潤函數

(2)當時，，

當時，(萬元)；

當時，函數是遞減函數，則(萬元)。

。

答：當年產量是百臺時，利潤最大。

(3)企業不虧本，即

  或

  解得，或，其中，

  。

  答：即企業年產量在臺到臺之間時，企業不虧本。

              2.6函數模型及應用（2）??函數模型應用與比較

【教學目標】

2、函數模型不惟一時，需要比較找出誤差最小的模型來進行

【教學難點】數據的擬合

【教學重點】函數模型的比較

【教學流程】

(1)設一次訂購量為件，服裝的實際出廠單價為元，寫出函數的表達式；

(2)當銷售商一次訂購了件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？(服裝廠售出一件服裝的利潤=實際出廠單價-成本)

解：（1）p=f(x)=

(2)x=450時，p=51,利潤為(p-40)x=4950（元）

答：當銷售商一次訂購了件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是4950元

解函數應用題一定要注意函數的定義域

練習：某商場在近30天內的銷售價格P（元）與時間t(天)的函數關系是：

P=,該商品的日銷售量Q（件）與天數函數關系是Q=-t+40,0<t≤30，t∈N^*,求這種商品的日銷售額的最大值，并指出是哪一天銷售額最大？

（答案：y=QP=,t=10時y_極大＝900；t=25時，y_極大＝1125；當第25天時，日銷售額最大為1125元）

例2、在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a₁，a₂，…a_n共n個數據，我們規定所測量物理量的“最佳近似值” a是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數據的差的平方和最小．依此規定，從a₁，a₂，…，a_n求出a的值

解：根據題意，求x=? 時，y=(x-a₁)²+(x-a₂)²+……+(x-a_n)²=nx²-2(a₁+a₂+……+a_n)x+

a₁²+a₂²+……+a_n²,當x=時，y最小，所以a=

     說明：應用題的關鍵是讀懂題意

例3、下表是某款車的車速與剎車后停車距離，試分別就三種函數關系建立數學模型，并探討最佳模擬，根據最佳模擬求車速為時的剎車距離。

車速(km/h)

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

停車距離(m)

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

解：【方法一】若以為模擬函數，將代入函數關系式，得

，解得，

以此函數式計算車速為，時，停車距離分別為，與實際數據相比，誤差較大。

若以為模擬函數，將代入函數式，得y=0.3251x^1.09,其他誤差也比較大

解得，

以此函數式計算車速為時，停車距離分別為，與前兩個相比，它比較符合實際情況。

當時，。即當車速為時，停依次車距離為。

    【方法二】用數據曲線擬合：先在Excell中輸入數據→選中數據區→插入/圖表/圖表類型/散點圖/完成→對準描出的某一點右擊/添加趨勢線/選指數、乘冪、多項式

10

15

30

40

50

60

70

80

90

100

4

7

12

18

25

34

43

54

66

80

→選項/顯示公式和顯示R²的值→確定   R²越接近1，擬合的越好，所以選擇多項式模型y=0.0064x²+0.1256x+2.7374

說明：選擇哪個函數模型，主要考慮其誤差最小

練習：某公司今年一月份推出新產品，成本為元/件，經試銷調查，銷售量與銷售價的關系如下表：

銷售價(元/件)

650

662

720

800

900

銷售量/件

350

333

281

200

100

(1)在直角坐標系中，根據表中提供的數據描出實數對的對應點，并確定與 的一個函數關系式

(2)設經營此產品的月銷售利潤為元，根據上述關系寫出關于的函數關系，并指出當銷售單價為多少元時，才能獲得最大利潤。

((1)

650

350

662

333

720

281

800

200

900

100

近似在一條直線上取后兩組，有f(x)=100-x  x∈N^*

(2)S=(1000-x)(x-400)=-x²+1400x-400000,當x=700時利潤最大)

2、函數模型未必惟一，這時需要比較哪個更合適，一般找出一個，檢驗誤差最小；也可以舉行數據擬合，取回歸系數R²最接近1者

【補充作業】

1、某物體一天的溫度T（⁰C）是時間t（時）的函數，T(t)=t³-6t+60，t=0表示12：00，其后t取正，則上午8時的溫度是___________

2、有一塊“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如圖示，要用此建一座地基為長方形的建筑物，地基面積最大是______________

3、通過研究一組學生的學習行為，心理學家發現在課堂里學生接受一個概念的那里與教室在引入概念之前提出和描述問題的時間有關。分析結果表明學生接受概念的能力的經驗公式為G(x)=-0.1x²+2.6x+43,x∈(0,45),其中x表示提出和描述問題的時間（單位：分鐘），G(x)是一個接受能力的度量。則當_______________時間時，學生接受能力最強。

4、《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民全月工資、薪金所得不超過1600元的部分不必納稅，超過1600元的部分為全月應納稅所得額．此項稅款按下表分段累進計算：

全月應納稅所得額

稅率

不超過500元的部分

5%

超過500元至2000元的部分

10%

超過2000元至5000元的部分

15%

…

…

某人一月份應交納此項稅款26.78元，則他的當月工資、薪金所得為__________

5、假設你有一筆資金用于投資，投資時間1個月，現在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案

回報

一

每天回報40元

二

第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元

三

第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番

若以每天回報作為衡量標準，你應選用方案____________投資

6、根據市場調查，某商品在最近的40天內的銷售價格f(t)與時間t滿足關系f(t)=

,銷售量g(t)與時間t滿足關系g(t)=-t+,0≤t≤40，t∈N^*,求這種商品的日銷售額的最大值

 7、甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，且比例系數為b；固定部分為a元．

(Ⅰ)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數，并指出這個函數的定義域；

(Ⅱ)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

8*、(1)校團委帶領學生深入食堂調查學校購買大米的情況，發現問題：

①大米貯存在倉庫的費用為每天每噸2元。

②學校有兩千多人，食堂每天約需大米1噸，現市場價每公斤大米元。

③每隔一定的天數，食堂管理員去買一次大米，運費為元。

(2)食堂管理員遇到三個問題：

①每次購買大米后到用完最后1噸大米的倉庫貯存費用能否用數學解析式表示？(假定食堂每次是在用完最后一噸大米的當天購買)

②食堂應隔多少天購買一次大米，才能使平均每天支付的總費用最少？

③供糧公司提出價格優惠條件，一次購買量不少于噸，米價可為原米價的95%，食堂能否接受此條件？

【答案】

1、20^）C

2、720

3、13分鐘

4、2357.8元

5、三

6、H(x)=f(x)g(x)=,當t=10或11時，h_max(t)=176,答：這種商品的日銷售額的最大值為176元

7、(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運輸成本為

 y=a?+bv²?=S(+bv)故所求函數及其定義域為 y = S(+bv)，v∈

 (Ⅱ)依題意知S、a、b、v都為正數，故有y = Sb(+v),f(v)=+v在(0,]↓，在[,+∞)↑  故若，則當時，全程運輸成本y最小．

若，當時，有也即當v=c時，全程運輸成本y最小．

綜上知，為使全程運輸成本y最小，當時行駛速度應為；當時行駛速度應為c．

8*、建模1  設每隔天購買一次大米，則一次購進噸米，進米第一天的倉庫貯存費用為，進米第二天的倉庫貯存費用為

    最后一天的倉庫貯存費用為，則大米貯存在倉庫的費用為

建模2  設食堂平均每天支付的總費用為，則

令，則在上單調遞增，在上單調遞減。

當且僅當，即時，等號成立，故每隔天購買一次大米，能使食

堂平均每天支付的總費用最少。

建模3  設食堂接受價格優惠條件后，每天支付的總費用為，則

       ，

令，設則

在上單調遞增。

    故當時，的最小值為元，由于，所以學校食堂能接受價格優惠條件。