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1、(廣東省廣州執信中學、中山紀念中學、深圳外國語學校三校期末聯考)設、分別是橢圓的左、右焦點.

（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

   （Ⅱ）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.

解：（Ⅰ）易知

設P（x，y），則

，

，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；

當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4

（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l易知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k

直線l的方程為

由方程組

依題意

當時，設交點C，CD的中點為R，

則

又|F₂C|=|F₂D|

∴20k²=20k²－4，而20k²=20k²－4不成立，   所以不存在直線，使得|F₂C|=|F₂D|

綜上所述，不存在直線l，使得|F₂C|=|F₂D|

2、(江蘇省啟東中學高三綜合測試二)已知動圓過定點P（1，0），且與定直線L:x=-1相切，點C在l上.

(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；

（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由

（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.

解：(1)依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y²=4x.

假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

，

，

∠CAB為鈍角.

.  

該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是:

.

解法二： 以AB為直徑的圓的方程為:

.

當直線l上的C點與G重合時，∠ACB為直角，當C與G 點不重合，且A，

B，C三點不共線時， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

.

.

A，B，C三點共 線，不構成三角形.

因此，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是：

3、(江蘇省啟東中學高三綜合測試三)（1）在雙曲線xy=1上任取不同三點A、B、C，證明：ㄓABC的垂心H也在該雙曲線上；

（2）若正三角形ABC的一個頂點為C(?1,?1)，另兩個頂點A、B在雙曲線xy=1另一支上，求頂點A、B的坐標。

解：（1）略；（2）A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－)

4、(江蘇省啟東中學高三綜合測試四)已知以向量v=(1, )為方向向量的直線l過點(0, )，拋物線C：(p>0)的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線上．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若(O為原點，A、B異于原點)，試求點N的軌跡方程．

解：（Ⅰ）由題意可得直線l：     ①

過原點垂直于l的直線方程為     ②

解①②得．

∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．

∴，

∴拋物線C的方程為．

（Ⅱ）設，，，

由，得．

又，．

解得      ③

直線ON：，即      ④

由③、④及得，

點N的軌跡方程為．

5、(安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯考)已知線段AB過軸上一點，斜率為，兩端點A，B到軸距離之差為，

（1）求以O為頂點，軸為對稱軸，且過A，B兩點的拋物線方程；

（2）設Q為拋物線準線上任意一點，過Q作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線MN過一定點；

解：（1）設拋物線方程為，AB的方程為，

聯立消整理，得；∴，

又依題有，∴，∴拋物線方程為；

（2）設，，，∵，

∴的方程為；

∵過，∴，同理

∴為方程的兩個根；∴；

又，∴的方程為

∴，顯然直線過點

6、(江西省五校2008屆高三開學聯考)已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

   （I）求點G的軌跡C的方程；

   （II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN

    GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|                       

       ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長，半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是 ………5分

   （2）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形

    若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

    若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

    矛盾，故l的斜率存在. ………7分

    設l的方程為

       ①

       ②   ……………9分  

    把①、②代入

    ∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等.

7、(安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y=x²的焦點，離心率等于.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若=λ₁，=λ₂，求證λ₁+λ₂為定值.

解：（I）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………5分

   （II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為

易知F點的坐標為（2，0）.

將A點坐標代入到橢圓方程中，得

去分母整理得 …………………………………………10分

       …………………………………………………………12分

方法二：設A、B、M點的坐標分別為又易知F點的坐標為（2，0）.

顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

      ……………………………………7分

     ……………………………………8分

又

8、(安徽省巢湖市2008屆高三第二次教學質量檢測)已知點R（－3,0）,點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上 ,且滿足，.

（Ⅰ）⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設為軌跡C上兩點，且，N(1,0)，求實數，使，且.

解：(Ⅰ)設點M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)?(，)＝0,即

又點Q在x軸的正半軸上，故點M的軌跡C的方程是.……6分

（Ⅱ）解法一：由題意可知N為拋物線C:y²＝4x的焦點，且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點。

當直線AB斜率不存在時，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合題意；………7分

當直線AB斜率存在且不為0時，設，代入得

則|AB|,解得           …………………10分

       代入原方程得，由于，所以,

       由，得  .              ……………………13分

解法二：由題設條件得

由（6）、（7）解得或，又，故.

9、(北京市朝陽區2008年高三數學一模)已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.

（Ⅰ）求橢圓W的方程；

（Ⅱ）求證： ()；

（Ⅲ）求面積的最大值.

解：（Ⅰ）設橢圓W的方程為，由題意可知

解得，，，

所以橢圓W的方程為．……………………………………………4分

（Ⅱ）解法1：因為左準線方程為，所以點坐標為.于是可設直線 的方程為．

得.

由直線與橢圓W交于、兩點，可知

，解得．

設點，的坐標分別為，,

則，，，．

因為，，

所以，.

又因為

，

所以．    ……………………………………………………………10分

解法2：因為左準線方程為，所以點坐標為.

于是可設直線的方程為，點，的坐標分別為，,

則點的坐標為，，．

由橢圓的第二定義可得

,

所以，，三點共線，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由題意知

     ，

當且僅當時“=”成立，

所以面積的最大值為．

10、(北京市崇文區2008年高三統一練習一)已知拋物線，點P（1，－1）在拋物線C上，過點P作斜率為k₁、k₂的兩條直線，分別交拋物線C于異于點P的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且滿足k₁+k₂=0.

   （I）求拋物線C的焦點坐標；

   （II）若點M滿足，求點M的軌跡方程.

解：（I）將P（1，－1）代入拋物線C的方程得a=－1，

    ∴拋物線C的方程為，即

    焦點坐標為F（0，－）.……………………………………4分

   （II）設直線PA的方程為，

    聯立方程消去y得

    則

    由………………7分

    同理直線PB的方程為

    聯立方程消去y得

    則

    又…………………………9分

    設點M的坐標為（x，y），由

    又…………………………………………11分

    ∴所求M的軌跡方程為：

11、(北京市東城區2008年高三綜合練習一）已知定圓圓心為A，動圓M過點B(1,0)且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C.

   （I）求曲線C的方程；

   （II）若點為曲線C上一點，求證：直線與曲線C有且只有一個交點.

解：（I）圓A的圓心為，

設動圓M的圓心

由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，

故|MA|=r₁―r₂，即|MA|+|MB|=4，

所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，

設橢圓方程為，由

故曲線C的方程為                                …………6分

   （II）當，

消去    ①

由點為曲線C上一點，

于是方程①可以化簡為 解得，

綜上，直線l與曲線C有且只有一個交點，且交點為.

12、(北京市東城區2008年高三綜合練習二)已知雙曲線的一條漸近線方程為，兩條準線的距離為l.

   （1）求雙曲線的方程；

   （2）直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M、N，點P為雙曲線上異于M、N的一點，且直線PM，PN的斜率均存在，求k_PM?k_PN的值.

（1）解：依題意有：

可得雙曲線方程為 ………………………………………………6分

   （2）解：設

所以

（Ⅲ）已知點M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由.

    解：(Ⅰ) 設C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………………… 2分

(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

     整理，得.         ①………………………… 5分

     因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

     ，解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分

（Ⅲ）設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

     由①得.                 ②

     又                ③

     因為，， 所以.……………………… 11分

     所以與共線等價于.

     將②③代入上式，解得.

     所以不存在常數k，使得向量與共線.

14、(北京市海淀區2008年高三統一練習一)已知點分別是射線，上的動點，為坐標原點，且的面積為定值2．

（I）求線段中點的軌跡的方程；

（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分點，求此時直線的方程．

解：（I）由題可設，，，其中.

則                                          1分

∵的面積為定值2，

∴.                 2分

，消去，得：．                          4分

由于，∴，所以點的軌跡方程為（x＞0）．

5分

（II）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為．

由消去得：，                    6分

設點、、、的橫坐標分別是、、、，

∴由得                           8分

解之得：．

∴.                       9分

由消去得：，

由消去得：，

∴.                                               10分

由于為的三等分點，∴.                 11分

解之得.                                                   12分

經檢驗，此時恰為的三等分點，故所求直線方程為.

15、(北京市十一學校2008屆高三數學練習題)如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點與拋物線的焦點重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點，與拋物線交于C、D兩點．當直線與x軸垂直時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（II）求過點O、，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；

（Ⅲ）求的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點．

設橢圓的方程：．

解方程組 得C（-1，2），D（1，-2）．

由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，

∴，， ∴ ．        …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故橢圓的方程為 ．                            …………4分

（Ⅱ），

圓過點O、，

圓心M在直線上．

設則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切，

∴

由得解得

所求圓的方程為…………………………8分

（Ⅲ） 由

①若垂直于軸，則，

         ，

         …………………………………………9分

②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為

由    得 

，方程有兩個不等的實數根．

設，.

,   ………………………………11分

         =

，所以當直線垂于軸時，取得最大值

當直線與軸重合時，取得最小值

16、(北京市西城區2008年4月高三抽樣測試)已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.

（Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（Ⅰ）解：

依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，

將代入， 消去整理得    ………….. 2分

設  則    ………….. 4分

由線段中點的橫坐標是，   得，

解得，適合.                                                   ………….. 5分

所以直線的方程為 ，或 .                    ………….. 6分

（Ⅱ）解：

假設在軸上存在點，使為常數.

① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知    

所以

                                    ………….. 8分

將代入，整理得

注意到是與無關的常數， 從而有， 此時  .. 11分

② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，

當時， 亦有                                          ………….. 13分

綜上，在軸上存在定點，使為常數.

17、(北京市西城區2008年5月高三抽樣測試)已知拋物線的方程為，過點的直線與拋物線相交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線和的斜率之積為定值；

（Ⅰ）證明：直線和的斜率之積為定值；

（Ⅱ）求點M的軌跡方程。

解：(I)依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋p

18、(北京市宣武區2008年高三綜合練習一)在面積為9的中，，且。現建立以A點為坐標原點，以的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標系，如圖所示。

(1)求AB、AC所在的直線方程；

(2)求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程；

(3)過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求的值。

解：（1）設

則由

為銳角，

，

AC所在的直線方程為y=2x

AB所在的直線方程為y= -2x…………………………………………….4分

（2）設所求雙曲線為

設，，，

由可得：

，

即 

由，可得，

又， ，

，

即，代入（1）得，

雙曲線方程為…………………………………………………9分

（3）由題設可知，，

設點D為，則

又點D到AB，AC所在直線距離

，，

而=

19、(北京市宣武區2008年高三綜合練習二)已知橢圓的離心率為，且其焦點F（c，0）(c＞0)到相應準線l的距離為3，過焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點。

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設M為右頂點，則直線AM、BM與準線l分別交于P、Q兩點，（P、Q兩點不重合），求證：

解：（1）由題意有 解得

        ∴橢圓的標準方程為 ……………………………………5分

（2）①若直線AB與軸垂直，則直線AB的方程是

∵該橢圓的準線方程為,

∴，， ∴，

∴ ∴當直線AB與軸垂直時，命題成立。

②若直線AB與軸不垂直，則設直線AB的斜率為，

∴直線AB的方程為

又設

聯立 消y得

∴  ∴

又∵A、M、P三點共線，∴ 同理

∴，

∴

綜上所述：

20、(四川省成都市2008屆高中畢業班摸底測試)設雙曲線C：的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q。

   （Ⅰ）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；

   （Ⅱ）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；

   （Ⅲ）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設，若（T為（Ⅰ）中的點）的取值范圍。

解：（Ⅰ）由題，得，設

則

由  …………①

又在雙曲線上，則   …………②

聯立①、②，解得    

由題意，

∴點T的坐標為（2，0）   …………3分

（Ⅱ）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）

由A₁、P、M三點共線，得

   …………③  …………1分

由A₂、Q、M三點共線，得

   …………④  …………1分

聯立③、④，解得    …………1分

∵在雙曲線上，

∴

∴軌跡E的方程為  …………1分

（Ⅲ）容易驗證直線l的斜率不為0。

故可設直線l的方程為  中，得

設

則由根與系數的關系，得  ……⑤

  ……⑥   …………2分

∵ ∴有

將⑤式平方除以⑥式，得

   …………1分

由

  …………1分

∵

又

故

令    ∴，即

∴

而 ，  ∴

∴

21、(東北區三省四市2008年第一次聯合考試)已知中心在原點，左、右頂點A₁、A₂在x軸上，離心率為的雙曲線C經過點P（6,6），動直線l經過△A₁PA₂的重心G與雙曲線C交于不同兩點M、N，Q為線段MN的中點。

（1）求雙曲線C的標準方程

（2）當直線l的斜率為何值時，。

本小題考查雙曲線標準議程中各量之間關系，以及直線與雙曲線的位置關系。

解（1）設雙曲線C的方程為