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1．若函數，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．4　　　　　　　　　　　　 B．－4　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　 D．－1

(17)[解]∵ 　∴　　　　……(4分)

　　于是∠C＝60°，或∠C＝120°.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……(6分)

　　又

　　　　　　　 當　∠C＝60°時，　　　　　　　　 ……(9分)

　　　　　　　 當　∠C＝120°時，　　　……(12分)

(18)　[解法一]由已知　　　　……(4分)

根據直角的不同位置，分兩種情況：

若∠PF₂F₁為直角，則

即　

得　故　　　……(9分)

若∠F₁PF₂為直角，則

即　

得　故　　　……(12分)

[解法二]　由橢圓的對稱性不妨設P(x，y)　(x>0，y>0)，

則由已知可得　　　　　　　　　　　　 　　　　 ……(4分)

根據直角的不同位置，分兩種情況：

若∠PF₂F₁為直角，則

于是故　　　　　……(9分)

若∠F₁PF₂為直角，則，

解得即

于是故　　　　……(12分)

(說明：兩種情況，缺少一種扣3分)

(19)(1)[證明]如圖，以O為原點建立空間直角坐標系。

　　　　　　　 設AE＝BF＝x，則

　　　 A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)

　 　　　　　　　　　　　　　　　 ……(4分)

　∵　

　∴　A’F⊥C’E.

　　　 (2)[解]記BF=x，BE＝y，則　x+y=a，

三棱錐B’－BEF的體積

當且僅當時，等號成立。

因此，三棱錐B’－BEF的體積取得最大值時，　……(10分)

過B作BD⊥EF交EF于D，連B’D，可知B’D⊥EF.

∴ ∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。

在直角三角形BEF中，直角邊是斜邊上的高，

∴　

故二面角B’－EF－B的大小為　　　　　　　　　　　　　 ……(14分)

(20)[解]　(1)∵　z是方程的根，

　　∴　z₁=i 　或　z₂=－i.　　　　　　　　 ……(2分)

　　不論 z₁=i 　或　z₂=－i，　　

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　　　 于是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(10分)

　　　 (2)取，則及

　　于是

　　　　 或取(說明：只需寫出一個正確答案。)　

(21)[解](1)f(0)=1表示沒有用水洗時，蔬菜上的農藥量將保持原樣。　……(2分)

(2)函數f(x)應該滿足的條件和具有的性質是：

　 在[0,+∞]上f(x)單調遞減，且0<f(x)≤1.　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　(3)設僅清洗一次，殘留的農藥量為

　 清洗兩次后，殘留的農藥量為　　……(12分)

　則

　于是，當時，f₁>f₂;

　　　　　 當時，f₁＝f₂;

　　　當時，f₁<f₂;

當時，清洗兩次后殘留的農藥量較少；

　　　當時，兩種清洗方法具有相同的效果；

　　　當時，一次清洗殘留的農藥量較少.　　　 ……(16分)

(22)[解](1)∵　f(x)的定義域D＝(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴　數列{x_n}只有三項：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……(3分)

(2)∵　，即　

　∴　x＝1，或x＝2.

　 　即當x₀=1或2時，

　　故當x₀=1時，x_n=1; 當x₀=2時，x_n=2　　 (n∈N).　　　　 ……(9分)

　(3)(證法一)設x_n<0　 (n∈N).

由 　得

　　　 　得

　　 得

　　 ∵　 　　∴　 同時使x₁、x₂、x₃為負數的x₀不存在。

　　 故所求的x₀不存在。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(18分)

(13)C　　　　　　　　 (14)A　　　　　　　 (15)D　　　　　　　　 (16)D

(1)3．　　　　　　　　　　 (2)　153　　　　　　　　　 (3)x²－4y²＝1.　　　　 　　 (4)1

(5)　　　　 　　 (6)(0，7)　　　　　 (7)7　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)15

(9)　　　　　　　 (10)A₃

(11)設圓方程：　 ①，

　　　　 　②

(a≠c或b≠d)，則由①－②，得兩圓的對稱軸方程。

(12)

3．第17題至第22題中右端所注的分數，表示考生正確做到這一步應得的該題的累加分數，給分或扣分均以1分為單位。

解答

2．評閱試卷，就堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響決定后面的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。

(17)(本題滿分12分)

已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，S是△ABC的面積。若a=4，b=5，，求c的長度.

[解]

(18)(本題滿分12分)

設F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上的一點，已知P、F₁、F₂是一個直角三角形的三個頂點，且|PF₁|>|PF₂|，求的值.

(解)

(19)(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

在棱長為a的正方體OABC－O’A’B’C’中，E、F分別是棱AB、BC上的動點，且AE=BF.

(1)求證：A’F⊥C’E;

(2)當三棱錐B’－BEF的體積取得最大值時，求二面角B’－EF－B的大小。(結果用反三角函數表示)

(1)[證明]

(2)[解]

(20)(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分10分，第2小題滿分4分.

對任意一人非零復數z，定義集合

(1)設z是方程的一個根.試用列舉法表示集合M_z，若在M_z中任取兩個數，求其和為零的概率P;

(2)若集合M_z中只有3個元素，試寫出滿足條件的一個z值，并說明理由.

　[解] (1)

(2)　

(21)(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.

用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農藥量的，用水越多洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上。設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數f(x).

(1)試規定f(0)的值，并解釋其實際意義；

(2)試根據假定寫出函數f(x)應該滿足的條件和具有的性質；

(3)設。現有a(a>0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較省？說明理由。

[解](1)

(2)

(3)

(22)(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

對任意函數f(x)，x∈D，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：

①輸入數據x₀∈D，經按列發生器，其工作原理如下：

②若x₁∈D，則數列發生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂= f(x₁)，并依此規律繼續下去，現定義.

(1)若輸入，則由數列發生器產生數列{x_n}。請寫出數列{x_n}的所有項：

(2)若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據x₀的值；

(3)若輸入x₀時，產生的無窮數列{x_n}滿足；對任意正整數n，均有x_n > x_n+1，求x₀的取值范圍。

[解](1)

(2)

(3)

數學試卷(類)答案要點及評分標準

說明：

1．本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精神進行評分。

(13)a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的

　　　 　 (A)充分非必要條件　　　　　　　　　　　　 (B)必要非充分條件

　　　 　 (C)充要條件　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)既非充分也非必要條件

(14)如圖，在平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M為AC與BD的交點.若則下列向量中與相等的向量是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

(15)已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，則下列命題中的假命題是

　 (A)若a∥b，則a∥β.　　　　　　　　　　　　　 (B)若α⊥β，則a⊥b.

　 (C)若a、b相交，則α、β相交.　　　　　 (D)若α、β相交，則a、b相交.　

(16)用計算器驗算函數的若干個值，可以猜想下列命題中的真命題只能是

　　 (A)在(1，+∞)上是單調減函數

　　 (B)，x∈(1，+∞)有最小值

　　 (C)，x∈(1，+∞)的值域為

　　 (D)

(1) 設函數，則滿足的x值為　　　　　　　 .

(2)設數列{a _n}的首項a₁=－7，則滿足則a₁+a₂+…+a₁₇= 　　　　　　.

(3)設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

(4)設集合，則A∩B的元素個數為　　　　　　　 個.

(5)拋物線x²－4y－3=0的焦點坐標為　　　　　　　 　　　.

(6)設數列{a _n}是公比q>0的等比數列，S_n是它的前n項和，若，則此數列的首項a₁的取值范圍是　　　　　　　　 .

(7)某餐廳供應客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種。現在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜品種　　　　　　　 種.(結果用數值表示)

(8)在的二項展開式中，常數項為　　　　　　　　　　 .

(9)設x=sin α，且，則arccosx的取值范圍是　　　　　　 .

(10)利用下列盈利表中的數據進行決策，應選擇的方案是　　　　.

自然狀況	方案 盈利(萬元) 概率	A1	A2	A3	A4
S1	0.25	50	70	-20	98
S2	0.30	65	26	52	82
S3	0.45	26	16	78	-10

(11)已知兩個圓：①與②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程。將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的一個特例。推廣的命題為：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　.

(12)據報道，我國目前已成為世界上受荒漠化危害最嚴重的國家之一，左下圖表示我國土地沙化總面積在上個世紀五六十年代、七八十年代、九十年代的變化情況，由圖中的相關信息，可將上述有關年代中，我國年平均土地沙化面積在右下圖中圖示為：

(17)本小題主要考查等差數列，一元二次方程與不等式的基本知識．考查綜合運用數學基礎知識的能力．滿分12分．

解：依題意，有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 　 由方程有實根，得

　　　　　　　　　　 　 ，

即　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

整理，得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

解得　　 ，

∴　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(18)本小題主要考查函數的基本性質，考查推理能力．滿分12分．

解：函數的定義域為．

內是減函數內也是減函數．　　　　　　　　　 ……4分

證明內是減函數．

取，且，那么

　 　　　　　　　　　　　 　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∵　　 ，

∴　　 ，

即內是減函數．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

同理可證內是減函數．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(19)本小題考查復數的基本概念和運算．滿分12分．

解：(Ⅰ)由　

　　　　　　　　　　 　，

　 得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　 因為　 ，

　 所以　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　 (Ⅱ)因為，

　 所以　 ，而，所以，

　 ，同理，

　 ．

　 由(Ⅰ)知　 ，

　 即　 ，

　 所以　　　 的實部為，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　 而的輻角為時，復數的實部為

　　　　　 ，

　 所以　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(20)本小題考查運用直線與直線、直線與平面的基本性質證明線面關系的能力．滿分12分．

(Ⅰ)證明：由已知，

　　　 　 ，

　　　 　 ∴．

　　　 　 ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 　 又V、M、N、D都在VNC所在平面內，

所以，DM與VN必相交，且，

∴∠MDC為二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

(Ⅱ)證明：由已知，∠MDC=∠CVN，

在中，

∠NCV=∠MCD，

又∵∠VNC=，

∴∠DMC=∠VNC=．

故有，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……8分

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)、(Ⅱ)，

，

∴．

又∵∠．

在中，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　　　　 　 ．　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(21)本小題主要考查建立函數關系、運用不等式的性質和解法等數學知識解決實際問題的能力．滿分12分．

解：(Ⅰ)由題意得，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　 整理得 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　 (Ⅱ)要保證本年度的利潤比上年度有所增加，必須

即　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

　 解不等式得 ．

　 答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例應滿足．　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(22)本小題考查直線與拋物線的基本概念及位置關系，考查運用解析幾何的方法解決數學問題的能力．滿分14分．

解：(Ⅰ)直線的方程為：，

將　　 ，

得　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

設直線與拋物線兩個不同交點的坐標為、，

則　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

又，

∴　　

　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

∵　　 ，

∴　　 ．

解得　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

(Ⅱ)設，由中點坐標公式，得

　　　 　　 ，

　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

∴　　　 ．

又 為等腰直角三角形，

∴　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分