題目列表(包括答案和解析)
1．復數z＝i+i2+i3+i4的值是 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．i
(17)本小題主要考查復數模、輻角和等比中項的概念，考查運算能力，滿分12分。
解：設
，則復數z的實部為
．
∴ 
由題設
即 
∴ 
整理得 r2+2r－1＝0．
解得 
即 
(18)本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．
(Ⅰ)解：連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．
設F為AB中點，連結EF、FC，
∵ D、E分別是CC1、A1B的中點，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF為矩形．
連結DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF．在直角三角形EFD中，
，
∵EF＝1，∴
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ A1B與平面ABD所成的角是
(Ⅱ)解法一：∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F．
∴ ED⊥面A1AB，
又ED∈面AED，
∴ 平面AED⊥平面A1AB，且面AED∩平面A1AB＝AE．
作A1k⊥AE，垂足為k，
∴ A1k⊥平面AED．即A1k是A1到平面AED的距離．
在△A1AB1中，
∴ A1到平面AED的距離為
解法二：連結A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
設A1到平面AED的距離為h．
則 
又 
∴ 
即A1到平面AED的距離為
(19)本小題主要考查集合、函數、不等式、絕對值等基礎知識，考查分析和判斷能力，滿分12分．
解：函數y＝cx在R上單調遞減
不等式x+| x－2c | >1的解集為
函數y＝x+| x－2c | 在R上恒大于1，
∵ 
∴ 函數y＝x+| x－2c | 在R上的最小值為2c．
∴ 不等式x+| x－2c | >1的解集為
如果P正確，且Q不正確，則
如果P不正確，且Q正確，則c≥1．
所以c的取值范圍為
(20)本小題主要考查利用余弦定理解斜三角形的方法，根據所給條件選擇適當坐標系和圓的方程等基礎知識，考查運用所學知識解決實際問題能力，滿分12分．
解法一：設在時刻t(h)臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t+60 (km)．
若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則OQ≤10t+60．
由余弦定理知
由于 PO＝300，PQ＝20t，
cos∠OPQ＝cos(θ－45°)
＝cosθcos45°+sinθsin45°
故 
因此 202t2－9600t+3002≤(10t+60)2，
即 t2－36t+288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲．
解法二：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向，
在時刻t(h)臺風中心
的坐標為
此時臺風侵襲的區城是
其中r(t)＝10t+60．
若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有
即 
≤(10t+60)2，
即 r2－36t+288≤0，
解得 12≤t≤24．
答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲．
(21)本小題主要考查根據已知條件求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分14分．
解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．
按題意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)．
設
由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2， 4a－4ak)．
直線OF的方程為：2ax+(2k－1)y＝0， ①
直線GE的方程為：－a (2k－1) x+y－2a＝0． ②
從①、②消去參數k，得點P(x，y)坐標滿足方程2a2x2+y2－2ay＝0．
整理得
當
時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點．
當
時，點P的軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長．
當
時，點P的橢圓兩個焦點
的距離之和為定值
當
時，點P的橢圓兩個焦點
的距離之和為定值2a．
(22)本小題主要考查數列，排列組合概念等知識，考查分析問題和解決問題的能力，滿分12分．
(Ⅰ)解：(i)第四行 17 18 20 24
第五行 33 34 36 40 48
(ii)解法一：設
，只須確定正整數t0，s0
數列{an}中小于
的項構成的子集為
，
其元素個數為 
依題意 
滿足上式的最大整數t0為14，所以取t0＝14．
因為
，由此解得s0＝8．
∴ a 100＝214+28＝16640．
解法二：n為an的下標．
三角形數表第一行第一個元下標為1．
第二行第一個元下標為
……
第t行第一個元下標為
第t行第s個元下標為
該元等于2t+2t-1．
據此判斷a100所在的行．
因為
，所以a100是三角形表第14行的第9個元
a100＝214+29-1＝16640．
(Ⅱ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)
解：bk＝1160＝210+27+23．
令 M＝{c∈B | c
<1160} (其中，B＝
)．
因M＝{c∈B | c <210}∪{c∈B | 210 < c<210+27}
∪{c∈B | 210+27< c<210+27+23}．
現在求M的元素個數：
{c∈B | c
<210}＝
，
其元素個數為
;
{c∈B | 210 < c <210+27}＝{210+2s+2r | 0≤r<s<7}
其元素個數為
;
{c∈B | 210+27 < c <210+27+23 }＝{210+27+2r | 0≤r<3}，
其元素個數為
．
(13)
(14)(－1，0) (15)72
(16)①④⑤
(1)D (2)C (3)D (4)A (5)C (6)B
(7)C (8)D (9)D (10)C (11)B (12)A
(17)(本小題滿分12分)
已知復數z的輻角為60°，且| z－1 |是| z |和| z－2 |的等比中項，求| z |．
(18)(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．側棱AA1＝2，D、E分別CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
(Ⅰ)求A1B與平面ABD所成角的大小(結果用反三角函數值表示);
(Ⅱ)求點A1到平面AED的距離．
(19)(本小題滿分12分)
已知c>0，設
P：函數y＝cx在R上單調遞減．
Q：不等式x+| x－2c | > 1 的解集為R．
如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．
(20)(本小題滿分12分)
在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O(如圖)的東偏南
方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動．臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？
(21)(本小題滿分14分)
已知常數a > 0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且
，P為GE與OF的交點(如圖)．問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值;若不存在，請說明理由．
(22)(本小題滿分12分，附加題4分)
(Ⅰ)設{an}是集合
中所有的數從小到大排列成的數列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，……
將數列{an}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：
(i)寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數;
(ii)求a100．
(Ⅱ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)
設{bn}是集合
中所有的數從小到大排列成的數列，已知bk
=1160，求k．
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數學試題(理工農醫類)參考解答及評分標準
(13)
展開式中x9的系數是
．
(14)使log2(－x)<x+1成立的x的取值范圍是 ．
(15)如圖,一個地區分為5個行政區域，現給地
圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有
種．(以數字作答)
(16)下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是
．(寫出所有符合要求的圖形序號)
(1)已知
，則tg 2x＝
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)圓錐曲線
的準線方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)設函數
若f(x0)>1，則x0的取值范圍是
(A)(－1，1) (B)(－1，+∞)
(C)(－∞，－2)∪(0，+∞) (D)(－∞，－1)∪(1，+∞)
(4)函數
的最大值為
(A)
(B)
(C) (D)2
(5)已知圓
及直線
．當直線l被C截得的弦長為
時，則a＝
(A)
(B)
(C) (D)
(6)已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)已知方程
的四個根組成一個首項為
的等差數列，則
(A)1
(B)
(C)
(D)
(8)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為
，直線
與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標為
，則此雙曲線的方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)函數f (x)＝sinx，
的反函數f－1(x)＝
(A)－arcsinx，x∈[－1，1] (B)―π―arcsinx，x∈[－1，1]
(C)π+arcsinx，x∈[－1，1] (D)π－arcsinx，x∈[－1，1]
(10)已知長方形的四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角)．設P4的坐標為(x4，0)．若1< x4<2，則tgθ的取值范圍是
(A)
(B)
(C)
(D)
(11)
(A)3 (B)
(C)
(D)6
(12)一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為
(A)3π (B)4π
(C)
(D)6π
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
22、已知函數
的定義域為
，對任意
，有恒等式
；且當
時，
.
(1)求
的值；
(2)求證：當
時，恒有
；
(3)求證：
上為減函數；
[以下(4)小題選理科的學生做；選文科的學生不做]
(4)由上一小題知：
上的減函數，因而
的反函數
存在，試根據已知恒等式猜想具有的性質，并給出證明.
在已知等式中含
，得
，
----------理3分，文5分
取
得
但
，
-------------------------------------------------理6分，文10分
設
，并令
，則
于是
在
上為減函數----------------------------------------------------理12分，文18分
在
的定義域內，恒有
-----------理14分
證明如下：設
，則
且
由題意設
-------------------------------------------------理18分
21、已知拋物線
(
為實常數).
(1)求所有拋物線
的公共點坐標；
(2)當實數取遍一切實數時，求拋物線的焦點方程.
[理](3)是否存在一條以
軸為對稱軸，且過點
的開口向下的拋物線，使它與某個只有一個公共點？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由.
[文](3)是否存在直線
(
為實常數)，使它與所有的拋物線都有公共點？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說明理由.
將拋物線的方程該寫成，
所有的拋物線過完點
，即是所有拋物線的公共點。-------------4分
，即
拋物線的頂點為
，焦點坐標為
消去得焦點的軌跡方程：
-----------------------------------------------------10分
[理] 以軸為對稱軸，且過點的開口向
的拋物線可寫成
------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
設他與拋物線只有一個公共點，則方程
即
有兩個相等的實根，
----14分
由
故當
時，存在一條以軸為對稱軸且過點的開口向下的拋物線，
與只有一個公共點------------------------------------------------16分
[文] 設與一切有公共點，則方程
，
即
有實根
對一切
成立。--------------------------------------------------------------------------------------13分
從而
當
時直線與一切都有公共點。---------------------------------------16分
20、某廠2006年擬舉行促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量(即該廠的年產量)
萬件與去年促銷費
(萬元)(
)滿足
.已知2006年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2006年該產品的利潤萬元表示為年促銷費(萬元)的函數；
(2)求2006年該產品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？
每件產品的成本為
元，故2006年的利潤
-------------------------------------------4分
=
(萬元)，----------------------------------7分
----------------------------11分
等號當且僅當
，即
(萬元)時成立。
故2006年該產品利潤的最大枝為21萬元，此時促銷費為3萬元。----------------------14分
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